南昌大学数学物理方法期末考试试卷b卷答案

1、精品文档南昌大学20082009学年第二学期期末考试试卷精品文档y2 ,则其虚部为_B_(备选答案：A. xy; B.C. x2 y2 ； D. x y )。14. xsinx (x3)dx5.根据柯西公式,积分z 2008 e 电dz 2 i ；|z| 2009 z 2008 一2z 2009 2 e2-dz0。Z 2010 z 2009参考答案及评分标准试卷编号：6031 (B)卷课程编号：H55020190 课程名称:数学物理方法 考试形式： 闭卷适用班级：物理系07各专业 姓名： 学号： 班级： 学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分454015100得分考

2、生注意事项：1、本试卷共6_页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更 换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共45分)得分评阅人说明：有两个空的小题，第一个空 2分，第二个空1分。1 .复数 1 5i /(2 3i)1 + i , ln*T7 11n2 i(- n )(n 0, 1, 2,)2 .复变函数f(z) u(x, y) iv(x, y)可导的充分必要条件为u(x,y)、v(x,y)偏导数存在且连续并满足柯西黎曼条件3 .若复变函数f(z)在区域B上解析，其实部为x226 .函数f(z) 一一L有1 个极点，为 1阶极点，在

3、极点处的留数z 3z 2为_ 2 o7 .闭区域E的内点为某一邻域及其本身均属于 E的点 ;境界点为1z2 3z 2可展开为1 z z22(1 (2) (2)k1 kko(1 寸)z。任一邻域及其本身均部分属于，部分不属于点集 E的点。一，1(|t| 1),10 .函数f(t)的傅里叶变换为F( ) 2sin /。0 (I t I 1)211 . 1 et的拉普拉斯变换为1/ p 2/( p 1) 1/( p 2)。12 .数学物理方程定解问题的适定性是指解的 _存在性,_唯一性_, _稳定性_。13 .一根两端(左端为坐标原点而右端x l)固定的弦，用手在离弦左端长为l/3处把弦 朝横向拨开

4、距离h,然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为u(x,0) 3hx/l,(0 x l/3)和 u(x,0) 3h(l x)/2l,(l/3 x l);ut(x,0) 0.。14 .偏微分方程Uxx2uxy8Uyy2ux6Uy10的类型为A (备选答案:A.双曲型B.抛物型C.椭圆型D.混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量 函数变换为 4x y, 2x y o15 .判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“()”中打，错误的打X。(1)若函数f(z)在z点解析，则函数f(z)在z点可导，反之亦然。(X)(2)复通区域上的回路积分不一定为零。同样，单通区域上的回路积分也可以不为零

5、。(，)(3)设z为复数，则lim告0。(X)z e、求解题(每小题10分，共40分)得分评阅人说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1.用留数定理计算复积分dziz|3Z2(z 1)( z 5)解：被积函数f(z)-有两个极点对积分有贡献：单极点 z 1 ,两阶极z1 2(z 1)(z 5)点z 0o留数分别为-(2分)根据留数定理得Resf (0) 6/ 25Resf (1)1/4-(6分)dz一2一iz|3z2(z 1)(z 5)2 i(Resf (0) Resf (1)i 50-(2分)解：根据留数定理有：1I /2 dx 2 i f (z)4 x所以I14 z2在上半平面所有奇点留

6、数之和2 i Resf (2i)12 i lim(z 2i)2 z 2i 4 z,12 i4i 2-(2分)-(3分)-(3分)-(2 分)3 .解常微分方程初值问题已知tnest匚r, P sdy dzy z 1dt出y1dy t ,z(0) 2 z edtn!tn二。(可使用拉普拉斯变换或其它任何方法P)o解：对方程拉普拉斯变换并化简得1 (p l)y(p) (p l)z(p) 1P，、，、1,py(p) z(P)1 p 1-(5 分)解之得y(P)1(P 1)2z( P)122(P 1) P 1-(2 分)由拉普拉斯逆变换得-(3 分)y(t) tet 2et 1,z(t)tet2et4

7、 .设X(x)满足方程X X 0和边界条件X'(0) X'(l) 0,其中 可为任意实数，试根据 的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。解：可分为三种情况讨论：1) 0，解为X(x) C1ex C?e lx,由边界条件只能得到平庸解 X(x) 0,显然没有意义。(3分)2) 0,解为X(x) CiX C2,代入边界条件得Ci 0,于是X(x) C2, C2为任意常数。_(2分)3) 0,解为X(x) Ci cosvx CzSinV -x.,代入边界条件得C2 0,C2 0,(C1sinl C2 cos l) 0.Ci sin， l 0.a)当的取值使得sin

8、vl 0时，必有Ci 0 ,这和上两种情况一样没有意义。_b)当的取唾得sinv l 0时，Ci不必为零，这种是有意义的情况。此时由sinv l 0得到本征信:综合2)和3)两种情况得本征值22nl2(n 1, 2,3,).22nl2(n0,1,2,3,).此时，本征解为X(x) C1cos-x.(5三、数学物理定解问题(共15分)1. (8分)考查半无限长弦定解问题：Uttuxx xx初始条件为ut 00，"It。0端点处边界条件为ux 0 Sin t。(1)寻找泛定方程的一个特解v,再作变换v w,使得w的边界条件满足w x 00 ；(2)利用w的边界条件满足将该问题延拓为达朗贝

9、尔公式定解问题;(3)给出达朗贝尔公式，并求解该问题。解：(1) v sint cos x(2分)(2)作变换u v w后，w的定解问题为Wtt Wxx 0, Wxo 0, x 0w|t 00 , wt|t 0 cosx。根据边界条件，做奇延拓，即假定 x 0时，w|t 00 , wt|t 0 cosx。(2 分)2(3)若万程utt a uxx 0的初始条件为u|t0 (x), ut |t 0(x),则其解为111 x atu(x,t) (x at) (x at) 一 ( )d ,此即达朗贝尔公式。-(2 分) 222a x at根据此公式，容易求得，当 x t时，u 0,当x t , u

10、sin(t x)-(2 分)2.矩形区域0 x a, 0 y b上的定解问题Uxx Uyy 2, (0 x a, 0 y b);u lx 0 a, u |x a 0u |y 0(x), u |y b (x)是否可直接利用分离变数法求解？为什么？然后将之变换为可利用分离变数法求解的 问题。(提示：寻找满足泛定方程和边界条件的一个特解V,再作变换u v w,使得w的泛定方程以及w在x方向上的两个边界条件都是齐次的。不要求解关于w的定解问题。)(本小题7分)解：不可，因为方程非齐次。(3分)设满足方程和边界条件一个特解v x2 Cx D (C, D为待定系数) 代入边界得D a, C a 1.于是 vx2(a 1)x a. (2 分