因式分解经典讲义(精).

1、第二章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个 化成几个 的形式，这种变形叫做把这个多项式 分解因式。(2)注意：分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。分解因式的结果中，每个因式必须是整式。分解因式要分解到不能再分解为止。2 .分解因式与整式乘法的关系整式乘法是 ;分解因式是 ;所以，分解因式和整式乘法为 关系。3 .提公因式法分解因式(1)公因式：几个多项式 的因式。(2)步骤：先确定 ,后。(3)注意：当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。4 .运用公式法分解因式(1)平方差公式：(2)完全

2、平方公式： 注：分解因式还有诸如 十字相乘法、分组分解法 等基本方法，做为补充讲解内容。【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：,.、32(1) -4m +16m -26m(2) 2x(y+ z)3(y+ z)2(3)x(x + y)(x y)x(x + y)(4) (3a 4b)(7a-8b)+ (11a T2b)(7 a8b)解析：(1)题先提一个“-”号，再提公因式 2m； (2)题的公因式为y + z；(3)题的公因式为x(x+y);(4)题的公因式为7a8b。答案：(1) 2m(2m2 8m+13) ；(2) (y+z)(2x3)；2(3) 2xy(x+y

3、)；(4) 2(7a-8b)。【例 2】(1)已知 x +y =5, xy = 6 ,求 2x2y + 2xy2 的值。22(2)已知 ba =6, ab = 7 ,求 a bab 的值。解析：(1)题：2x2y+2xy2 =2xy(x + y),所以考虑整体代入求该代数式的值；(2)题：a2b -ab2 =ab(a -b),整体代入求值时注意符号。答案：(1) 60(2) -42【随堂练习】1 .分解因式：3 42 32 2(1) 2x y -10x y +2x y(2) (m+n)(mn)(n m)(m+ 2n)(3) (2x3y)(a+b)+(3x2y)(a+b)(4) x3(x-2)2

4、-x2(2-x)2+x2(x-2)2x-y=12322 .不解方程组 47，求(2x y)3(2x y)2(x3y)的值x 2y =11注：(1)公因式应按“系数大(最大公约数)，字母同，指数低”的原则来选取(2)当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1,而不是没有。(3)当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号(4)利用分解因式 整体代入往往应用于代数式的求值问题。考点二：利用平方差公式分解因式及其应用【例3】分解因式：(1) (3x+1)2 (x2)2(2) p4q4解析：(1)题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式；(2)题：p4 -q4 =(p2)2

5、-(q2)2,所以符合平方差公式，此题注意分解完全。答案：(1) (4x1)(2x+3) ；(2) (p2+q2)(p + q)(pq)。例4计算:1 、一 1 、一 1 、 一 1 、(1)(1- - )(1- - )(1-) '"(1-2)；5262722 002(2 ) 20 082 - 2007 x 20 09 -9992.解析：(1)题：原式中每一个因式符合平方差公式，可以借助分解因式简化计算。111111原式=(1一)(1一)6(1 . .).一(1)(155662 002005 61 992 0 142 0 120 1M X =X =2 002 00520025

6、0(2)题：先化简，再使用平方差公式。原式=20082 - (2008 -1)(2008 1) -9992-20082 -(20082 -1) -9992-12 -9992 -(1 999)(1 -999) =998000答案：(1)型1 ;(2) 998000。250【例5】利用因式分解说明：367 -612能被140整除。解析：对于符号相反的二项式,我们考虑使用平方差公式。此种题型应先将两项化为底数相同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。367 62=(£) 6= 61- 6=2 6 12 6 2 1) 612e3 5 6 1 40所以367 -61

7、2能被140整除。【随堂练习】1.分解因式:(1) ax4 -a一 22、(2) 9x (ab) +y (b-a)2.利用分解因式说明：257 -512能被60整除.注：（1）平方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反；（2）公式中的a,b可以是具体数，也可以是代数式；（3）在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。考点三：利用完全平方公式分解因式及其应用22【例6】（1）分斛因式：abx 一2abxy + aby1 2（2）已知一x2 +bx +36是完全平方式，求 b的值。4（3）计算：9999 9999 19999 .解析：（1）题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差

8、公式进行分解。（2）题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍（或其相反数）。（3）题：9999M 9999+19999 = 99992 +2 父9999+1 =（9999 为 2 =10 8。答案：（1） ab（x-y）2 ； 坛； （3） 10811 2 _ 2 _【例7】（四川成都） 已知y= -x1,那么一 x 2xy+3y 2的值是。331c1斛析： 原式的刖二项可以进仃因式分斛，分斛为 一（x-3y）,再将 y = - x-1变形为33x -3y =3 ,整体代入求值。答案：1.【随堂练习】1.(1)分解因式：-2(a b) (a b)2 1(2)若多项式a2

9、+(k1)ab + 9b2能运用完全平方差公式进行因式分解，求 k的值。(3) 1999 1999 2000 19992. (1)已知：a+b=5, ab=3,求代数式 a3b+2a2b2+ab3。.122(2)当s=t+时，求代数式s -2st+t的值。2注：(1)完全平方公式的结构特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍(或其相反数)；(2)公式中的a,b可以是具体数，也可以是代数式；考点四：综合利用各种方法分解因式及其应用【例8】分解因式：(1) 81m4 -72m2n2+16n4(2) a2 -4a+4 -c2解析：(1)、(2)题都应先利用完全平方公式，再

10、利用平方差公式进行因式分解。答案：(1) (3m+2n)2(3m2n)2；(2) (a 2+ c)(a 2 c)。1c1c1c【例9】(福建律州) 给出二个多项式：x2+2x 1, x2+4x+1,X22X,请选择你222最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。解析：本题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。本题可任取两个多项式进行加法运1 O1 OO算再因式分解。如：(x2 2x -1) (-x2 4x 1) = x2 6x = x(x - 6)2 2可以失败，但不可以放弃【例10】已知a,b,c分别是三角形 ABC的三边，试证明(a2+b2c2)4a2b2

11、 <0解析：已知a,b,c分别是三角形 ABC的三边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。(a2b2-c2) -4a2b2= (a2b2-c22ab)(a2b2-c2-2ab)=(a +b )2 c21(a -b 2 -c2 I二(a b c)(a b c)(a b c)(a b c)由三角形三边关系可知，上式的前三个因式大于0,而最后一个因式小于 0,则有:(a2 b2 -c2) -4a2b2 : 0【随堂练习】1 .分解因式：(1)(x2+y2)2 4x2y2(2) a4 -6a2 -272 . (2009,吉林)在三个整式：x2

12、+2xy, y2+2xy, x2中，请你任意选出两个进行加(或 减)法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。注：分解因式的一般步骤可归纳为：“一提、二套、三查 工一提：先看是否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；二套：再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，首先观察项数，若为 二项式，则考虑用平方差公式；若为三项式，则考虑用完全平方公式。三查：分解因式结束后，要检查其结果是否正确，是否分解彻底。【巩固提高】一、选择题1 .下列从左到右的变形中，是分解因式的有()可以失败，但不可以放弃2 a -4 a = (a 2)(a -2) aA、1个B、2个2.下列多项式能分解因式的是(2A

13、、x y2,B、 x +122c、x + y + y2D、 x 4x+4(x 1)(x-2)=x2 x2 x2 +9 = (3 + x)(3 x) aba + b 1 = (a+1)(b1)2 ,1、(y+1)(y 3) = (3 y)(y + 1) a2 + 1=a(a+-) aC、3个D、4个)可以失败，但不可以放弃3 .下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是()2, m2=2-2.2A、m+1+ 4 B、-x +2xy-yC、-a +14ab +49b D、4 . a、b、c是 ABC的三边,且 a2+b2+c2 =ab+ac+bc,那么 ABC的形状是()A、直角三角形 B、等腰

14、三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形25 .如果9 x +kx+25是一个完全平方式，那么 k的值是()A、15B、工5C、30D、-30. 一 一 _26 .已知多项式2x +bx+c分解因式为2(x3)(x+1),则b,c的值为()A、b=3, c = -1B、b = -6, c = 2 C、b = -6, c = -4 D、b = -4,c=-6,-2-2xy, 一7 .已知 2x2 -3xy + y2 = 0(xy # 0),则一十上的值是()y x一 1一八一 11A、2或 2-B、2C、2-D、-2 或2-一. .2. 3. 28 .右(p q) -(q-p) = (q p) E

15、 ,则 E 是()A、1 q p B、q pC、1 + p _q9.已知二次三项式 x+bx +c可分解为两个一次因式的积(x+s)(x+P),下面说法中错误的是()A、若b A0,c >0 ,则口、P同取正号;B、若b <0,c >0 ,则a、P同取负号;C、若 b >0,c <0 ,则 u、P异号，且负的一个数的绝对值较大;D、若 b <0,c <0 ,则 口、P异号，且负的一个数的绝对值较大。10 .已知 a=2 0 0处+ 20 0 b =2002x+ 2004 , c = 2002x + 2005 ,则 多项式2.22.a +b +c abb

16、cca 的值为()A、0B、1C、2D、3二、填空题511 .分解因式：m -4m =:12 .在括号前面填上“十”或“”号，使等式成立：(y-x)2 =(x-y)2213 .若x +mx+9是一个完全平方式，则 m的值是；o92ab,，14 .已知： ab=0,a +ab2b =0,那么 的值为：2a b15 . ABC的三边满足a4 +b2c2 -a2c2 -b4 =0 ,则4 ABC的形斗犬是( 第16题图)16 .观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以 得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 :2217 .若 x -y x + y = (x y)，A,则 A=.2n2n

17、 .118 .分解因式：x(a -b ) +y(ba)*= 2219 .若 a +2a+b 6b+10=0,则2=, b=20 .若(x2 +y2)(x2 + y2 +1)=12,则(x2 +y2)=.三、解答题(1) 8a3b2 -12ab3c +6a3b2c21 .分解因式:(2) 8a(x - a) +4b(a -x) -6c(x-a)5 33 5(3) -x y +x y(4) 4(a-b)2 -16(a + b)2(5) m4 -16n422(6) 9(m n) -16(m。n) 5m(x-y)2+10n(y-x)321(8) 2x +2x+ 一 2132 213 ,22.先分解因式

18、，再求值：已知 a+b=2, ab=2,求一a3b+a2b2 +ab3的值 22_2 _2_2 _2.一 .、2 .一 .、2一 23.设 &=3 -1 , a2=5 -3 ,4=(2n+1) -(2n-1) (n为大于零的自然数)探究&是否为8的倍数，并用文字语言表达你所得到的结论。24.对于实数a,b,c,d ,定义一种新运算:b4x=ad -bc,分解因式：dx + 1_22(x-1)1 一 x25.阅读下列计算过程：99X 99+199=992+2 X 99+1= (99+1) 2=100 2=10 4(1)计算：999 X 999+1999=9999 >9999

19、+19999=(2)猜想 9999999999X9999999999+19999999999 等于多少？写出计算过程。第三章 分式【知识要点】1 .分式的概念及特征：A、B表示两个整式，A+B就可以表示成 人的形式，如果B BA中含有字母，式子 A就叫做分式。B2 .分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式 公中，有：B# 0则B-有意义；B=0则A无意义。BB3 .分式值为零的条件：分式的值为零要同时满足：分母的值不为零，分式的值为零这 A两个条件。即一=0则有庆=0且8。0。 Bb-b- b b4 . 分式的符方法则：=- = =- a a - a - a5 .分式的运算(1

20、)同分母分式相加减，分母不变，只把分式相加减，即 -+ b=旦-至 c c c(2)异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， 然后再加减，即9+-=adb d bdbc ad bc =bd bd注：1.无论是探求分式有意义、无意义的条件，还是分式值等于零的条件，都将转化成解方程或不 等式的问题。2 .分式约分步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子分母是多项式时，要先把分式的分子和分母分解因式。(2)约去分子与分母的公因式。3 .最简公分母的确定：(1)当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次嘉、所有不同字母的积；(2)如果各分母都是多项式

21、，应先把各个分母按某一字母降嘉或升嘉排列，再分解因式，找出最简公分母。【考点分析】考点一：分式有意义、无意义、值等于零的条件（重点）2【例1】（2009,天津）若分式 x2 X2的值为零,则x的值等于。x 2x 1答案：2评析：由于x2 x2可得（x2）（x+1） = 0 ,解得x = 2或x = 1。又因为x = 1时, x2+2x+1=0; x = 2时，x2+2x + 1 0 0。所以要使分式的值为零，x的值只能等于2。【随堂练习】x2 -1 "/上 , r 1 .若分式x-的值为0 ,则乂的值等于。x2 12 _62.若分式x2 x6的值为零，则x的值等于 。x x 1考点二

22、：分式的约分例2 （2009,吉林）化简 Jy -2y 的结果是（）D. y x-2x - 4x 4A. B. C. yx 2x-2x 2答案：D评析：观察题中所给分式，分子、分母都为多项式，且都能分解，因此应先将分子分母分解因式，再约去公因式。如xy-2y2x -4x 4注：1.在应用分式的基本性质时要充分理解"者即和"同"这两字的含义2.约分的结果是最简分式或整式。【随堂练习】221.（2008,太原）化简 m2 -n 的结果是（ m mnA.2mm -nB.mm nC.mm - nD.m n2.11化简（y ）x（x）的结果A.B.C.-yD.考点三:分式的

23、加减运算（重点）例3（2009,长沙）分式的计算结果是（）a(a 1)a.一 aaB.a 1C.a 1D.a答案:评析:C先通分化为同分母分式,再进行加法运算。a(a 1) a(a 1)+a(a 1)a(a 1)注：1.同分母分式加减运算中的“把分子相加减”是指把各个分式的“分子的繁体相加减，故当分子是多项式时，应加括号。2.通分和约分是两种截然不同的变形，约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言;约分是将一个分式简化,通分是将一个分式化繁。【随堂练习】2(2008,杭州)化简-xx-y2-y的结果是（）y -xA. -x - yB. y -xC. x - yD. x y考点四：分式的乘

24、除运算2.2.【例 4】(2009,天水)已知 a-2 +Jb3 = 0,计算 a 42ab xa2-abb a -b评析：因为 a2 + 4仁3 = 0,所以 a 2 =0 且 b3 = 0，即 a = 2,b = 3原式=a(a b)b22,a(a -b)at,4x=,当 a =2,b=3时，原式=一(a b)(a -b)b29注：先化简再求值,运算更简便，分式的乘除运算要进行到分式和分母不再有公因式为止。【随堂练习】化简/ x y1. 1 x - 3y22x -y22x 6xy 9yx 22.-x 4x 4考点五：分式的混合运算【例5】（2010,常德）化简：（1y-尸22y x y -

25、x评析：原式=y -7 y x(y x)(y-x) =y x注：1.正确运用运算法则;2.灵活运用运算规律；3.运算结果要最简化【随堂练习】（2010,泸州）化简：（1十a -2)a 1a2 -4考点六：条件分式求值的常用技巧(难点)【例6】已知1+1 =3,则分式2x+3xy-2y的值为xyx-2xy_y3答案：35评析：由已知条件不能直接求出 x, y的值，所以考虑将已知条件向着所求代数式的方向进行变形转化，通过整体代换解决问题。由1+1=3,可得yx = 3,所以x- y = -3xy,x yxy所以原式=2(x-y) 3xy= 2(-3xy) 3xy= 3 (x-y)-2xy-3xy

26、- 2xy5注：条件分式求值主要方法有：x yz1 .参数法：当已知条件形如= = 所要求值的代数式是一个含 x,y,z而又不易化简的分式abcxy z时，常设一=1=k(k就是我们所说的参数)，然后将其变形为x = ka, y = kb, z = kc ab c的形式，再代入所求代数式，约分即可。2 .整体代换法：若由已知条件不能直接求分式中字母的值，可考虑把已知条件和所求代数式进行适当的变形，然后整体代换，可使问题得到解决【随堂练习】1.已知x2 2 = 0 ,求代数式(x-1)2x2 -1的值2.a2 -ab b222a2 b2的值【巩固提高】-、选择题1. （2009,荆门）计算：士当

27、）_的结果是（）a2bA. a B. b C. 1 D. b,、112. （2009,威海）化简（y ）m（x）的结果是（） x yA.B.C.D.2 2a a rs a，a -ab b 土工 ,3. 右 一=2 ,则22一等于（ba2 b2A.B. 1C.D.2 人？4. （2010,河北）化简一a-b的结果是（a。b a。b22A. a -b B. a b C. a -b d. 1b的结果是（）-b1D.a b5. （2009,陕西）化简（a）父一 a aA. a - b B. a b C.a -b、填空题一 3"一231（2009,漳州）若分式 二无意义，则实数x=8. （20

28、10,黄冈）当 x=2010 时,X -1x一11的值为X -19.在下列三个不为零的式子：X2 -4,x2 -2x,x2 4x + 4中，任选两个组成一个分式是 把这个分式化简所得结果是 三、解答题2210 . （2010,烟台）先化简，再求值：x y+2 x y ,其中x = 1+J2, y = 1J2x -2y x -4xy y11. （2010,贵阳）先化简:a2 ab2a 2ab aa当b = 1时，再从一2< a< 2的范围选取一个合适的整数 a代入求值。12 .（表格信息题）按下图的程序计算，把答案写在表格内: n 一平方一（+n） 一 *n （ n） 一答案（1）填

29、写表格输入n312-2-3输出答案11（2）请将题中的计算程序用代数式表达出来，并化简。13 .（条件开放题）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式:a2 -1, ab -b,b ab第四章相似三角形【知识要点】1 .相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。注：(1)两个全等三角形一定相似(2)两个直角三角形不一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。(3)两个等腰三角形不一定相似。两个等边三角形一定相似。2.相似比(1)相似三角形对应边的比叫做相似比。(2)面积比等于相似比的平方。、， AB 一注：相似比要注意顺序：如 ABCA'B'C'

30、的相似比k1= ,而AB.，_，-' AB 、 ，1ABC s AABC 的相似比 k2 =,这时 k1= 一。ABk23.相似三角形的识别(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三 角形相似。(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相 等，那么这两个三角形相似。(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。【考点分析】考点一：相似三角形的判定【例1】 如图，/ 1 = / 2 = / 3,图中相似三角形有（）对。A解析：由平行线的性质，Z1=Z2=Z3,可知DE / BC , /DEB

31、=EBC/ADE = 2ABe ,再由相似三角形判定定理一，可得有四组三角形相似。答：4对。【随堂练习】1 .如图，已知： ABC、 DEF,其中/ A = 50° , / B=60° Z C = 70° ,ZD = 40° , / E=60° , / F = 80° ,能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使 ABC所分成的每个三角形与 DEF所分成的每个三角形，分别对应相似？如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。考点二：相似三角形的识别、特征在解题中的应用【例2】（2008 广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形

32、，点 F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。(1)求证： CDEA FAE;（2）当E是AD的中点，且 BC = 2CD时，求证：/ F=/BCF。解析：由 AB / DC 得：Z F = Z DCE , / EAF = / DCDEA FAECD DEfa AE ,又E为AD中点.DE = AE,从而CD=FA,结合已知条件，易证BF = BC, / F=/ BCF(1)二.四边形ABCD是平行四边形AB / CD ./ F = Z DCE , / EAF = / DCDEA FAE(2) E 是 AD 中点，DE = AECD DE由(i)得：AF - AE.CD= AF四边形ABCD

33、是平行四边形AB = CDAB = CD = AFBF=2CD,又 BC = 2CDBC= BF ./ F = Z BCF注：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。【随堂练习】1 .已知：如图(a),在梯形ABCD中，AD/BC,对角线交于 O点，过O作112十=EF/BC 分别交 AB , DC 于 E, F。求证：(1)OE=OF;(2) AD BC EF ;(3)若MN为梯形中位线，求证 AF / MC。考点三：未知数的设定应用【例3】 在梯形ABCD中，/ A = 90° , AD /BC,点P在线段AB上从A向B运动,(1)是否存在一个时刻使

34、 ADP s bcp ；(2)若 AD = 4, BC = 6, AB = 10,使 ADPA BCP,贝U AP 的长度为多少？解析：(1)存在AD _ AP(2)若ADPsbcp,则 BC Bp设 AP = x，x=4, ，AP 44 x _ 6 10 -xAD _ AP 或即-BC410-xx6'x= 4或x = 6AP =4或 AP =6AP长度为4或6【随堂练习】1 .如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知/C=90° , AB =5cm, BC= 3cm,试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈 钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长

35、。考点四：直角三角形相似的比例关系【例4】已知：如图， RtA ABC中，/ ACB=90 ° , CD LAB于D, DE LAC于 巳 DF± BC 于 F。求证：（1）CD3=AE BF AB； （2） BC2 : AC2 =CE : EA；（3） BC3: AC3 " BF : AE解析：（1）掌握基本图形“ RtA ABC, ZC=90° , CDXAB于D”中的常用结论。勾股定理：AC2 BC2 =AB2面积公式：AC BC=AB- CD 2_2 2_三个比例中项： AC =AD AB,BC BD BA, CD = DA DB I AC CD

36、=BC AD两个等积式子：BC CD = AC ED（由图中相似三角形得到 ）AC2ADBC2BD(2)灵活运用以上结论， 并掌握恒等变形的各种方法， 是解决此类问题的基 本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等。(3)学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法，以及中间等量代换。第(1)题：2证法一 CD = DA DB4_22_ CD =AD BD =(AE AC) (BF BC) =(AE BF) (AC BC)=(AE BF)(AB CD)2AC BC证法二. CD 2 = AD BD , CD = ABCD3 = AD BDAC BC fAD AC、

37、(BD BC )=I 1 I ABAB AB 八 AB J=AE BF AB第(2)题：BC BD BA BD证法=,利用 A BDF s a DAE ,证得AC2 AD AB ADBD DF CEAD - EA - AE命题得证。证法由生AC22DE /口 BC DE AE EC CE/日 一付 一2 一 2一 2一AE ACAEAEAE证法三.ABCD s ACAD ,BC DFAC DE(相似三角形对应高的比等于对应边的比2 BCDEBCDF DEDFCEDE II BC,2 =ACAEAC2DE AEAEAE第(4)题：、BC2 BD AB DB证法一"2 =AC AD AB

38、 AD.BC44AC4BD2一 BF BC3BC3 BF一AD2一 AEACAC3 一AE证法二：A ADCs A CDB , .BCACDF一 DE.BC3DF3_ DFDF 2DF BFCF_ BF. AC3 一DE3一 DEDE2一 DE AECE一 AE证法三：.BCDFBCDEBC BFAC一 DE，AC一 AE, AC 一 DF.BC3BCBCBCDF DE BF BF一 AC3"ACACAC 一DE AE DF - AE【随堂练习】1.如图，已知直角梯形 ABCD中，/ A = / B = 90° ,设AB = a, ADb=,BC =2b a Ab),作 D

39、E,DC, DE 交 AB 于点 E,连结 EC。(1)试判断 DCE与AADE、 DCE与 BCE是否分别一定相似？若相似，请加 以证明。(2)如果不一定相似，请指出 a、b满足什么关系时，它们就能相似？DB【巩固提高】1 .如图，已知 DE/ BC, CD 和 BE 相交于。，若 S&OE： SOB = 9 ： 16 ,贝U AD :O2 .如图， ABC 中，CE: EB=1: 2, DE/AC,若 ABC 的面积为 S,则 ADE 的面 积为。3.若正方形的4个顶点分别在直角三角形的 为3cm和4cm,则此正方形的边长为 3条边上，直角三角形的两直角边的长分别V甲又设V甲、V乙

40、分别表示这两个正方体的体积，则 3 a b3X3b>6a26b2（2000年武汉市中考题）4 .阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同， 就把它们叫做相似体。如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体， 它们的一切对应线段之比都等，>，一一一、，S甲于相似比：a： b,设S甲：S乙分别表木这两个正方体的表面积，则 -（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A.两个球体B.两个圆锥体C.两个圆柱体D.两个长方体（2）请归纳出相似体的 3条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ;相似体表面积的比等于 ；相似体体积的比等于 。（2001年江苏省泰州市中考题）5 .如图，铁道口的栏杆短臂长1 m,长臂长16 m,当短臂端点下降 0.5 m时，长臂端点升高（）A. 11.25 m B. 6.6 mC. 8 m D. 10.5 m6 .如图，D为ABC的边AC上的一点