2019届高考数学(理)冲刺大题提分(7)立体几何建系困难问题(含答案)

1、大题精做立体几何：建系困难问2019长沙统测已知三棱锥P - ABC （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD为边长4等于 短的正方形， 4ABE和4BCF均为正三角形，在三棱锥 P - ABC中:（1）证明：平面 PAC _L平面ABC ;（2）若点M在PA上运动，当直线 BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P-BC -M的余弦值.【答案】（1）见解析;5 3333【解析】（1）设AC的中点为O ,连接BO , PO .由题意，得 PA = PB=PC=J2, PO =1 , AO=BO=CO=1. .在 APAC 中，PA=PC,。为 AC 的中点，PO _LAC , 在

2、POB 中，PO=1, OB=1, PB=亚，PO2+OB2=PB2, /. PO _L OB . . ACnOB=O, AC , OB =平面，. . PO _L平面 ABC , PO c=平面 PAC , 平面 PAC _L平面 ABC .(2)由(1)知，BO _LPO , BO _LAC , BO _L平面 PAC ,BO 1ZBMO是直线BM与平面PAC所成的角，且tanZBMO =， OM OM 当OM最短时，即 M是PA的中点时，ZBMO最大.由 PO _L平面 ABC , OB _L AC ,，PO _LOB , PO _LOC ,于是以OC , OB , OD所在直线分别为x

3、轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系,则 O（0,0,0 ）,1C（1,0,0 ）, B（0,1,0）, A（T,0,0）, P（0,0,1）, M .2,0,2 ）BC=（1T0 b PC =（1,0,1）, MC =jj,0,设平面MBC的法向量为m= (xi,y1，Z1 ),rrm , m BC =0X1 -y1 二0人则由 1得：，.令 X1 =1 ,得 y1 =1 , z1 =3 ,即 m =（1,1,3）.m MC =03x1 -z1 =0设平面PBC的法向量为n=(X2,y2,z2 ),n BC 二0x2 -y2 =0,由 4 t 得：（，令 x =1 ,得 y =1 , z

4、=1 ,即 n =（1,1,1）.n PC =0x2 -z2 =0cos n,m55 33m| n . 3333.由图可知，二面角P -BC -M的余弦值为5理.331. 2019安庆期末矩形ABCD中，AB =1 , AD =2 ,点E为AD中点，沿BE将 AABE折起至 4PBE ,如图所示，点 P在面BCDE的射影。落在BE上.(1)求证：面PCE，面PBE ;(2)求平面PCD与平面PBE所成锐二面角的余弦值.2. 2019南阳期末如图1,在矩形ABCD中，AB =35 , BC =2击，点E在线段DC上，且DE = J5 ,现将4AED沿AE折到AED'的位置，连结 CD,，

5、BD，如图2.aan的1W25-(1)若点P在线段BC上，且BP =,证明：AE_LDP; 2.(2)记平面ADE与平面BCD'的交线为l .若二面角B-AE-D'为孑，求l与平面DCE所成角的 正弦值.3. 2019苏州调研如图，在四锥P -ABCD中，已知底面ABCD是边长为1的正方形,侧面PAD _平面ABCD , PA=PD , PA与平面PBC所成角的正弦值为 乌 .7(1)求侧棱PA的长；(2)设E为AB中点，若PA之AB,求二面角BPCE的余弦值.581 .【答案】（1）详见解析；（2） 也11【解析】（1）在四棱锥PBCDE中，BE=CE=V2, BC =2 ,

6、从而有CE _L BE ,又 PO，面 BCDE ,而 CE U面 BCDE ,，CE _L PO ,而 PO、BEU面 PBE ,且 POQ BE =O ,由线面垂直定理可证 CE _L面PBE ,又CE U面PCE ,由面面垂直判断定定理即证面PCE _L面PBE .（2）由条件知OP_L面BCDE ,过点E做OP的平行线EZ ,又由（1）知EC _L面PBE ,以EB、EC、EZ分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示:P。,也 C2 22 .22c(0,V2,0 ), D -PH0金T (显 22DC =1 -,0 ,面PBE的一个法向量为n1 =（0,1,0 ）,二x一,2y

7、二 z=0设面PCD的法向量为n2 =(x,y,z ),则有2-222x y = 022从而可得面PCD的一个法向量为n2 =（1,-1,-3 ）, cos（ ni,n2-1111111 ，11设平面PCD与平面PBE所成锐二面角为 日，与（n1,n2互补，则cos9 =，1111故平面PCD与平面PBE所成二面角的余弦值为 少11，152.【答案】（1）详见解析；（2）55【解析】 证明：（1）先在图1中连结DP ,在RtADE中，由AD =BC =2J5 , DE =卮PC =BC =BP =2展=35 , 22一1得 tan/DAE =-,在 RtAPCD 中，由 DC =AB =3。5

8、 ,1 一 得 tan/PDC =- ,tanZPDC =tanNDAE ,贝U ZPDC =ZDAE ,AE _LOP ,. NDOE =90 °,从而有 AE _LOD , AE ±OP ,即在图 2 中有 AE _LOD',AE _L平面 POD ',则 AE _L D P ;解：（2）延长AE, BC交于点Q,连接D'Q,根据公理3得到直线D'Q即为l ,一，一一、.，r 一，,2 71 .一.再根据二面角定义得到 /D'OP = .在平面POD '内过点O作底面垂线，3以O为原点，分别为OA , OP ,及所作垂线为

9、x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 D10T店),E(-1,0,0 ), Q(11,0,0), C (-3,4,0 ),ED'=(1,-1，点D'Q =(-11,1,/3 ), EC =(-2,4,0 ),设平面D 'EC的一个法向量为n = （x, y, z ）,由n EC 2x 4y =0n ED' =x - y一 3石),取 y =1 ,得 n = 12,1,-I 3 Jl与平面D 'CE所成角的正弦值为cos. n,21423.【答案】(1) PA=1或PA=；(2). 67【解析】(1)取AD中点O , BC中点M ,连结OP , OM ,

10、 = PA=PD ,，OP -L AD ,又平面PAD，平面ABCD , OP平面PAD ,平面PAD A平面ABCD = AD ,OP ,平面 ABCD , OP -Loa , OP -Lom ,又 ABCD是正方形，OA-LOM ,以O为原点OA , OM , OP为x , y ,z轴建立空间直角坐标系 O-xyz （如图），皿 111c 1则 A.,0,0 I D. ,0,0 I B.-,1,0 Cl ,1,0 2222设 P(0,0,CICA0),则 PB =,1,Y j, CB =(1,0,0),设平面PBC的一个法向量为n1 =(X1,y1,Z1 ),则有Ex1 +y1 一%一°国二0设PA与平面PBC所成角为a ,PA佃1取 z1 =1 ,则 y1 =c,从而 坨=(0,c,1 ),1- sin a = cosf PA, n1 J =21pa=1 或 PA=y1 6（2）由（1）知，PAAB=1 ,. PA=1 , c=, 279，“一"人 j心 曰、，JV3）由（1）知，平面PBC的一个法向重为n1 =（0,c,1 ）=10,1 ,I