组合(第一课时)优质课教案

1、组合(第一课时)教学目标：1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题；2、掌握组合数的计算公式；3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；教学内容：组合的概念及组合数的计算方法教学重点：组合的概念、组合数教学难点：解组合的应用题教学方法：排列与组合结合法教学过程设计一、知识回顾1、排列的概念一般地，从n个不同的元素中取出 m (mwn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列。2、排列数概念一般地，从n个不同的元素中每次取出 m (m <n)个元素的所有排列的个数， 称为从n个不同元素中取出 m个不同元素的排列

2、数，记作 Anmo3、排列数计算公式： Anm =n(n-1)(n-2)111 (n -m+1)(m<n)An =n!n - m !二、学习新课课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙 3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问 题与原问题有何区别？)解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为A32,对应的排列为：甲乙乙甲甲丙丙甲丙乙乙丙变化后的问题对应的可能情况为：甲乙甲丙丙乙分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元

3、素中取出 2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题(引出组合的概念)组合一般地，从n个不同的元素中取出 m (m Mn)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合。分析：对比排列和组合的定义，同样是从n个不同的元素中取出 m (m<n)个元素，而排列是把取出的 m个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的 m个元素并成一组，与元素的顺序无关。组合数同样地类似于排列，我们研究从n个不同的元素中取出 m (mwn)个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为Cm。【

4、问题2】从3个不同的元素a,b,c中每次取出2个，共有多少种不同的排列？(若改为从3个不同的元素a,b,c中每次取出2个，共有多少种不同的组合？)解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为解，对应的排列为：abbaaccabccb变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为C；,对应的组合为：ab acbc总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。通过例题讲解区分排列与组合问题。【例1判断下面问题是排列问题，还是组合问题？(1)从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2)

5、从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为 C2 (先标记在后面，一会再求解)。2(2)选出的2个风景点，必须明确游览顺序， 这是一个排列问题，对应的排列数为 A6 (学 生求解排列数A62 ,复习巩固上节课排列数的计算公式)课堂练习：书55页课后练习题3（1）8名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？2解：与顺序无关，因此是组合问题，组合数为C8 （先标记在后面，一会再求解）。（2）6名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张？解：甲一乙贺卡与乙一甲贺卡代表的意义不一样，因此有顺序性，

6、是排列问题，排列数为A62（学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）（3）某铁路沿线有5个站，需要准备多少种车票？有多少种不同的票价？解：第一个问题车票种数：南通南京与南京一南通为两种不同的车票，有顺序性，是排列问题，排列数为A5 （学生求解）；第二个问题票价问题：南通一南京与南京一南通车票的票价是一样的，没有顺序性，是组合问题，组合数为 Cs （标记在后面，一会再求解）。（4）平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段（有向线段）共有多少条？解：线段AB与线段BA为两条相同的线段，因此没有顺序性，是组合问题，组合数为C120 （标 记在后面，一会再求解）；有向线段（有方向的线段，即：有向线

7、段AB与有向线段BA是两条不同的线段），因此有顺序性，是排列问题，排列数为a21 （学生计算）。组合数计算公式思考：排列数有相应的计算公式,那上面标记的组合数该如何计算呢?回到问题2,从三个不同的元素a,b,c中每次取出2个的排列与组合的关系如图:A32 :abbaA2ab一accaacbccbbcC2个;C2从图中关系可以看出组合共有将每一个组合中的元素进行全排列，均有A2 =2个排列；2因此，从3个不同的兀素中取出 2个兀素的排列数 A3,可以分成以下两个步骤来完成:第一步：从3个不同的元素中取出 2个元素的组合数为 C2；第二步：对每一个组合中的2个不同的元素进行全排列，其排列数为A2o

8、根据分步乘法原理，得A2 = C； A从而有c2 = A2C3A2（从特殊回到一般）一般地，从 n个不同的元素中取出 m个不同元素的排列数也可以按以 上两个步骤来完成，即m m mAn = Cn 尸 Am由此得到组合数计算公式：cm - An- - n（n-1）（n-2川Kn-m DAmm!由于Am =n -m !,所以组合数公式还可以表示为Cnmm!（n 一m）!（其中，n,mw N m<n）由于计算需要，规定Cn =1【例2】计算C：解：由组合公式得c1A10A710 9 8 7 6 5 4 =1207 6 5 4 3 2 1课堂练习通过组合公式的推导及例题 2的讲解，请学生将之前标

9、记过的组合数在练习本上求解4名同学上黑板演示求解过程，同时检查其他同学掌握程度）（并请1、Ce2A26 5A2=152、C；_a2a2二283、C；二104、C10A20A10 9 二452 1习题讲解，提出计算组合数需要注意3点：1、公式不要列错；2、项不要列错；3、计算不要马虎。【例3】一批产品20件，其中有2件次品，其余均为正品，从 20件产品中任意抽取行检验，问：分析：通过画图进行图形结合法，如图3件进如件产品(1)共有多少种不同的抽法？分析：从20件产品中任意抽取 3件，没有特殊要求，因此不用考虑特殊情况，不同的抽法 等于组合数。解:小等如= 1140(2)恰有一件次品的不同抽法有多

10、少种？分析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成:1第一步：从2件次品中任意抽取1件，有C2种不同的抽法;第二步：从18件正品中任意抽取2件，有C128种不同的抽法。根据分步乘法原理，所有的抽法种数为解：C2MC28A2A282 18M17=-X - = X 12 -A1A 13062 1(3)全是正品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品全是正品，即从 18件正品中任意抽取 3件，不同的抽法为A38 18 17 16A3 - 3 2 1= 816(4)至多有一件次品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品至多有1件次品，包含几类情况？(解释至多的概念，并与学生一起 分析包含几类情况

11、)第一类：3件产品中没有次品，即从 18件正品中任意抽取 3件，不同的抽法为 C13812第二类：3件产品有一件次品，问题回到第2题中，分两步来完成，不同的抽法有C2MC：根据分类加法原理，不同的抽法总数为解：C2c28 +C1； = 为 +鼻=2X18M7 + 18M716816+306=11228A1 A2 A3 12 13 2 1(5)至少有一件次品的不同抽法有多少种？分析：抽取的3件产品中至少有一件次品，包含几类情况？(解释至少的概念，并与学生一起分析包含几类情况)第一类：3件产品中有一件次品，回到第二题中，分两步来完成，不同的抽法有C2黑C。；21第二类：3件广品中有两件次品，分两步来完成，不同的抽法有C2 M C18 （请同学思考，借鉴第二题给出）根据分类加法原理，所有的抽法总数为1 22 1A2A28. A2A182181718儿牢.C2