高等数学教案22定积分的概念与性质

1、第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1 .理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2 .理解定积分的概念及其性质；3 .掌握定积分的几何意义；【教学重点】：1.定积分的概念及其性质；教教学难点】：1 .曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线y f(x)(设f(x) 0),直线x a , x b和 y 0(即x轴)所围成的此类型的平面图形(如图 5-1所示).下面来求该曲边梯分析由于“矩形面积二底高”，而曲边梯形在底边上各点处的高 f(x)在区 问a, b上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算 .另

2、一方面，由于曲线y f(x)在a, b上是连续变化的，所以当点x在区间 a, b上某处变化很小时，相应的f(x)也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高f(x)的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同 底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面 积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积(如图 5-2 所示).显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和 的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A.1

3、) 分割 在闭区间 a, b 上任意插入 n 1 个分点，xn 1xn b ，ax0x1x2 .xi 1xi将闭区间a, b分成n个小区问x0,x1,x1x2,xi1,xi,xn1, xn ，它们的长度依次为x1x1x0,x2x2x1,., xixixi1 , .,xnxnxn1，过每一个分点作平行于y轴的直线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形；(2) 取近似 在每个小区间xi 1,xi (i 1,2,., n) 上任取一点i(xi 1 i xi) ，以小区间 为为x为底，f( i)为高作小矩形，用小矩形的面积f( i) Xi近似 代替相应的小曲边梯形的面积A ，即A f ( i) xi (i 1

4、, 2,., n) ，n(3) 3) 求和 把这样得到的 n 个小矩形的面积加起来，得和式f ( i ) xi ，将i1其作为曲边梯形面积的近似值，即 nnAAif ( i ) xi ；i1i1(4) 取极 限 当分点个数 n 无 限增加， 且小区 间长度的最大值 ( max xi )趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即nA lim0f( i) xi .0i1定积分的定义定义1设函数y f(x)在闭区间a, b上有界，在闭区间a, b中任意插入 n 1 个分点ax0x1x2将区间a, b分成n个小区问xi 1 xixn 1xn b ，x0, x1, x1,x2,.,xi1,

5、xi, ., xn 1, xn ，各小区间的长度依次为x1x1 x0, x2x2x1,., xi xi xi 1, ., xnxnxn1 ，在每个小区间上任取一点 i(xi 1 ixi) ，作函数值f( i )与小区间长度xi 的n乘积 f( i) x (i 1, 2, n),并作和 f( i) Xi ,记i1max xi ， (i 1, 2, n) ，当 n 无限增大且0 时，若上述和式的极限存在，则称函数y f(x) 在区问a, b上可积，并将此极限值称为函数y f(x)在a, b上的定积分，记为f (x)dx .b即f(x)dx lim f( i ) xi ，a0i1其中x称为积分变量,

6、f(x)称为被积函数,f (x)dx称为被积表达式,a称为积 分下限，b称为积分上限，a, b称为积分区间，符号bf(x)dx读作函数f(x)从 aa到b的定积分.按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为: bbA f(x)dx, Q P(t)dt, aa关于定积分的定义作以下几点说明：(1)和式的极限lim f ( i) xi存在(即函数f (x)在a, b上可积)是指不 i 1论对区间a, b怎样分法，也不论对点i(xi i xj怎样取法，极限都存在.(2)和式的极限仅与被积函数f(x)的表达式及积分区间a, b有关，与积 分变量使用什么字母无关，即bbbf (x)dx f(t)dt

7、f(u)du .aaa(3)定义中要求积分限a b,我们补充如下规定：b当 a b时， f(x)dx 0a, ba当 a b时， f(x)dx f (x)dx ab(4)函数可积的两个充分条件：若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上可积。若f(x)在a,b上有界,且只有有限个第一类间断点，则f (x)在a,b上可积。定积分的几何意义当f(x) 0时，由前述可知，定积分ba f (x)dx在几何上表示由曲线y f(x),两直线x a, x b与x轴所围成的曲边梯形的面积；b如果f (x) 0,这时曲边梯形位于x轴下方，定积分f(x)dx在几何上表示a上述曲边梯形面积的负值，如图 53;尸

8、=/(乃A当f(x定积分B x轴，曲线y =)在，b上有芷Jbf (x)dx在几何上 af(x)及两直线图5a,x b所围成的各个曲边梯形网54代数和(见图54) ba f(x)dx A A2 A3. 定积分的性质 以下性质中函数均为可积函数.性质1函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)，bbba【f(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx. aaa性质1可推广到有限多个函数代数和的情形.性质2被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面,即 kf(x)dx k f (x)dx, (k 为常数). aa性质3如果在区间a, b上f (x) C ,则 bbf(x)dx Cdx C(

9、b a), aa，b特别地，C 1时， dx b a. a性质3的几何意义如图5 7所示.性质4 (积分区间的可加性)如果积分区间a, b被点c分成两个区间a, c 和c, b,则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和,bcbf(x)dx f(x)dx f(x)dx . aac(a b). g(x),注意：无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。性质5如果在区间a, b上，f (x) 0,则b f(x)dx 0 a性质6 (定积分的单调性)如果在区间a, b上，有f(x)b则 f(x)dxbg(x)dx (a b).a(1)(2)比较下列各对积分值的大小:与02xdx与 02

10、sinxdx解(1)由幕函数的性质，在0,1上，有3X由定积分性质，得3/xdxx3dx00(2)在 0, 内有 x sin x,得 2 xdx 2sin xdx200性质7 (估值定理)如果函数f(x)在闭区间a, b上的最大值为M ,最小b值为 m ,则 m(b a) f (x)dx M (b a) (a b).a性质7说明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估计积分值的 大致范围.12例3估计定积分 e x dx的值.12解 先求f(x) ex在区间1, 1上的最大值和最小值，为此求得2f (x) 2xe x ,令f (x) 0 ,得驻点x 0 ,比较驻点x 0处与区间端点x 1处的函数值:f(0)得最小值m -,最大值M e性质8 (积分中值定理)存在一点a, b,使得bf (x)dx f ( )(b a)a这个公式称为积分中值