二项式定理中展开式系数的六种常见类型

1、二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一，本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一、(a(a+ +b)b)n(n(nw wN)N)型例 1.1.(x-应y)10的展开式中x6y4项的系数是()(A)840(B)840(C)210(D)-210解析：在通项公式1书=C1r0(-J2y)rx10中令r=4,即得(x-J2y)10的展开式中x6y4项的系数为&(-72)4=840，故选 Ao例2.(x4)8展开式中x5的系数为x8上r3r=(FGx2，由题意得8-2r=5,则r=2,故所求x5的系数为(-1)2C；=2

2、8评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r的值。二、(a+b)n土(c+d)m(n,m亡N*)型2,1例3.(x3-工)4+(x+1)8的展开式中整理后的常数项等于.xx解析；(x3-2)4的通项公式为书=C4-2)r64)匚 C4-(2r)x24冷xx12-4r=0,则 r=3，这时得(x3-)4的展开式中的常数项为-C；23=32,x(x+1)8的通项公式为 T“=Ck(l)kx8,=C：x8T令 8-2k=0,则 k=4,这时得xx(x+1)8的展开式中的常数项为C；=70,故(x3-2)4+(x+1)8的展开式中常数项xxx等于-32+70=38。

3、例4.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3的项的系数是(解析：(1x)5中X3的系数-C；=-10,-(1-x)6中X3的系数为-C6(1)3=20，故(1x)5(1x)6的展开式中x3的系数为 1010,故选 D。评注：求型如(a+b)n(c+d)m(n,mwN)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个解析：通项公式Tr书=C；x8(-(A) -5(B) 5(C)-10-10(D)10二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三、(a(a+ +b)b)n(c(c+ +d)d)m(n,m(n,mN*)N*)型例5.(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数是。解析：(x-2)7的展开

4、式中x、x3的系数分别为C；(-2)6和C3(-2)4,故(x2+1)(x-2)7的展开式中x3项的系数为C7(-2)6+C3(-2)4=1008。例 6.(x-1)(x+18 的展开式中 x5的系数是()(A)-14(B)14(C)-28(D)28略解：(x+1)8的展开式中x4、x5的系数分别为C；和C85,故(x-1)(x+18展开式中x5的系数为C84-C；=14，故选Bo评注：求型如(a+b)n(c+d)m(n,mwN冲)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四、(a+b+c)n(n亡N)型例7.(x+l+j5)5的展开式中整理后的常数项为.2x

5、解法一：(安+工+石)5=?+耀+后，通项公式Tz=C；22()+1),2x_2x2x,x1、5_kr_r5_k_r_(5_kj：)r5_2r_kkr_5人(一十一)的通项公式为书=C5上xx2=C5x2,令2x5-2r-k=0,贝 Uk+2r=5,可得k=1,r=2或k=3,r=1或k=5,r=0。152当k=1,r=2时，得展开式中项为C5C：222=;2当k=3,r=1时,，得展开式中项为 C；C；262=20 石；当k=5,r=0时，得展开式中项为4 点=4 在综上，(？+1+&)5的展开式中整理后的常数项为里1+20拉+4夜=3匹。2x2221,2)5=产22X2)5=(X,

6、1)25=2x2x(2x)5(2x)5解法对于二项式(x+jE)10中，中MGOX10行),要得到常数项需 10-r=5,即 r=5。所以，常数项为Cl0(；2)=臾二。252解法三：(学+1+J1)5是 5 个三项式(-+-+J2)相乘。常数项的产生有三2x2x种情况：在 5 个相乘的三项式(4十1十两中，从其中一个取x,从另外 4 个三2x21项式中选一个取 1,从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘，可得xC51C4c3(J2)3=20 应；从其中两个取-,从另外 3 个三项式中选两个取-,52432x从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘， 可得 C；(1)2C3242=耀42； 从 5

7、个相乘的三项式(-+-+扬中取常数项相乘，可得 C；W2)5=4 加。2x综上，(x+1+V2)5的展开式中整理后的常数项为2x20、2*4、2=9。22评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五、(a+b)m+(a+b)m*+|+(a+b)n(m,nwN*,1wmn)型例 8.在(1+x)+(1+x)2+(1+x)6的展开式中，x2项的系数是(用数字作答)解析：由题意得x2项的系数为C1+C；+Cj+C；+C2=35例9.在(1x)5+(1x)

8、6+(1x)7+(1x)8的展开式中，含 x3的项的系数是()(A)74解析：(1-x)5+(1x)6+(1x)7+(18_(1-X)51-(1-X)4(1-X)5-(1-X)9x)-nirx二x(1-X)5中x4的系数为C54=5,(1x)9中x4的系数为C；=-126,126+5=121，故选 Do评注：例 8 的解法是先求出各展开式中x2项的系数，然后再相加；例 9 则从整体出发， 把原式看作首相为(1x)5,公比为(1x)的等比数列的前 4 项和， 用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例 8 和例 9 的解答方法是求(a+b)m+(a+b)m*+川+(a+b)n(m,nEN*,1m

9、n)的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六、求展开式中若干项系数的和或差例 10.10.若(12x)2004=a。+a1x+a2X2+a2004X2004(xwR),则(a。,a1)(aoa2)(aoa3)(ao-a2004)=O(用数字作答)解析：在(1一2x)2004=a。+a1x+a2X2+.+a2004X24中，令x=0,贝Ua。=1,令x=1,则a。+a+a2+a3+22004=(1)2004=1故(a。.aj.(aa2).(a0a3).(a-a204)=2003a0+a0+a1+a2+a3+.一+a2004=2004。例 1111 (2x+悯4=a0+a1x+a2x2+ax3+aK4,贝U(a0+a2+a4)2一(a1十a3)2的值为()(A)1(B)-1(C)0(D)2解析:在(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+%x3+a4x4中，令x=1,可得a0+a+a2+a3+a4=(2+T3)4,令x=T,可得a0一a1+a2-a3+a4=(2-V3)44/5(B)121(C)-74(D)-121所以，(a0-a2-a4)2_(a1a3)2=(a0a2-a4-a1-a3)(a0a2-a4a1a3)=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0a1+a2-a3+a4)=(2+V3)4(2-J3)4=1，故选 Ao