高三导数压轴题题型归纳

1、导数压 轴题题 型归纳1.图考命题回顾例1已知函数f(x) =exln(x +m). (2013全国新课标II卷)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当 me2 时，证明 f(x)0.例 2 已知函数 f(x) =x2+ax + b, g(x) =ex(cx+d),若曲线 y = f(x)和曲线 y = g(x) 都过点P(0, 2),且在点P处有相同的切线y = 4x+2 (2013全国新课标I卷) (I )求 a, b, c, d 的值(R)若x 2时，f(x)kg(x),求k的取值范围。例3已知函数f (x)满足f (x) f(1)ex1 f(0)x -x2

2、(2012全国新课标)2(1)求f (x)的解析式及单调区问；(2)若 f(x) lx2 ax b,求(a 1)b 的最大值。2例4已知函数f(x)如2 b ,曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为 x 1 xx 2y 3 0o (2011全国新课标)(I )求a、b的值；(R)如果当x 0,且x 1时，f(x)皿K,求k的取值范围。x 1 x例5设函数f (x) ex 1 x ax2 (2010全国新课标)(1)若a 0,求f(x)的单调区间；若当x 0时f (x) 0 ,求a的取值范围例 6 已知函数 f(x) =(x3+3x2+ax+b)e x.(2009 宁夏、海南)(1)

3、若a=b= 3，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(oo,a),(2, B)单调增加，在(a ,2),( B ,+却单调减少，证明0 -a 6.2.在解题中常用的有关结论 X(1)曲线y f(x)在x x0处的切线的余率等于f (x0),且切线方程为y f (%)(x %) f(x。)。(2)若可导函数y f (x)在x x0处取得极值，则f (x0) 0。反之，不成立。(3)对于可导函数f (x),不等式f (x) 0( 0)的解集决定函数f (x)的递增(减)区间。(4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：x I f (x) 0 ( 0)恒成立(f (x)不恒为0).(5)

4、函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f (x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f (x) 0在区间I上有实根且为非二重根。(若 f (x)为二次函数且I=R,则有0)。(6) f (x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x) 0或f (x) 0在I上恒成立若 x I , f (x) 0 恒成立，则 f (x)min 0；若 x I , f (x)0 恒成立，则 f (x) max 0(8)若x0I ,使得 f (x0) 0 ,则 f(x)maX 0 ；若x。I ,使得 f(x0)0 ,则f(x)min0.(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为

5、 D,若 x D f (x) g(x)恒成立，则有f(x) g(x) min 0.(10)若对x1I1、x2I2 ,f(x)g(x2)恒成立，则f (x)ming(x)max.若对x1I1,x2I2,使得f(X)g(x?)，则 f(x)min 9J濡.若对x1Ix2I2,使得f(x1)gd),则 f(x)max g(x)max.(11)已知f (x)在区间I1上的值域为 A，g(x)在区间I2上值域为B,若对xiI1, x2I2,使得 f (x1)= g(x2)成立，则 A Bo(12)若二次函数f(x)有二个零点，则方程 f (x) 0有两个不等实根 x1、x2,且极大值大于0, 极小值小于

6、0.(13)证题中常用的不等式：x In x x 1 (x 0) x+1 g(x2),求实数b取值范围.4例13 (二阶导转换)已知函数f(x) lnx f (x) a,F (x) (a R)若x,求F(x)的极大值；2若G(x) f(x)kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.1f (x) x - a In x(a R).例14 (综合技巧)设函数x讨论函数f(x)的单调性；若f(x)有两个极值点xi，x2,记过点”xJJi), BX,”)的直线斜率为k, 问：是否存在a ,使得k 2 a?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 交点与根的分布例15 (切线交点)已知函数

7、f xax3 bx2 3x a,b R在点1, f 1处的切线方程为 y 2 0.求函数f x的解析式；若对于区间 2,2上任意两个自变量的值Xi,X2都有f x1f x2c,求实数c的最小值；若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数m的取值范围.例16 (根的个数)已知函数f(x) x,函数g(x) f(x) sinx是区间-1 , 1上的减 函数.(I)求的最大值；(II)若g(x)召t 1在x 1,1上恒成立，求t的取值范围;ln x(m)讨论关于x的方程f(x)2x 2ex m的根的个数.f (x) ln(2 3x) - x2.例17 (综合应用)已知函数2求f(x

8、)在0,1上的极值；1 1 .x -,-,不等式 |a ln x | ln f (x) 3x 0若对任意6 3成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程f(x) 2x b在0, 1上恰有两个不同的实根，求实数b的取 值范围.不等式证明(x)例18(变形构造法)已知函数 x 1, a为正常数.9若“川1nx (x),且a a,求函数f(x)的单调增区问；在中当a 0时，函数v f(x)的图象上任意不同的两点A x1,y1 , B x2,y2 ,线段AB的中点为C(x0,y。)，记直线AB的斜率为k,试证明：k f(x。).gd) g(x1)1若 g(x)11nxi(x),且对任意的x1,x20,2

9、 ,x1x2 ,都有x2x1求a的取值范围.2例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x) x ln(ax)(a 0).(1)若f(x) x2对任意的x 0包成立，求实数a的取值范围；g(x)(2)当a 1时，设函数f(x)XXi,X2若1(一,1), XiX214e2 ，求证 X1X2(xX2)例20 (绝对值处理)已知函数f(X) X3 aX2 bX c的图象经过坐标原点，且在X 1处 取得极大值.(I )求实数a的取值范围； 2(II )右万程f(X)()-恰好有两个不同的根，求f(X)的解析式；9(III )对于(II )中的函数 f(X),对任意、R,求证：|f(2sin

10、 ) f(2sin )| 81.(2)设m 0,求f (x)在m,2 m上的最大值;(3)试证明：对任意n N*,不等式ln(L) n数).例24(化简为繁，统一变量)设2 R,函数f(x)都成立(其中e是自然对数的底 nln x ax(I)若a 2,求曲线y f(x)在P 1, 2处的切线方程;(R)若f (x)无零点，求实数a的取值范围;例21 (等价变形)已知函数f (x) aX 1 ln x (a R).(I )讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数；(田)若f(x)有两个相异零点X1,X2,求证:例25 (导数与常见不等式综合)已知函数ft(x)X1 x2有(t x),其中为正常

11、数. (1 x)2)(H)若函数f(x)在x 1处取得极值，对 x (0 ,) , f(x) bx 2包成立，求实数b的取值范围；(田)当0 x y e2且x e时，试比较 与LJn的大小.x 1 ln x1 27 ,八、f (x) ln x, g (x) x mx (m 0)例22 (前后问联系法证明不等式)已知22,直线l(I)求函数ft(x)在(0,)上的最大值;(H)设数列an满足:一 5a1， 3an 1 an32,an(1)求数列an的通项公式anf2(x)(n N*);3n(2)证明：对任意的x 0 ,、-11(m)证明：1 -anX + x 2成立，求实数a的取值范围;(III

12、)设 n N,证明：(I)求直线与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1的方程及m的值；(H)若h(x) f (x 1) g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大 值。b af(a b) f(2a)-.(III )当0 b a时，求证：2a例23(整体把握，贯穿全题)已知函数f(x)胆1 .x(1)试判断函数f(X)的单调性；aa2例26 (利用前几问结论证明立体不等式)已知函数f(x)=e X-ax(e为自然对数的底数).(I )求函数f(x)的单调区间；(II)如果对任意x 2,都有不等式f(x)(1)n (2)n (3)n(n

13、)n -e-n + n + n + n m32x对所有的a 0,2, x 1,e2都成立，求实数mx02)总能使得F(x2)F(x0)(x1Xz)成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f(x)是不是具备性质”L”，并说明理由.例38(图像分析,综合应用)已知函数g(x) ax22ax 1b(a 0,b 1),在区间 2,3A(x1，y1), B(x2,y2),如果对于函数y F(x)图象上的点 M(x0,y0)(其中的取值范围.例35 (先猜后证技巧)已知函数f (x)1 1n(x 1)x(I )求函数f ( x)的定义域(n)确定函数f ( x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.k田)若

14、x0时f(x) ；包成立，求正整数k的最大值.x 1例 36 (创新题型)设函数 f(x)=e x+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点,求a的值；(H )当 a=1 时，设 P(x1,f(x 1), Q(x 2, g(x 2)(x 10,x20),且 PQ/x 轴，求 P、Q 两点间的最短距离；(田)若乂10时，函数y=F(x)的图象包在y=F( x)的图象上方，求实数a的取值 范围.例 37 (创新题型)已知函数 f(x)=ax ln x 1(a R) , g(x) xe1 x (I)求函数g(x)在区间(0, e上的值域;(II)是否

15、存在实数a,对任意给定的x0(0,e,在区间1,e上都存在两个不同的xi (i 1,2),使得f (xi) g(x0)成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；f(x)典上有最大值4,最小值1,设 x .(I )求a,b的值; xx(n)不等式f(2) k 20在x 11上恒成立，求实数k的范围；, x2f(|21|) k( 3) 0(田)方程|2 1|有三个不同的实数解，求实数k的范围.导数与数列例39 (创新型问题)设函数f (x) (x a)2(x b)ex, a、b R , x a是f(x)的一个极 大值点.若a 0,求b的取值范围；当a是给定的实常数，设为，x2, x3是

16、f(x)的3个极值点，问是否存在实数b,可找到刈R ,使得。x2, x3, x4的某种排歹【为2不尽(其中i1, i2, i3, i4 = 1,2,3,4 )依次成等差数列?若存在,求所有的b及相应的x4；若不 存在，说明理由.n 1 ln nT2011 .2例40 (数列求和，导数结合)给定函数f(x) 2(x 1)(1)试求函数f x的单调减区问；1 .1(2)已知各项均为负的数列an满足，4& f () 1求证： anan 11(3)设bn，Tn为数列bn的刖n项和，求证：T2012 1 ln 2012an导数与曲线新题型例41 (形数转换)已知函数f (x) ln x , g(x) 1

17、ax2 bx (a 0). 2(1)若a 2 ,函数h(x) f (x) g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范围；(2)在(1)的结论下，设函数(x)=e 2x+bex,x C 0,ln2, 求函数 (x)的最小值;(3)设函数f(x)的图象G与函数g(x)的图象G交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交G、G于点M、N ,问是否存在点R,使G在M处的切线与 C2在N处的切线平行？若存在,求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.例42(全综合应用)已知函数f(x) 1 ln(0 x 2).2 x(1)是否存在点M (a,b),使得函数y f (x)的图像上任意一点P关于点M对称的点

18、Q也在函数y f (x)的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；、 2nli 122n 1(2)定乂 &f(-)f(-) f (-) f()，其中 n N ,求S2013;i 1 n n nn(3)在(2)的条件下，令Sn 1 2an ,若不等式2an (an)m 1对n N*且n 2恒成立，求实数m的取值范围.导数与三角函数综合2例43 (换元替代，消除三角)设函数f(x) x(x a) ( x R),其中a R .(I)当a 1时，求曲线y f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；(U)当a 0时，求函数f (x)的极大值和极小值；(田)当a 3, k1，0时，若不等式f

19、(k cosx) f (k2 cox)对任意的x R恒成立，求k的值。例44 (新题型，第7次晚课练习)设函数f (x) ax cosx,x 0,.(1)讨论f(x)的单调性(2)设f(x) 1 sin x,求a的取值范围.创新问题积累例45已知函数f(x) ln*/-. x 4 4I、求f(x)的极值.II、求证f(x)的图象是中心对称图形.III、设f(x)的定义域为D,是否存在a,b D.当x a,b时，f(x)的取值范围是a,- ?若存在，求实数a、b的值；若不存在，说明理由4 4例46已知函数f (x) x4 4x3 ax2 1在区间0,1上单调递增，在区间1,2上单调 递减.(1)

20、求a的值;(2)设g(x) bx2 1,若方程f(x) g(x)的解集恰好有3个元素，求b的取值范 围；(3)在(2)的条件下，是否存在实数对(m,n),使f(x m) g(x n)为偶函数？如存在，求出m, n如不存在，说明理由.导数压轴题题型归纳参考答案例 1 (1)解 f (x) =exln( x + m)?f (x)=ex ?r(0) =e0 =0?m= 1, x+m0+m定义域为x| x- 1,1ex x + 1 1f (x)=exrm=一，显然f(x)在(1,0上单调递减，在0, +oo)上单调递增.(2)证明 g(x) =ex ln( x + 2),则 g (x)=ex ，(x

21、2).x + 2h(x) =g，(x) =ex (x2) ?h，(x) =ex+120, x+2x+2所以h(x)是增函数，h(x)=0至多只有一个实数根，1111又g (2)=130,21所以h(x)=g (x)=0的唯一实根在区间 一2, 0内，设 g (x)=0 的根为 t,则有 g (t) = et，=0 -3t0 ，所以，et=?t t +22t +2+ 2 = e，,当 xC(2, t)时，g (x)g，(t) = 0, g(x)单调递增；所以 g(x)min=g(t) =et - ln( t + 2) = +t =0,t +2 t +2当 mex ln( x+ 2) =g(x)

22、g(x) min0. 例 2(1)由已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 4, g (0) 4,而 f (x) = 2x b , g (x) =ex(cx d c), a =4, b =2, c=2, d =2; 4 分(H)由(I)知，f (x) x2 4x 2, g(x) 2ex(x 1),设函数 F(x)=kg(x) f(x) =2kex(x 1) x2 4x 2 ( x 2), xxF(x)=2ke(x 2) 2x 4 = 2(x 2)(ke1),有题设可得F(0) 0,即k 1 ,令 F(x)=0 得，x1 = ln k , x2 = - 2,(1)若 1 k e2 ,则

23、一2 Xi00, .当 x ( 2,Xi)时，F(x) 0,即F(x)在(2,不)单调递减，在(Xi,)单调递增，故F(x)在x = Xi取最小 值 F(x1), 而 F(x1) = 2x1 2 x12 4x1 2= x1(x( 2) 0,.当 x 2 时，F(x)0,即 f(x) W kg(x)包成立,(2)若 k e2, WJ F (x)=2e2(x 2)(ex e2), .当 x 2 时，F (x) 0,F(x)在(一2,+ oo)单调递增，而 F( 2)=0, .当 x 2 时，F(x) 0,即 f(x) W kg(x)包成立，(3)若 k e2,则 F( 2)= 2ke 2 2= 2

24、e 2(k e2) 2时，f(x) Wkg(x)不可能包成立，综上所述，k的取值范围为1, e2.1例 3(1) f (x) f (1)ef(0)x -x2f (x) f (1)e f (0) x2令 x 1 得：f (0) 1x 1 2X得：f(x) e x x g(x) f (x) e 1 x 2g (x) ex 1 0 y g(x)在x R上单调递增得：f(x)的解析式为f (x) ex x 1 x22且单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,0)(2) f (x) 1x2 ax b h(x) ex (a 1)x b 0得 h (x) ex (a 1) 2当a 10时，h(x)0yh(

25、x)在x R上单调递增x 时，h(x) 与h(x) 0矛盾当 a 10时，h(x)0xln(a 1),h (x) 0 x ln(a1)得：当 x ln(a 1)时，h(x)min (a 1) (a 1)ln( a 1) b 0令 F(x) x2 x2 ln x(x 0);则 F (x) x(1 2ln x)当x f时，F(x)ma谓当a ee 1,b Te时，(a 1)b的最大值为f2(ln x) b例 4 解(I ) f(x) x-2b2(x 1)2x21f(1) 1,由于直线x 2y 3 0的斜率为-,且过点(1,1),故1即2f (1),2b 1,a1解得 a 1 , b1一b,225)

26、由(I)知f(x)也且L所以x 1 x2，lnx k、1(k 1)(x2 1)、f(x) ()2 (2ln x)x 1 x 1 xx22考虑函数 h(x) 2ln x (k 1)(x1 (x 0),则 h(x) (k 1)(x 2 1) 2x xx(i)设k 0,由 h(x)DJx 1)2 知,当 x 1 时，h(x)x1h(1) 0 故当 x (0,1)时，h(x) 0,可得2 h(x) 0;1 x1当 x (1, + )时，h (x) 01 x从而当x0,且x1 时，f (x)-T+)x 1 x0,即 f (x)0 , h(x)递减。而lnx k+_一x 1 x(ii )设 0k0,故 h

27、 (x ) 0,而 h (1) =0,故当 x (1,)时，h(x) 0,可得 一1Th 1 k1 x2(x) 0,fffih (1)=0,故当x (1, + )时，h (x) 0,可得一1方h (x) 0,与题设矛盾。 1 x综合得，k的取值范围为(-,0例 5 (1) a 0时，f(x) ex 1 x , f (x) ex 1 .当 x (,0)时，f(x) 0；当 x (0,)时，f(x) 0.故“刈在(，0)单调减少，在(0,)单调增加(II) f(x) ex 1 2ax由(I)知ex 1 x,当且仅当x 0时等号成立.故f (x) x 2ax (1 2a)x ,1 一从而当 1 2a

28、 0,即 a 时，f(x) 0 (x 0),而 f(0) 0,2于是当x 0时，f(x) 0.1 .由e 1 x(x 0)可得e1 x(x 0).从而当a1时，f(x) ex 1 2a(ex 1) ex(ex 1)(ex 2a),故当 x (0,ln2a)时，f (x) 0,而 f(0) 0,于是当 x (0,ln2a)时，f (x) 0.例 6 解：(1)当 a=b= 3 时,f(x) =(x3+3x23x3)ex,故f (x) = (x 3+3x2 3x-3)e x +(3x 2+6x-3)e x=e x (x 39x) x=x(x 3)(x+3)e当 x 3或 0Vx0;当一3x3 时,

29、f (x)0.从而f(x)在(一oo, 3),(0,3)单调增加，在(一3,0),(3,+oo单调减少.(2)f (x) = (x 3+3x2+ax+b)e x +(3x 2+6x+a)e x = e x x3+(a 6)x+b a由条件得 f (2) =0，即 23+2(a6)+ba = 0,故 b = 4a.从而 f (x) = e x x3+(a 6)x+4 2a.因为 f ( a)= f ( B)=0,所以 x3+(a 6)x+4 2a= (x 2)(x a )(x B )二 (x2) x2 ( a + p )x+ a 固.将右边展开，与左边比较系数，得a + 0 = 2,= a 2.

30、故()2 412 4a.又(B 2)( a-2)0,即 a B 2( a + B )+攵 0.由此可得 a 6.例7 ( I)当k 1时，x 2xxxxf x x 1 e x , f x e x 1 e 2x xe 2x x e 2令f0,得 0, X2令 f x 0,得 x1 0, x2 ln2所以 k在1,x0上单调递增，在x0,1上单调递减.2因为 h11 x e - 0, h 10,228ln2k ,In 2kk，则g2,1上递增,所以h k 0在1 1上包成立，当且仅当k 1时取得 2,综上，函数f x在0,k上的最大值M k 1 ek k3.1 .1 o例 8 斛:(I ) - f

31、 (x) - x ax x b(a 0), 32.-2 f (x) x ax 1 f(x)在(1,0)处切线方程为y 3x 3,. f(1) 3* *,f(1) 0所以ln2In 2 In e0,从而In2k k,所以In2k 0,k所以当0,ln2k时，f x0；当xIn 2k ,时,f x 0;所以max f 0k max1,k33k ,3k,则所以1,1上递减,而2所以存在X02,1使得X00,且当12,X0时，k 0,当 kxq,1 时，k 0,11,八a 1, b .(各 1 分)62/ 仃、，、f (x)x ax1 ,c、(n)g(x)axax(xR).ee当 a 0时，g(x)

32、2x,0-0+极小 值/g（x）的单调递增区间为（0,），单调递减区间为（，0）2当a 0时，令g（x） 0,得x 0或x - a a（i）当2 a 0,即0 a后时， a0-0+0-极小值/极大值2 a2 2 a2g（x）的单调递增区间为（0,”_）,单调递减区间为（，0）,（上,）;aa(ii)当 2 a a故9触)在(0,即 a 应时，g(x)2x2e 2x 0,曲线v f(x)在点P处的切线方程为y (2x12a)2x1 (x x1)单调递减；0,即a 拒时,2x1ax2一2x1X2Xi2x1 a2x1X12a x12x10-0+0-极小 值/极大 值(iii)当 2 a a,X1、a

33、2a x12x1X2X12 a29)在(一a-,0)上单调递增，在(0,),( a2 a22-)上单调递减aa2x1X22x1 a2x1X1综上所述，当a 0时，g(X)的单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0);例10当aa/时，g(x)的单调递增区间为2 (0,-22)，单调递减区间为(,0) a f(x) x2衣, g(X)的单调递减区间为(时，g(x)的单调递增区间为(2 aa,0)，单调递减区间为(0,)、所以X1(a 2)xf(x) (x22a2 4a ex.以下分两种情况讨论：_ _2右a,则 2a a 2.当x变化时,32X)eX,故f(1) 3e(,2 aa)例9解：(

34、1)32a 1 时，g(x) x x ,由 g (x) 3x.3 x 1 0 ,解得 3+0一0+/极大 值极小 值/f(x), f(x)的变化情况如下表:函数f(x)在x2a处取得极大值f( 2a),且( 2a) 3ae2a.2若aa 2,当x变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表: 301-0+0极小 值/0g(x)的变化情况如下表:+0一0+/极大 值极小 值/2) (4 3a)ea 2.x由g(C空所以当 3时，g(x)有最小值39函数f(x)在X a 2处取得极大值f(a 2),且f(a例 11 解：(I )(x) f x 1In x -,X 1X 12证明：曲线y f(x)在

35、点P(x1，2x1a)处的切线斜率k f(x1)2x1x2 1X X 1(n) ; f(x)-f(Xo)0函数(x)的单调递增区间为0,1和1,1X01切线I的方程为y In x0一(x x0),即yX0设直线I与曲线y g(x)相切于点(X1,ex1),1.-一 x In X0 1, dX0g (x)ex , 二 ex01一， X1In X0, . g(%)X011一 x In x0 , 即 y xX0X0e lnX0ln X0x0X0x0由得In x0In x01. IX0 1.In x0X0 1下证：在区间(1,+ )上X0存在且唯x 1由(I)可知，(x) Inx在区间(1,+ )上递

36、增.x 12/2e 1222 e 1 e 3 n乂 (e) Ine 0 , (e ) Ine-30 ,e 1 e 1e2 1e2 1结合零点存在性定理，说明方程(X) 0必在区间(e,e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯X。故结论成立.例12f (x)ln x1 a|ax 1(x 0) , f (x) axx2.ax x a 1,2(x 0) x1x (1,- 1)时，h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递增； ax (- 1,)时，h(x) 0, f (x) 0 ,函数 f(x)单调递减. a一 一.1当 a 0 时1 0,当 x (0,1),h(x) 0, f (x) 0,

37、函数 f (x)单调递减； a当 x (1,),h(x) 0, f (x) 0 ,函数 f(x)单调递增.综上所述：当a 0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；,1当a 3时X X2,h(x) 0包成立，此时f(x) 0,函数f(x)在(0,)单调递减；一 111当0 a 时，函数f(x)在(0,1)递减，(111)递增，(1,)递减.2aa当a 1时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意为(0,2), 41有 f(X1) f(1)-,1. 一又已知存在 X21,2 ,使 f(x1)g(X2),所以-g(X2), X21,2 , (X)又 g(

38、x) (x b)2 4 b2,x 1,2令 h(x) ax2a(X 0)当a 0时,h(x) x 1(x 0),当 x (0,1), h(x)0, f (x)0,函数f (x)单调递减;当 x (1,),h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递增.1当 a 0 时，由 f (x) 0,即 ax2 x 1 a 0,解得 X 1% 1. a1当a 2时x1X2, h(x) 0恒成立，此时f (x) 0,函数f(x)单调递减；一 1 .1当 0 a 时，一1 1 0,x (0,1)时 h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递减;2 a当b 1时，g(X)ming(1)52b0

39、与(X)矛盾;当 b 1,2 时，g(x)ming(1)4b20也与(X)矛盾；当b 2时，g (X)ming(2)84b117,b.28综上，实数b的取值范围是17).例13解：F(x) -f(x)XaInXXa定义域为x(0,)令 F (x)0彳3x1 ae由 F (x)0得 0 x1 ae由 F (x)0得x1 ae即F(x)在(0,e1 a)上单调递增，在(e1 a,)上单调递减x e1a 时，F(x)取得极大值 F(e1a 1 a) ea 1 e因为 f(Xi) f(X2)(Xi G(x) (In x)2 kx的定义域为(0, +8), G (x) 效9k x、XX2x2) a(In

40、 x1In x2),x1x2由G (x)在定义域内单调递减知：G (x)2 In xxk 0在(0, +oo)内恒成立f(X) f(X2)X1 x2x1x2In x1 In x2 ag x1 x2人22(1 In x)令 H(x) -Inx k,则 H(x) -一2一- XX(x) 0 彳4x e又由知，xx2 1,于是k 2In x1 In x2 ag -xix2丁当x (0,e)时H (x) 0,H (x)为增函数当 x (e,H (x) 0, H(x)为减函数若存在a ,使得k 2 a.则In x1In x2xX21 ,即 In x1In x2xx2 .2当x = e时，H(x)取最大值H(e) k e故只需2 k 0恒成立，k -1X2X22In x201x21)(*)亦即又当ke2 ,一，一时，只有一点x =ee使彳3G (x)H(x)0不影响其单调性例14解：f (x)的定义域为(0,).f(x) 12x ax 12x再由知，函数h(t)1x2 - 2In x2又2例15解:3ax2令 g(x)x2 ax 1,其判别式V a2 4.当|a|20寸,V 0,f(x)0,故 f (x)在(0,)上单调递增.2 52,V0,g(x)=0的两根都小于0,在(0,)上，f(x) 0,故 f(x)在(0,上单调递增.当 a 2时,V0,