高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

1、精品文档考点专题分析解答:故曲线c的参数方程为f x=2cos ®户 3sin6,(0为参数).对于直线l ：/k=2+t y=2-2t 参数方程极坐标系解答题1.已知曲线C： /+工!=1,直线l ：卜(t为参数) 4 9y=2 - 2t(I )写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程.(n )过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系.坐标系和参数方程.(I )联想三角函数的平方关系可取x=2cos & y=3sin。得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；(n)设

2、曲线C上任意一点P (2cos 2 3sin 0).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30。进一步得到|PA| ,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.22解：（I ）对于曲线 C:+ 支=1,可令 x=2cos 0、y=3sin 0,4 g12欢在下载由 得：t=x - 2,代入 并整理得：2x+y - 6=0;(n )设曲线 C上任意一点 P (2cos 0, 3sin 0).P到直线 l 的距离为 <1=14cos9 +3sin9 -6| .则 I PA I 史-丹,"S15sin (6+01) 其中“为锐角.sin30 5当sin (什a

3、) =-1时，|PA|取得最大值，最大值为 乌区. 5当sin (什a) =1时，|PA|取得最小值，最小值为 空L点评:本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题.2 .已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为:Psin (白-工)，曲线C的参数方程为：卜*2皿Q (“为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程；(n)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.考点： 参数方程化成普通方程.专题：坐标系和参数方程.分析：(1)首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；(2)首先，化简曲线 C

4、的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解.解答解：(1) ,直线l的极坐标方程为：P sin ( 9 - ) = ?62p （2L?sin 0 - cos 0） ,222. V3112Z 1x - V3y+1=0.（2）根据曲线C的参数方程为： G二（”为参数）. l_y=2sinCL得（x-2） 2+y2=4,它表示一个以（2, 0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：曲线C上的点到直线l的距离的最大值|£_|点评： 本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题.3 .已知曲线G:产"*初± （t为参数），

5、C2:产“皿白（0为参数）.y=3+sinty=3sin9（1）化C, G的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为t=工，Q为G上的动点，求PQ中点M到直线G:让"空（t为参数）距离的最2尸-2+1小值.考点： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.专题： 计算题；压轴题；转化思想.分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线G表示一个圆；曲线 G表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线 G的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出 M

6、的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后,利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.解答:解：（1）把曲线Ci：_ 4+cost（t为参数）化为普通方程得:(x+4) 2+ (y 3) 2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心（-4, 3）,半径把G：by=3sin R（。为参数）化为普通方程得:所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上，长半轴为8,短半轴为3的椭圆；兀（2）把t=下代入到曲线G的参数方程得：P （ - 4, 4）,f j；=3+2-t把直线C3： :（t为参数）化为普通方程得：x- 2y-7=0,厂-2+设 Q 的坐标为 Q

7、 (8cosO, 3sin 0),故 M (- 2+4cos 0, 2+sin 0)2所以M到直线的距离d4。口. -3条 -13|5二口口一二&) -13| (其中sin相，年江)V5V55 忸从而当cos 0=, sin 0=-J时，d取得最小值 555点评:此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题.4 .在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为p二小”心£(，直线l的参数方程为'十(t为参数)，直线l和圆C交于A, B两点，P是圆C上不同于A,

8、 B的任意一点.y=- 142721(I )求圆心的极坐标；(n )求4PAB面积的最大值.考点专题分析解答:点评:参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.坐标系和参数方程.(I )由圆 C的极坐标方程为 q -2/2c0e。+)，化为 p2=2/2 CP cos 9 一 sin 8 )，把口匚产：代入即可得出.sin9(II )把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d,再利用弦长公式可得|AB|=2 q” _ d2,利用三角形的面积计算公式即可得出.解：(I )由圆 C 的极坐标方程为 p =( 0 十T")，化为 p=2/-2 (P cos

9、日-p sin 9 ), 把S=P GOS0 代入可得：圆 C的普通方程为 x2+y2- 2x+2y=0,即(x- 1) 2+ (y+1) 2=2.y= P sin e圆心坐标为(1, - 1),，圆心极坐标为；(n )由直线l的参数方程L (t为参数)，把t=x代入y=- 1+272t可得直线l的普通方程：Ly=- 1+2212扬-¥ - 口，圆心到直线l的距离1272+1-11 223-F- IABI=2正2产油A点P直线AB距离的最大值为1r+d=&4华提2, JT12710 W2 _W5s彳 父三一乂 一三三一2339本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为

10、直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三 角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5.在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为 产后口 （8为参数）.以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极 ly=sin 6坐标系，直线的极坐标方程为 20 （B十二）二裾.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.考点专题分析解答:点评:椭圆的参数方程；椭圆的应用.计算题；压轴题.由题意椭圆的参数方程为电800 （e为参数），直线的极坐标方程为2Q8s（g+）.将椭I y=sin93圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解：将（日十三）二班化为普通方程为K-

11、旧¥一次而二0 （4分）点（声。三日，sin 6 ）到直线的距离此口- -后1泥皿（6+?yAH=zz I。刀 J22所以椭圆上点到直线距离的最大值为 |2<&,最小值为 我.（10分）此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.4x=l+-zt56.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极y=-l -5坐标系，曲线 C的极坐标方程为（4Jcos （叶二）.（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M （x, y）是曲线C上的动

12、点，求x+y的最大值.考点： 参数方程化成普通方程.专题： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程.分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长.解答:（2）运用圆的参数方程，设出解：（1）直线I的参数方程为M,再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值.45（t为参数），消去t,y= -1 -5可得，3x+4y+1=0;由于 p=/cos (卅)=/2 (-cos 6 -6 ),即有 p2=(cos 0- psin 0,则有 x2+y2- x+y=0,其圆心为(,2- = ）,半径为圆心到直线的距离 d=9+16

13、g故弦长为2-，:2=2 口 -L=J;2 1OCJ 5y-（2）可设圆的参数方程为:则设M( .：-22y=- (21 V2 .Vs，口 2 Sin9（。为参数）则 x+y=8 =sin (白日），考八、 专 题: 分 析: 解 答:点P的直角坐标把 p2=x2+y： y= psin 0 代入P 2+2V3Psinl 可得由于0 CR,则x+y的最大值为1.点评:本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题.7.选修4- 4:参数方程选讲已知平面直角坐标系 xOy,以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标

14、为 （为巧，二，），曲线C的极坐标方程为 p 2+2a/sP sin =1 -（I）写出点P的直角坐标及曲线 C的普通方程；f-3+2t（n ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l :（t为参数）距离的最小值.1y= - 2+t参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.坐标系和参数方程.（1）利用x= pcos 0, y= ©in。即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出,TT解（1） .P点的极坐标为（如，），曲线C的直角坐标方程为（2）曲线C的参数方程为（0为参数），直线l的普通方程为x- 2y - 7=0设Q （2cos6 , 一用2家

15、口8 ）,则线段pq的中点M （今cos 9 , sin ° ）那么点M到直线l的距离点M到直线l的最小距离为11遍710占八、评:本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的 单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题.8 .在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程J k=1 + cos<P(。为参数).以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(I )求圆C的极坐标方程；(n)直线l的极坐标方程是 P(sin 0+/3COS 9 ) =3/3,射线OM上与圆C的交点为Q巳与直线l的交点为Q, 3求线段PQ

16、的长.考点专题分析解答:简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.直线与圆.(I)圆C的参数方程产'1+8口0为参数).消去参数可得：(X-1) 2+y2=1 .把x= pcosy= psin。代入化简即可得到此圆的极坐标方程.(II )由直线l的极坐标方程是 /sin附上元口5 9 |)=簿，射线OM.可得普通方程：直线15 E六 W5, 射线OMXq工 分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出.解：(I)圆C的参数方程1X1+匚丁中为参数).消去参数可得：(x 1) 2+y2=1.产与in/把x= pcos & y= psin 0代入化简得：f=2cos

17、0,即为此圆的极坐标方程.可得普通方程：直线l y+Vs戈二班，射线OM=« H.IPQI=/U)"+(醇挈)"=2(II )如图所示，由直线l的极坐标方程是 p(sin时氏口58 ) =3乃，射线OM两点间的距离公式等基础知点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、识与基本方法，属于中档题.9 .在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为*'"3。口0” (”为参数)，以原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建| y=sin<I立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 psin (+z)=4®.4(1)求

18、曲线G的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；考点专题分析(2)设P为曲线Ci上的动点，求点 P到G上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.简单曲线的极坐标方程.坐标系和参数方程.(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x= pcos 0> y= psin 0,把极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求得椭圆上的点 P (VscosCI , sind)至1直线x+y 8=0的距离为d= 场 = 击,可得d的最小值，以及此时的a的值，从而求得点解答:点评:到直线x+y - 8=0的距离为的坐标.解：(1)由曲线Ci：川乐口“，可得万尔豆，两

19、式两边平方相加得: 户总11cl即曲线C1的普通方程为：二1.由曲线 G： p sin (白 )二虫五得：(sin 9 +cos G )即 psin 卅 pcos (=8,所以 x+y 8=0,即曲线C2的直角坐标方程为：x+y - 8=0.(2)由(1)知椭圆Ci与直线C2无公共点，椭圆上的点d= 案 " V2 'TTq I，当同口(仃十一丁)二1时，d的最小值为3*2,此时点P的坐标为. 上J 乙本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题.号I10 .已知直线l的参数方程是J 口 （t为参数），圆C的极坐

20、标方程为 k2cos （况马）.（I ）求圆心C的直角坐标；（n）由直线1上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.考点： 简单曲线的极坐标方程.专题：计算题.分析： （I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos 0=x, psin打y, p=x+y ,进行代换即得圆 C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标.（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线1上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线1上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答：解：（1） . P B - V2sin 日，p

21、 J丑p cos 白-sin 日，圆C的直角坐标方程为 寞？ + y ° 一近工+产。，（II ） .直线1的普通方程为x-y+4V2=0,吟-亨）.（5分）圆心C到直线1距离是直线1上的点向圆C引的切线长的最小值是 铲-:WVi （10 分）点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.货二十11 .在直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 1的参数方程为,（t为参数），曲尸虫线C1的方程为p（ p- 4sinm=12,定点A （6, 0）,

22、点P是曲线G上的动点，Q为AP的中点.（1）求点Q的轨迹G的直角坐标方程；（2）直线1与直线C2交于A, B两点，若|AB|凄。求实数a的取值范围.考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.专题：坐标系和参数方程.Q的轨迹C2的直分析： （1）首先，将曲线 C化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点 角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围.解答：解：（1）根据题意，得曲线Ci的直角坐标方程为：x2+y2- 4y=12,设点 P （x'，y）, Q （x, y）,根据中点坐标公式，得代入 x2+y2- 4y=12,

23、得点Q的轨迹G的直角坐标方程为：(x-3) 2+ (y-1) 2=4, (2)直线l的普通方程为：y=ax,根据题意，得解得实数a的取值范围为：0 ,二.4点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识， 考查比较综合，属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解.12 .在直角坐标系xoy中以。为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆G,直线C2的极坐标方程分别为p=4sin 0, pcos(2 工)=2四.4(I )求Ci与G交点的极坐标；PQ的参数方程为(t CR为参数)，求a, b(n )设P为G的圆心，Q为Cl与C2交点连线的中点，已知直线的值.

24、考点： 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程.专题：压轴题；直线与圆.分析：(I)先将圆Cl,直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；(II )由(I)得，P与Q点的坐标分别为(0, 2), (1, 3),从而直线PQ的直角坐标方程为 x - y+2=0,由参 数方程可得y=-x-+1,从而构造关于a, b的方程组，解得a, b的值.22解答： 解：(I)圆G,直线C2的直角坐标方程分别为 x2+ (y-2) 2=4, x+y - 4=0,精品文档。与C2交点的极坐标为(4, 2L). (2/2, ). 24(II)由(

25、I)得，P与Q点的坐标分别为(0, 2), (1, 3),故直线PQ的直角坐标方程为 x-y+2=0,由参数方程可得y=x-+1,ab - 1欺速下载解得 a=- 1, b=2.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题.13 .在直角坐标系xOy中，l是过定点P (4, 2)且倾斜角为”的直线；在极坐标系(以坐标原点。为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为 k4cos。(I )写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；(n)若曲线C与直线相交于不同的两点M N,求|PM|+|PN|的取

26、值范围.解答：解：(I)直线l的参数方程为E+tMsS。为参数). y=2+tsin<I曲线C的极坐标方程 p=4cos 0可化为p2=4pcos 0.把x= pcos & y= psin。代入曲线C的极坐标方程可得 x2+y2=4x,即(x2) 2+y2=4.(II )把直线l的参数方程为 卜力+tc口曰境 。为参数)代入圆的方程可得：t2+4 (sin a+cosa) t+4=0 .y=2+tsinCC 曲线C与直线相交于不同的两点M N2 .=16 (sin a+cos a) - 16>0, .sin acos a>0,又 aq。,兀)， QtE 4).又 11

27、+t 2= 4 (sin o+cos a) , 11t2=4. .|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t2|=4|sin a+cos o|=( Q+(),“E 3 4)，(口吟)E C 等)， 2444 .sin (d+2)E (q,1. .|PM|+|PN|的取值范围是 (4，46.(t为参数)，以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题.14 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为系，OC的极坐标方程为 p=2>/3sin 0.(I )写出OC的直角坐标方程；(n) P为直线l上一动点

28、，当 P到圆心C的距离最小时，求 P的直角坐标.考点：点的极坐标和直角坐标的互化.专题：坐标系和参数方程.分析：（I）由。C的极坐标方程为p=2百sin 0.化为p2=2/5口号in9 I,把 p二工4V代入即可得出；.P sin©（II ）设P （3岐3 岑工），又C （0, 诉）.利用两点之间的距离公式可得 |PC|=J2+1?,再利用二次 函数的性质即可得出.解答： 解：（I）由。C的极坐标方程为 2lsin 9.p2=2V3P sin?，化为 x2+y2=2而y,配方为耳。厂而）2=3.（II）设 P3岐t,冬），又 C正）|.1Pd= J1岭）上（争诉）金行，因此当t=0时

29、，|PC|取得最小值2M 此时P（3，0）点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题.15.已知曲线C的极坐标方程为k6cos 为曲线G的极坐标方程为。工（pCR）,曲线Ci,C2相交于A,B两点.（I ）把曲线G, G的极坐标方程转化为直角坐标方程；（II ）求弦AB的长度.考点专题分析解答:点评:简单曲线的极坐标方程.计算题.（I）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos 0=x, psin 0=y, p2=x2+y2,进行代换即得曲线 G及曲线C的直角坐标方程.（n）利用直角坐标方程的形式，先求

30、出圆心（3, 0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度.兀I解：（I）曲线 C2：（pen4表示直线y=x,2曲线 G：k6cos 0,即 p =6 pcos 0所以 x2+y2=6x 即（x - 3） 2+y2=9（11）;圆心（3, 0）到直线的距离r=3 所以弦长 AB=3，2"pj=Sj±.，弦AB的长度32.本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题.精品文档16.在直角坐标系xOy中，以。为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为psin( e画也42rcos 816欠0迎下载圆C的参数方程为(。为参数，r>0)rsin 8求圆心C的极坐标；l的最大距离为3.当r为何值时，圆C上的点到直线考点专题分析简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.计算题.(1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线本关系，消去。可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.(2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点 最后列出关于r的方程即可求出r值.l的普通方程；利用同角三角函数的基P到直线l的距离的最大值,解答:解：(