高中物理-磁场(三)带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题

1、带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题与多解问题一、 带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法物理系统由于某些原因而要发生突变时所处的状态，叫做临界状态.突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变化。在高考试题中涉及的物理过程中常常出现隐含着一个或几个临界状态，需要通过分析思考，运用所学的知识和已有的能力去分析临界条件，挖掘出临界值，那么如何确定它们的临界条件？下面介绍三种寻找临界点的两种有效方法：1.对称思想带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动。分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点 P与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆

2、心 O位于对称线上，入射速度、出射速度与pq线间的夹角（也称为弦切角）相等，并有 时=0=2ZI=Ht,如图所示。应用这一粒子运动中的“对称性”不仅可以轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题 的求解也非常便捷。【典例】如图所示，半径 r = 10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟 y轴在坐标原点 。处相切；磁 场B= 0. 33T垂直于纸面向内， 在O处有一放射源 S可沿纸面向各个方向射出速率均为 v=3.2 X 106m/s的a 粒子；已知“粒子质量为 m=6.6X 10-27kg,电量q=3.2 x 10-19c,则a粒子通过磁场空间的最大偏转角。及在 磁场中运动的最长时间

3、t各多少?【审题指导】本题a粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于a粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角。不同，要使a粒子在运动中通过磁场区域的偏转角。最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出a粒子的运动轨迹进行求解。【解析】。粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：R = =0.2m = 2r qBa粒子从点©入磁场而从点P出磁场的轨迹如图圆o所对应的圆弧所示:该弧所对的圆心角即为最大 偏转角9。由上面计算知aso p必为等边三角形，故s =60

4、76;此过程中粒子在磁场中运动的时间由£ = t = 7 -T = &"乂10步后即为粒子在磁场中运动的最长时66寸月间。【名师点睛】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。2.放缩法带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速 度的变化而变化，如图所示 （图中只画出粒子带正电的情景 ），速度vo越大，运动半径也越大。可以发现这 样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP上。X XXX X X'tJf'.jx v. xX X i X

5、 ，吗；X X* * mM M由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P为定点，圆心位于PP直线上，将半径放缩作轨迹， 从而探索出临界条件， 使问题迎刃而解，这种方法称为“放 缩法”。【典例】 如图所示，宽度为 d的匀强有界磁场，磁感应强度为 B, MM和NN是磁场左右的两条边界 线.现有一质量为 mi电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直射入磁场中， 0 =45。.要使粒子不能从右边 界NN射出，求粒子入射速率的最大值为多少？【解析1用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如图所示，当其运动轨迹与W边界线相切于F点时，这戟是 具有最大入射速率七的粒子的轨迹口由题图

6、可知:1 - cos45 * ) =R a亢.联立可f阜-【簪案】十也道3.平移法带电粒子以一定速度沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径相同, 若射入初速度为 V0,则圆周运动半径为 R mv/( qB),如图所示。同时可发现这样的粒子源的粒子射入磁场后，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心在以入射点P为圆心、半径R= mv/( qB)的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。由此我们也可以得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为 R= mv/( qB)的圆沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“平

7、移法”。【典例】 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B= 0.60T,磁场内有一块平面感光板 ab,板面与磁场方向平行，在距 ab的距离l=16 cm处，有一个点状的 a放 射源S,它向各个方向发射 a粒子，a粒子的速率都是 V=3.0X106 m/s。XXXXXa .= bxxxxxXXXXXi SXXXXX圆周运动，可求出它们的运动轨迹半径R 由qvB= nv,得 R=v-,代入数值得 R= 10 cm ,可见q/ m B已知a粒子的电荷量与质量之比 9= 5.0X107 C/kg ,现只考虑在图纸平面中运动的a粒子，求ab上m被a粒子打中的区域的长度

8、。【解析】a粒子从S点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中均沿逆时针方向做匀速2R>l >R由于朝不同方向发射的 a粒子的圆轨迹都过 S,可先考查速度沿负 y方向的a粒子，其轨迹圆心在 X轴上的Ai点，将a粒子运动轨迹的圆心 A点开始，沿着“轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如图所示。由图可知，当轨迹图的图心整至4点时，粒子运动轨迹与病相交处丹到£的距离为2吊艮即为粒子打申 /上区域的右边最近点，由题中几何关系得：加=J 2艮当日粒子的轨迹的图心由4点移至A点的过程中，粒子运动轨迸均会与方相交，当移动用点后将不再与 独相交了，这说明图心位于A*的轨迹圆，与*相切的月

9、点为粒子打中区域的左边最远点口可过用点作平行于 他的直小再过乩作好的垂线，它与超的交点即为6,同样由几何关系可知：幽=JR： ，：1 Rj;则所求任度为凡月=旃：十阳，代人数值得产乃=加5.【答案】20 cm【典例】 如图所示，S为电子射线源能在图示纸面上和360。范围内向各个方向发射速率相等的质量为m带电-e的电子，MN是一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离 OS= L,挡板左侧充满垂直纸面向里 的匀强磁场;若电子的发射速率为V。，要使电子一定能经过点0,则磁场的磁感应强度B的条件?若磁场的磁感应强度为 B,要使S发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大?若磁场的磁感应强度为 B,从S发

10、射出的电子的速度为 空BL,则档板上出现电子的范围多大?m【审题指导】电子从点S发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点S向与SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点 O;由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹构成绕S点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图所示，最低点为动态圆与 MN相切时的交点，最高点为动态圆与MN相割，且SP2为直径时P为最高点。【解析】要使电子一定能经过点心即券为圆周的一条弦，购电子图周运动触I道半径必涓足Rh

11、L,由吧工至三得：E丈网上2史E 2eL©要使电子从s发出后能到达档板,则电子至少能到达档板上的。点，故仍有粒子圆周运动半径口-L . rm- o L 华 1 eBLR 2 一, 由一-之一有1V。2当从s发出的电子的速度为学时，电子在磁场中的运动轨迹半径R = = 2L tnqB作出图示的二临界轨迹畲，能j故电子击中档板的范围在巴巴间a对巫弗由图知。耳二:21y -I?三瓜对 风弧由图知OP二=J(4L -L2 = JIMl【答案】见解析【名师点睛】本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围。二、带电粒子

12、在有界磁场中运动的临界极值问题1.有界磁场分布区域的临界问题该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的 要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。容易混淆点是：有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的圆弧。解决的方法就是加强有界磁场圆形区域 与带电粒子运动径迹所在圆的圆心以及半径的对比。在涉及多个物理过程问题中，依据发生的实际物理场景，寻求不同过程中相衔接和联系的物理量，采 用递推分析或者依据发生的阶段，采用顺承的方式针对不同阶段进行分析，依据不同的运动规律进行解 决。【典例】一质量m带电q的粒子以速度V0从A点沿等边三角形 AB

13、C的AB方向射入强度为 B的垂直于 纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。【审题指导】由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿AB进入磁场而从 BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧 PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线 PQ为直径的圆如图中实线圆所示。【解析】由题意知，图形磁场区或的最小面枳为图中实所示的圆的面积因为处C为等边三角形j故图中口 =30'则；2r = PQ =二看巴工qB、3 nm、不萩最小磁场区域的面积为。斗qB【答案】短铲【典例】

14、如图所示， ABC虚边长为a的正方形.质量为 m电荷量为e的电子以大小为 V0的初速度沿 纸面垂直于 BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，者B只能从A点射出磁场.不计重力，求：(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小;(2)此匀强磁场区域的最小面积。【审题指导】根据带电粒子的电性和入射、出射方向，结合左手定则能否判定匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小？由C点入射的粒子的运动轨迹，能否确定出粒子运动的上边界？取边BC中点，画出轨迹，以 D为原点、DC为x轴、DA为y轴建立坐标系，能否写出 P点的坐标，你会有什么发现？【解析】(1)设匀强磁场的磁

15、感应强度的大小为B.令圆弧AE出自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的磁场的作用力f = Bew ,应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧 京C勺圆心在CB边或其延长线上.依题意，圆心在 A C连线的中垂线上，故 B点即为圆心，圆半径为a ,按照牛顿定律有2Vo f = ma联立得B=mvea(2)由(口中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自丁点垂直于EW入射的电子在1点看麴声向射出，且自北边上其他点垂直于融入射的电子的运动轨迹只能在卫公七区域申.因而，圆弧二，：是所求的最小磁场区域 的一个边畀。为了决定该磁场区域的另一边界，我们来若寮射中月点的电子的速度方

16、向与班的延长线交角为“不妨设 0自六)的情形。读电子的运动轨迹斜3r如右图所示*图中，圆弧 Q 的圆心为 Q PQ垂直于BC边，由式知，圆弧 KP的半径仍为a,在以D为原点、DC为x轴、AD为y轴的坐标系中，P点的坐标(x, y)为x= asin 9y= - a- (a- acos 0 ) = - acos 0 Tt. . 这意味着，在范围owew内，P点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周 际C它是电子做直线 运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周葩渤舒西围成的，其面积为 S= 2（4式a2 2a2）

17、 = 2a2.【答案】（1） mvv垂直于纸面向外（2）三Ea2ea2【名师点睛】确定带电粒子在有界磁场中运动的最小面积时，可将粒子运动的边界点的运动轨迹用标准的尺规作图，然后借助数学方法找出边界的特点，最终由几何方法求出面积.2 .求解运动电荷初始运动条件的边界临界问题该类问题多指运动电荷以不同的运动条件进入限定的有界磁场区域，在有限的空间内发生磁偏转，有 可能是一个相对完整的匀速圆周运动，也有可能是圆周运动的一部分，对于后者往往要求在指定的区域射 出，但由于初速度大小以及方向的差别，致使运动电荷在不同的位置射出，因此也就存在着不同情况的边 界最值问题。因外界磁场空间范围大小的限定，使运动的

18、初始条件有了相应的限制，表现为在指定的范围内运 动.确定运动轨迹的圆心，求解对应轨迹圆的几何半径，通过圆心角进而表述临界最值，这应当是解决该 类问题的关键。（1）带电粒子在“平行直线边界磁场”中的运动甲乙丙a.圆心在磁场原边界上（如图甲）速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。b.圆心在过入射点跟边界垂直的直线上（如图乙） 速度较小时，作圆周运动通过射入点；速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切； 速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。c.圆心在过入射点跟跟速度方

19、向垂直的直线上（如图丙）速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。【典例】如图甲所示，真空中宽为d的区域内有强度为 B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成。角的速度 垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度 应满足什么条件？ EF上有粒子射出的区域?【审题指导】如图乙所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即

20、可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。1解析】粒子从A点进入曲场后受洛伦兹力作匀速圆周运动,要使粒子必苜孤EF射出，则相应的临界 轨迹必为过点A并与好相切的轨迹如图丙所示j作出距P点速度的垂线相交于。艮防该临界轨迹的圆心专临界半径艮由&o+R(>C抬9 = d有：R.=：故粒子必肓婚出EF的实际运动轨迹半径信艮即：R=0>-有；v0 > qB 1+ Cos9m(14-由图知粒子不可能从 P点下方向射出EF,即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点 A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的

21、区域为 PG且由图知：PG R0SindcotdSin1 Cosdcot 。【答案】见解析【名师点睛】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放 缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临 界轨迹”及“临界半径 K”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R)的大小关系确定范围。(2)带电粒子在“矩形边界磁场”中的运动a.圆心在磁场原边界上 速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。速度在某一范围内时从侧面边界飞出；速度b.圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上速度

22、较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；速度在某一范围内从上侧面边界飞；速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。【典例1】（多选）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于 cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与 0峨30。角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是D

23、.若该带电粒子在磁场中经历的时间是5,-to,则它一定从cd边射出磁场 32 -to,则匕一th从ad边射出磁场 35 4t0,则它一定从bc边射出磁场to,则它一定从ab边射出磁场【解析】如图所示,b作出刚好从由射出的轨迹、刚好从£匚边射出的狗渡、从边射出的乳迹©花刚好从4边射出的.凯渡郡。由从白点沿观面以垂直于白一边的速魅射入正方形内，经过时间亡：后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中僚国周运幼的周期是2£“可知，从/边射出磁场经历的时间一定小于*：；汕城辿射出磁场经历的盹间一定大于等于小J"队这边射出磁场经血的时间一定大于等于小t=i超3边射出

24、磁场经用的时间一定是鼻也。J【答案】AC【典例】 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内有磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中点O处，以垂直磁场且跟 ad边成30。角的速度方向射入一带电粒子。已知粒子质量为mj带电荷量为q, ad边长为l ,不计粒子重力。求：(1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度 v0的范围是多少？(2)粒子在磁场中运动的最长时间为多少？【解析】 带电粒子在 O点所受洛伦兹力方向垂直于V%即图中OO方向，所有粒子的轨道圆心均应在直线OO上. 因矩形区域abcd足够长，所以当轨道与 cd相切时，其半径应是所有从 ab上射出的粒子中最大的,对应粒子的速度

25、也最大.设上述切点为 M则该粒子轨道白圆心必在过M且与cd垂直的直线上. 设轨道与cd相切的粒子，其轨道半径为 R,由几何关系可得Rsin30。+ 2= R2 qBl解得R=l ,由公式qvB= mv/ RI,得该轨道上粒子速度为 丫。1=-m'对于从ab射出的、速度最小的粒子，其轨道应与ab相切，设切点为 N,圆心为O,半径为R,则1-1,2- qBlR+Rcos60 = H ,解得 R=R ,由 qvB= mV/R可得 v02 = *.233111(1)台结论知，所有从岫上射出的苞子的入射速度的范国应为孚2/幽. 30 mS & B同 占市)带电粒子在磁场中运动的时间工3一

26、3由此可知,H取决于粒子在磁场中摘过的角度，从3 7K qBK j&上面的分析可以推知，当粒子轨道半径E此时粒子均从加边上射出，转过的角度均为手，这些粒子在磁场 中运动的时间最长，4T空.【答案】qBl qBl<V0<一3m m(2)5nm3qB(3)带电粒子在“圆形边界磁场”中的运动a.带电粒子在环状磁场中的运动【典例】 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内(否则不可能发生核反应)，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)。如图9-19所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为 R=0.5m,外半径R2=1.0m,磁场的磁感强度 B=1.0T,若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4X 107 C/kg,中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算:(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。(2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。【审题指导】本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能 穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线