高等代数张禾瑞版教案第章矩阵

1、教学目的:及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。1 .掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。2 . 了解几种特殊矩阵的性质 教学内容：5.1 矩阵的运算1矩阵相等F是一个数域。用 F的元素aij作成的一个 m行n列矩阵我们将在一个数域上来讨论。令an才2amA=a21a22a2nAmiam2amn叫做F上一个矩阵。A也简记作(aij)。为了指明 A的行数和列数，有时也把它记作Amn或(a ij) mn。一个m行n列矩阵简称为一个m*n矩阵。特别，把一个 n*n矩阵叫做一个 n阶正方阵，或n阶矩阵F上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的元素都相等时，才认为上相等的。以

2、下提到矩阵时，都指的是数域F上的矩阵。我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。先引入前两种运算。2矩阵的线性运算定义1数域F的数a与F上一个m*n矩BA=(a j)的乘法aA指的是m*n矩阵(aaj)定义2两个m*n 矩BA=(a j), B=(b j)的和A+B指的是 m*n 矩阵(aj+bj)。注意，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵A=(aj),我们就把矩阵(-aj),叫做A的负矩阵，记作一Ao3矩阵线性运输的规律A+B=B+A ;(A+B)+C=

3、A+(B+C);0+A=A ;A+(-A)=0 ;a(A+B尸Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B和C表示任意 m*n矩阵，而a和b表示F中的任意数 利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：A B=A+ ( B)于是有A+B=C A=C B由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。4乘法定义3数域F上的m*n矩BA=(aj)与n*p矩BB=(b j)的乘积AB指的是这样的一个 m*p矩阵。这个 矩阵的第I行第j列(1=1,2,，m；j=1,2,p)的元素Cij等于A的第I行的元素与 B的第j列的对应元素 的乘积的和：cij=a i1b1j +a

4、i2 b2j+ +a in bnj。注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。我们看一个例子：2 1(1) 20(5) 2 ( 3) ( 1)2) ( 5) 3 ( 3) 1 1(2) 0155 矩阵乘法的运算规律： 对于数的乘法成立的运算规律,对于矩阵的乘法说并不都成立O值得一提的是以下两点。两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如:1111100.矩阵的乘法不满足交换律。 nmAmn虽然有意义，但是当首先，当m n时,p m时AmnBnp有意义，但B npAmn没有意义。其次，AmnBnp和头一个乘积是 m阶矩阵而第二个是 n阶矩阵,它们不相等。最后,nnBnn和Bnn

5、 Ann虽然都是n阶矩阵，但它们也未必相等。例如但是距阵乘法?t足结合律：(AB)C=A(BC)事实上，可以假定A=(a ij)mn ,B=(b ij)np ,C=(c ij)pq,那么(AB)C和A(BC)都是m*n距阵，我们来证明它们的对应元素相等，令AB=U=(u j),BC=V=(v 由距阵乘法知，nUil = aikbkl , Vkjk 1j).因此(AB)C=UCp(1) Uil cjl 1的第p(pbkl cj, 11行第j列的元素是aikbkJcu另一方面，?A(BC尸AV 的第I行第j列的元素是 nnpaik vaik(bklcj)k 1k 1 l 11的性质. n阶正距阵由

6、于双重求和符号可以交换次序，所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.我们知道，数1乘任何数a仍彳# a.对距阵的乘法来说，存在这样的距阵，他们有类似于数我们把主又t角线上(从左上角到右下角的对角线)上的元素都是1,而其它元素都是 0的110 0010-001叫做n阶单位距阵，记作In,有时简记作I.In显然有以下性质：I nA np=Anp ;A mn In=Amn .距阵的乘法和加法满足分配律：A(B+C尸AB+AC;(B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并 不能互推。距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运

7、算规律：a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意r个距阵Ai,A2,Ar,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把因子任意结合，而乘积 确定的意义。特别，一个 n阶正方阵A的r次方(r是正整数)有意义 我们再约定A0=I这样一来，一个 n阶距阵的任意非负整数次方都有意义。 设AiA2Ar有完全f(x) =a o+a i +a mx m是Fx中有确定的意义，它仍然是 f(A) =a oI +a i A+a mAm.F上的一个阶正方阵，我们将它记作f(x):如果 f(x),g(x) Fx,而 A 是一 u (x)= f

8、(x)+ g(A), v(x)= f(x) g(x)于是有u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5距阵的转置定义4设m*n距阵n阶距阵,aii ai2ainA=a 2i a 22a2nami am2?amn把A的行变为俩所得到的aiia2iamin Xmr距阵A =a i2a22am2a 1na2na mn叫A的转置距阵的转置规律a) b)c) d) 我们只验证(a，y (A+B) (AB)'二A,'=A' +B'=B' A(aA)=aA '(5),其它三个规律容易验证.设aii. a2iA=312a22a1na2n,B=bii

9、b2ibi2b22bpb2p首先容易看出，(AB)'和B' A'都是pmami矩阵.其次,位于(AB) aji b ii+a j2b 2i+ -Am2的第3mnbn1bn2行第j列的元素就是位于 ABbnp的第j行第i列的元素，因而等于+ajnbni.位于B' A'的第i行第j列的元素等于B '的第i行的元素与 A'的第j歹U的对应元素的乘积之和，因而等于B的第i列的元素与 A的第j行的对应元素的乘积之之和 biiaji+b 2iaj2+b ni ajn上面两个式子显然相等，所以 成立.等式和显然可以推广到 n个矩阵的情形，也就是说，以下

10、等式成立 (Al+A 2+An)' =Al ' +A2' + +An',(A1A2 An)' =An ' An-1 'A2' Al '5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式教学目的：1掌握逆矩阵的概念及逆矩阵存在的充要条件。2 掌握求逆矩阵的方法，尤其能利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。 教学内容：1逆矩阵的定义：令A是数域F上的一个n阶矩阵。若是存在 F上n阶矩阵B ,使得AB=BA=I , 那么A叫作一个可逆矩阵(或非奇异矩阵)，而 B叫作A的逆矩阵。若是£1阵A可逆，那么 A的逆矩阵由A唯一决定。事实上，设B和C都是A

11、的逆矩阵：AB=BA=I , AC=CA=I。 那么B=BI=B (AC) = (BA) C=IC=C。2逆矩阵的性质：我们以后把一个可逆矩阵A的唯一的逆矩阵用 A-1来表示。我们有以下简单的事实：可逆£1阵A的逆矩A-1也可逆，并且(A-1) -1=A这由算式AA-1=A-1 A=I可以直接推出。两个可逆矩阵 A和B的乘积AB也可逆，并且(AB) -1=B-1A-1这是因为(AB) (B-1A-1)= (B-1A-1) (AB)=I一般，m个可逆矩阵 A1, A2,，Am的乘积A1A2 - Am也可逆，并且(A1A2 Am) 1 =A m 1 ?A2 1 A1 1可逆£1

12、阵A的转置A'也可逆，并且(A，)-1= (A-1)，这是因为求等式AA-1=A-1A=I中三个相等的矩阵的转置，得(A-1) ' A =A' (A) ' =I ' =I 一个n阶矩阵未必可逆。例如，令a 11 a12A=LJ00而B是任意一个2阶矩阵。那么乘积 AB的第二行的元素都是零， 因此不存在二阶矩阵 B ,使AB=I ,从而A不是可逆矩阵。3 初等变换首先注意以下事实：对于一个矩阵施行一个行或列初等变换 相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个可逆矩阵。我们把以下的三种正方阵叫做初等矩阵：Pij =10j11ki行D i(k)=11kiTij(k)=1

13、j行1这里没有注明的元素在对角线上的都是阵A的第和第i和第j节或第i和第j列, i行或列乘以数k,相当于把A左乘以m1 ,在其它位置的号部 相当于把A左乘G阶的Di(k),或右乘以第i行相当于把 A左乘以m阶的Tij(k),把A的第j列乘以数k 初等变换都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等变换。因为容易验证：P-1 ij=Pij ;D i(k)-1 =D i(? ),T ij(k) -1 =T ij(-k)k现在容易证明以下引理5.2.1设对正方阵A施行一个初等变换后，得到矩阵 那么A可逆的充分且必要条件是a可逆。零。通过验算容易看出：交换一个m阶矩阵Pij或右乘以n阶矩阵Pj ；把A的第n阶

14、的Di(k)；把A的第j行乘以数k后加到后加到第i列相当于把 A右乘以n阶的Tj(-k)A,证我们只就行初等变换来证明这个引理，列初等变换的情形可以完全类似地证明。 设a是通过对A施行一个行初等变换而得到的。那么存在一个对应的初等矩阵(1)声EAE,使得由于初等矩阵 E是可逆的，(1)式说明，当 A可逆时，a是两个可逆矩阵的乘积。因为a也可逆。另一方面，用E的逆矩阵E-1左乘(1 )式的两端，得(2) E-1 片E-1EA=IA=A因为E-1也可逆，由(2)式得，当a可逆时，A也可逆。引理5.2.1说明，矩阵是否可逆这一性质不因施行初等变换而有所改变。由定理4.1.2 ,给了任意一个 m x

15、n矩BA,总可以通过行初等变换和交换两列的初等变换，把 以下的一个矩阵：10 0C 1,r+1 C1n /01? , 0C 2,r+1 C2nA化为(3) 00 1Cr,r+10C rn继续对(3)施行第三种列初等变换，显然可以把Cij都化为零，因此，我们有定理5.2.2 一个m X n矩BA总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵。IOmr,rOr,nrOmr,n r这里Ir是r阶单位矩阵，Ost表示s X t的零矩阵、r等于A的秩。特别，当A是一个n阶矩阵时，上面的矩阵a是一个对角矩阵(即主对角线以外的元素都是0的矩阵)。根据引理5.2.1 , n阶矩阵A是否可逆，决定于 a是否可逆。然而

16、对角矩阵a是否可逆很容易看出。当a等于单位矩阵I时，a可逆。因为I本身就是I的逆矩阵。当 a不等于I时，a至少有一个元素全是 零的行，因而右乘 a以任意一个n阶矩阵B,所得的乘积 田中也至少有一个元素全是零的行，所以 a不 可逆。这样，n阶矩阵A可逆，当且仅当它可以通过初等变换化为单位矩阵Io4 矩阵可逆的条件：定理5.2.3 n阶矩A可逆，当且它可以写成初等矩阵的乘积。证A可以通过初等变换化为单位矩阵I ,就是说，I可以通过初等变换化为A ,也就是说，存在初等矩阵 Ei,Es,E s+i,，Et,使A=E i EsIEs+i Et=E i EsEs+i E t定理5.2.4 n阶矩阵A可逆当

17、且仅当 A的秩等于n。证A可以通过初等变换化为单位矩阵Io就是说，A的秩等于n o我们把n阶矩阵aiia?ainA=a2ia22a2nanian 2ann的唯一的n阶子式aii ai2 aina2i a22 a2n anian2 "' ann叫做矩阵A的行列式，记作|A| o我们知道，A /秩等于n的充分且必要条件是 1A|丰定理5.2.5 n阶矩阵A可逆，当且仅当它的行列式|A| W0我们常需要求出一个可逆矩的逆矩阵来。现在给出两种求逆矩阵的方法。第一种还是要用到初等变换。先说明以下事实：一个 n阶可逆矩阵 A可以通过行初等变换化为单位矩阵I。事实上，根据定理5.2.4,|

18、A| w 0。因此A的第一列至少有一个元素不等于零。我们显然可以通过行初等变换把A化为这里Ai是一个n-i阶矩阵。行列式|Ai|显然等于矩阵(4)的行列式，而后者与|A|最多差一个不等 于零的因子，因此|Ai| W0,从而Ai的第一列至少有一个元素不等于零。于是通过行初等变换可由(4)得到这里A2是一个n-2阶矩阵。这样下去，最后我们得到单位矩阵Io但对于一个矩阵施行行初等变换相当于以初等矩阵左乘这个矩阵，因此给了一个可逆矩阵A,可以找到一些初等矩Ei, E2,，Es,使5 5) es - E2EiA=I用A-i右乘这个等式的两端，得，-、_ _ 一 一 -i6 6) EsE2EiI=A比较矩

19、式（5）和（6）。A的逆5 求矩阵的方法：在通过行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，就得到矩 BA-1。例1求矩阵A= 3的逆矩阵我们写下1A,2并把单位矩阵I写在A的右边:0、 广,0我们施行行初等变换把1化为I。第二种求逆矩阵的方法是从行列式的性质得来的o 设n阶矩阵a11312r31nA= 32132232nan13n23nn那么以下等式成立:3i1 Aj1 +a i2Aj2+ +a inA jn=a1iA1j+a2iA2j + , +a niAnj =|A|,若 i0，若i|A|,若 i0，若i这里Ast是行列式石TH|A|中元素ast的代数余子式，

20、由此容易看出,A11A* AA =A12A22A1A2An1那么An1AA *=A *A=|A|0|A|A|我们把矩阵 A叫做矩阵A的伴随矩阵。当A是可逆矩时,由定理 5.2.5 , |A| *0,因此由（7）得A A*|A|这就是说1 .A* A=I |A|A*|A|这样，我们得到了一个求逆矩阵的公式。利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（ 它来给出克莱姆规则的另一种推导法。8）的意义主要在理论方面。例如，我们可以应用考虑线性方程组aiixi+a 12x2+a inxn=b 1, a2ix 1+a 22X2+ +a 2nX n=b 2ani xi +an2x2 + +a nnxn=b

21、 n利用矩阵的乘法可以把这个线性方程组写成aiiai2 a21a22ainxi ba2nx2 = b2AinbAnib2Annbn1x = QAiiA2iAnibb2ani an 2ann玄 3这里（aij ） =A是方程组的系数矩阵。当方程组的行列式冏 *0时，系数矩阵 A可逆，用A的逆矩阵A-1左乘（9）式的两端，那么由（8）式得x1A11A12ixi = A AiiA2ixnA1 nA2n由此，对i=1,2,n,有bn1 “.，=（biAii+b 2A2i+ +bnAni）|A|这正是克莱姆规则给出的方程组的解。最后我们研究一下矩阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩。我们将要得出两个有用的结论。

22、 先看矩阵乘积的行列式。首先证明引理5.2.6 一个n阶矩A总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵di0A= d20dn并且 |A|=|a|=d id23dn证如果A的第一行和第一列的元素不都是零。那么必要时总可以通过第三种初等变换使左上角的元素不为零。于是再通过适当的第三种初等变换可以把A化为00di0如果A的第一行和第一列的元素都是零，那么 A已经具有(10)的形式。对 A1进行同样的考虑，易见可 用第三种初等变换逐步把A化为对角矩阵。根据行列式的性质，我们有|A|=|a|=d id2 dn定理5.2.7设A, B是任意两个n阶矩阵。那么|AB|二|A| B|证先看一个特殊情形，

23、即 A是一个对角矩阵的情形。设diA=d2dn令 B= (bij ) dibii d 2 b2iAB=,容易看出 dibi2 d2 b22<dibind2 b2ndnbni dnbn2因此由行列式的性质得dn bnn|AB|二=|A| B|现在看一般情形，由引理 5.2.6 ,可以通过第三种初等变换把A化为一个对角矩阵a,并且|A|=|a| O矩阵A也可以反过来通过对a施行第三种初等变换而得出。这就是说，存在Tij(k)型Ti,T2,Tq,A=TiTpaTp+iTq于是AB= (Ti Tp a) (Tp+iTqB。然而由行列式的性质知道，任意一个n阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初

24、等变换而有所改变，换句话说，用一些 Tij(k)型的初等矩阵乘一个n阶矩阵不改变这个矩阵的行列式。因此，注意到a是一个对角矩阵，我们有|AB|=|T iTpdTp+iTqB|=| a Tp+iTqB|=| a|T p+i TqB|=1 d|B| 二|A|B|.由这个定理显然可以得出，对于 m个n阶矩阵Ai, A2,，Am来说，总有|A iA2Am|=|A i|A 2| |A m|6关于矩阵乘积的秩定理5.2.8两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。特别，当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于 另一因子的秩。证设A是一个m x n矩阵，B是一个n x p矩阵，并且秩 A=r。由定理5.2.2 ,可

25、以对A施行初等变换 将A化为a= 1 r0换句话说，存在 m阶初等矩阵Ei,，Ep和n阶初等矩阵Ep+i,Eq,使 Ei EpAEp+i Eq= a.于是-11_ 一二=AB AB,Eq Ep i 11这里B= Eq Ep 1B.,显然，AB除前r行外，其余各行的元素都是零，所以秩 AB <ro另一方面，E1EpAB是由AB通行初等变换而得到的，所以它与 AB有相同的秩。这样就证明了秩AB秩A ,同理可证秩AB秩Bo如果A, B中有一个，例如 A是可逆矩阵。那么一方面，秩 AB秩B;另一方面，由于 B=A-1(AB),所以秩 B(秩AB o因此，秩人8=秩B。这个定理也很容易推广到任意m

26、个矩阵的乘积的，懵形。任意 m个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩。A=a21a22a23a31a32a33a41a42a431或者分成/、块：a11a12a13、a21a22a23a31a32a33a41a42a43等等。没一个分块如T法叫做 A的一"法。 根据矩阵的加法和M矩阵的乘法自定义,果A, B都用同样的分法来分块：A, B是两个m*n的矩阵，并且对于我们可以把 A简单地写成：A=A11A12A21A22-给了一个矩阵，可以有各种不同的分块方法。例如，我们也可以把上面的矩阵A分成两块:a11a12a13广伊11 A1qB1、 B1pA=, B=Ap1ApqBp1BpqJI而a是

27、一个数，那么A11+B11 A1q+B1qA+B=Ap1+Bp1Apq+Bpq1Aa11 Aa1q”Aa=L aAp1aApq J这就是说，两个同类的矩阵A, B,如果按同一种分法进行分块，那么矩阵的分块乘法。为了说明这个方法，先看一个例子。设a11a12a131、a21a22a23JA与B相加时，只需要最常用到的是A=a31a32a33=A21A221A12A5.3矩阵的分块教学目的：1、掌握矩阵运算的分块技巧。教学内容：设A是一个矩阵。我们在它的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块。例如，设A是一个4*3矩阵alia12a13、a21a22a23A=a31a32a33I Ja41a

28、42a44我们可以如下地把它分成四块：a11a12a13a21a22a23A=a31a32a33a41a42a44用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵。上面的分块矩阵 A是由以下四个矩阵组成的：a11,a12a13A11=a21A12=a22a23a31,a23a33A21=a41A22=a42a43a41a42a43 b11b12B11 B=b21b22=B21b31b32分块乘法就是在计算 AB时，把各个小块看成矩阵的元素，然后按照通常矩阵乘法把它们相乘。用式子写出，就是 _、一 一一、.A11A12B11A,B11+A12B2lCl11 'AB=A21A22B21=A2

29、jB1l+A22B21=C2J 1 ,一般地说，设 A= （aij ）是一个 m*n矩阵，B= （bij ）是一个n*p矩阵。把A和B如下地分块，使 A的列的 分法和B的行的分法一致：n1n2 ns11A12 A1sm1、A21A22 A2sm2XI I I IA=Ar1Ar2 ArsmrP1P2- Ptj/B11B12B1sn1、B21B22 B2sn2XI I I IA=Br1Br2 Bsins这里矩阵右面的数 m1, m2,，（和n1 , n2,ns别表示它们左边的小块矩阵的行数，而矩阵上面 的数n1, n2,，ns和p1, p2,，pt分别表示它们下边的小块矩阵的列数，因而：m1+m2+ +mr=m,II ） n1+n2+ns=n ,p1+p2+pt=p.那么就有P1P2 PtC11C12- C1tm1C21C22C2tm2AB=Cr1Cr2 Crtmr这里LJCij=AijB1j+ .+Ai8B8j,I=1,，r; j=1 ,，t。现在来证明，（2）式成立。由于对A和B的分法，乘积 AiqBqj （q=1,