高中数学必修五3.3.2简单的线性规划问题练习教案[苏教版]必修5

1、3. 3.2 简单的线性规划问题1 .在平面直角坐标系中，动点 P(x, y)运动范围受到一定限制，则称变量x、y受到韭被约束.a z 2 .目标函数为 z = ax+by,当bwo时，将其变化为 y= - -x + -,说明直线z=ax+by b b在y轴上的截距为=若b>0,直线越往上移，截距 越大广，目标函数为z的值就越大. b3 .线性约束条件表示的 平面区域即可行域.4 .求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题称作线性规划问题.5 .解简单线性规划应用题的步骤是：弄清题意，设好 未知量,建立关于未知量的 目标 函数及线性约束条件，将问题化为简单线性规划问题求解.ax

2、 z6 .求线性目标函数 z=ax+by的最大值或最小值，首先将直线变化为y=-+-,再b b将该直线平行移动，使直线和可行域有公共点，再观察在可行域中使z最大或最小时所经过b的点，该点的坐标就是最优解.?基础巩固一、选择题y<2,7 .已知变量x, y满足约束条件 x+y>1,则z=3x + y的最大值为(B)x-y<1,A. 12 B. 11 C. 3 D. 1解析：画可行域分析，易知当X3'时Zmax= 11.y = 2x> 1 ,8 . (2013 新课标全国卷n )已知 a>0, x, y满足约束条件 x + y<3,若z =y>a

3、(x 3),2x+y的最小值为1,则a=(B)11A 4 B.2 C. 1 D. 2解析：根据约束条件画出可行域，将最大值转化为y轴上的截距，当z = 2x+y经过点3x + y 8w 0B时,所表示的区域上一动点，则直线OM斗率的最小值为(CA. 2B. 1解析：作出可行域，由图象可知当点M位于点x + 2y 1 = 0,A时，OM的斜率最小，由3x+y-8=01一24.若 x>0,第2页共8页13.x = 3,3即A(3 , 1),此时OM勺斜率为 y = 1,A. - 1 B. 1C. 2 D. 2解析：找准区域，对于直线 y=x-z, - z越小，z越大.5.设点P(x, y),

4、其中x, yC N,满足x + y<3的点P的个数为(A)A. 10 个 B . 9 个C. 3个D .无数个解析：选择单位长度，找整数点.二、填空题6. (2013 陕西卷)若点(x, y)位于曲线y=|x1|与y=2围成的封闭区域，则 2x-y 的最小值为.解析：封闭区域为三角形，令|x1|=2得x=1或x=3,，三顶点坐标分别为(1, 0), (1, 2), (3, 2),故2xy在点(一1, 2)处的值最小，为一 4.答案：4x+4y >4,7. (2013 广东卷)给定区域D：x+y<4,令点集T= (x。，yo)CD x。，y°C Z,(x。,x>

5、 0,丫0)是2 = *+丫在D上取最大值或最小值的点,则T中的点共确定 条不同的直线.解析：画出可行域，其中z=x + y取最小值的整点为(0,1),取得最大值时的整点为(0 ,4), (1 , 3), (2, 2), (3, 1), (4 , 0),共 5 个.故可确定5+1 = 6条不同直线.x>0,8.若x, y满足约束条件 x+2y>3,则x y的取值范围是 . 2x+yW3,3解析：约束条件对应 ABCJ部及边界区域，A(0 , 3) , B 0, 2 , C(1 , 1),则xyC 3, 0 ,答案:3, 0三、解答题9 .某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场

6、上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，彳格为140元；另一种是每袋 24千克一价格为120元.在满足需要的条件下，最 少要花费多少元？解析：设购买重量为每袋 35千克的x袋，重量为每袋24千克的y袋，则所要花费的金额z= 140x+ 120y,依题意，可得关于 x、y的约束条件：35x + 24y>106, xC N, ye N,如图，当直线经过点 ,0时，目标函数z的值最小，又x, yCN,寻找可行域上靠 35近边界的几个点. 令x=0,知y>5,当x=1,知y>3,当x=2,知y>2,当x=3,矢口y>1, 当x=4,知y>0,将靠近边界的几个点(0

7、, 5), (1 , 3) , (2 , 2) , (3 , 1) , (4 , 0)分别代 入目标函数，可知直线 z= 140x+ 120y过点(1, 3)时，目标函数。z有最小值500元.10 .某口工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配 一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m2,可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m2,可做A B的外壳分别为6个.两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小？解析：设用甲种薄钢板x张，乙种薄钢板y张，则可做A种产品外壳(3x+6y)个，B种3x+6y>45,产品外壳（5x+6

8、y）个，由题意可得5x+6y>55,x C N, y C N,所有的薄钢板的总面积是z = 2x+3y.第9页共8页可行域是如上图所示的阴影部分，其中li： 3x+6y=45; l 2： 5x+6y=55, l 1与l 2的交点为A(5 , 5),因目标函数z=2x + 3y在可行域上的最小值在区域边界的A(5 , 5)处取得,此时z的最小值为2X 5+3X 5 = 25.即甲、乙两种板各 5张，既能保证制造 A B的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小.?能力升级、选择题y>0,y 111 .实数x, y满足不等式组 x-y>0,则3的取值范围是(A)x 11 1 _2

9、，31D. 2， 12x-y- 2W0,A. T,1 B.31c. 2，+°°y>0,解析：如下图，画出满足不等式组x-y>0,的解2x-y-2<0(x,y)构成的可行域 ABO求得 R2 , 2).因为根据目标函数的几何意义是可行域上(1, 1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值 1,最大值1.故3的取值范围是312.x+y-3<0, 若函数y= 2x图象上存在点(x, y)满足约束条件 x-2y-3<0,则实数x> Rm的最大值为(B)1A.23C.2的图象上仅解析：如图，当直线 x=m经过y=2x与x+y3=0的交点.时，函数y=2

10、y= 2 ,有一个点在可行域内，由方程组得x=1,x+y3=0的最大值为13.x- 2y< 1,解析：作出可行域，通过平移直线寻求最优解，也可利用顶点代入验证最优解.、，一一一 ，一，1，一-方法一 作出可行域如图阴影部分所示.作直线y=-；x,并向上平移，由数形结合可知，当直线过点 A(1, 1)时，z= x+4y取得最大值，最大值为 5.1方法二 分别求出点 A(1 , 1),点B2, 2 ,点q1, 1),把三点坐,标分别代入z = x+4y得到5, 4,。5,故z = x+4y的最大值为5.答案：5、填空题x> 1,14 .已知x-y+1<0, 则x2+y2的最小值是

11、 2x-y-2<0,x>1,解析：由x-y+1<0,画出可行域，得交点 A(1 , 2), B(3, 4),如图，根据>>2+ y2表2x 一 y 一 2 w 0示可行域一点到原点的距离，可知x2+y2的最小值是|AQ2=5.答案：515 .若点Rmi 口3)到直线4x3y+1 = 0的距离.为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内，则 vm=.14 mH 3X3+ 1|斛析：,- 4 = 1 22,| m- 2| = 5.4+(3m= - 3. .m= 7 或 m-3.P(7, 3)不满足 2x+y<3,答案：3三、解答题16 .某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过 54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55力兀韭菜6吨0.9万元0.3力兀为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本 ）最大，求应分别种植黄瓜和韭菜