2017年高考数学真题三角函数(理科)

1、精心整理第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42终边相同的角的集合的表示与识别 暂无题型43倍角、等分角的象限问题 一一暂无题型44弧长与扇形面积公式的计算一一暂无题型45三角函数定义题一一暂无题型46三角函数线及其应用一一暂无题型47象限符号与坐标轴角的三角函数值 一一暂无题型48诱导求值与变形一一暂无题型49同角求值一一已知角与目标角相同一一暂无第二节三角函数的图像与性质题型50已知解析式确定函数性质1. (2017全国3理6)设函数f(x) = cos'x + - j,则下列结论错误的是().,38 二.一A. f (x )的一个周期为-2nB. y

2、 = f (x)的图像关于直线x=一对称3C. f(x +兀)的一个零点为x=' D. f(x)在上,冗单调递减62/ I .J解析函数f(x)=c0st +3)图像可由y=c0sx向左平移1个单位长度得到，由图可知，f(x)在金,|上先递减后递增，所以D选项错误.故选D.题型51根据条件确定解析式1. (2017 天津理 7)设函数 f(x) =2sin(0x +9), x 三 R ,其中 o>0, |中|<兀.若£旦)=2, f 且=0 ,8. 8且f(x )的最小正周期大于2%则().A. .=2, 三2B. 0 =,中=_3C.。, 9 =llnD.=1,

3、中二_ 7n312312324324解析解法5con不冗=2k1二-由题意82二 k2 二824 .2 _ _ 2二一其中 k1,k2w Z,所以(o= (k2 2k1.又T => 2n ,33<ji,得中=.故选A.12所以0 <8父1 ,从而6=2.由中=2(冗+工冗，由中 312解法二：由f导|=2 , f8空卜0 ,易知x = *为f (x ) = 2singx +邛)的一条对称轴，点111 ,0 1为f(x )的一个零点，则 短-史=(2k+1/T,又因为丁=生，即6=2(2k+1)乂 60且f(x)的8843, i最小正周期大于2n ,所以8 = 2 从而X- +

4、 =2kn+? 又中 工 冗 所以中=.故选A. 3 ，8 32 ，122.(2017浙江理 18)已知函数 f (x )=sin2 xcos2 x _ 2V3sin xcosx(xw R ).(1)求f I的值；3i !/ /r ! '-J.>(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.解析(1)由小生J3, cos红=，得f空>座1一2石土/ 323232222(2)由 cos2x = cos2 x -sin2 x , sin2x =2sin xcosx ,得 f (x )= -cos2x - V3sin 2x = -2sin %x 十 t I 6所以f(x )的最

5、小正周期是T=§ = n.由正弦函数的性质得+2k瑙2x +四+2kn,kWz 解得卫+k璘x +kn,k z . 26263所以f (x汹单调递增区间是 g+k兀寿+k/kWZ .题型52三角函数的值域(最值)暂无题型53三角函数图像变换,人一-，2 冗*1. (2017全国 1 理 9)已知曲线 Ci： y=cosx, C2： y = sin .2x十一，I 3 J则下面结论正确的是().页脚内容A.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移二个单位长度, 6得到曲线C2B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12

6、个单位长度，得到曲线C2C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3个单位长度,得到曲线C2D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移二个单位长度, 12得到曲线C2一一 一 2c解析 C1 : y =cosx , C2: y =sin . 2x 十一 I13首先曲线G, C2统一为一三角函数名，可将C1:y=cosx用诱导公式处理.y =cosx =cos. x=sin.x+ .横坐标变换需将 切=1变成0=2, 2 22( n C1上各点横坐标缩短到原来的2倍( n ( 1T、22n、 ( q即 y =sin !x :2

7、1y = sin !2x sin 2 !x y =sin! 2x =sin2! x .2.2433/3 I注意O的系数，左右平移需将缶=2提到括号外面，这时 x +平移至x +，43根据 左加右减”原则，x +”到x +”需加上，即再向左平移 .故选D. 4312122. (2017 山东理 1)设函数 f(x)=sin cox-6J H sin I . x 2j,其中 0。3.已知 f =06(1)求切；(2)将函数y= f (x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移个单位，得到函数y = g(x)的图像，求g(x)在-3亚I上的最小值 4_ 4 4(

8、 3Tl解析(1)因为f (x户sin (x-6 I+ sin产x2 '3 .1、一3 .33 .所以 f x = sin x cos x - cos x = sin x - - cos x _ sin x- cos x 222222页脚内容f- (IT )、.3 Isin x - -.3由题设知f -6QJ0 ,所以%-一引=k冗，k z Z .故 s=6k+2, k z Z ,又 0<(o <3,所以切=2.(2)由(1)得 f(x)=J3I c n sin 12x -ji ji3 所以 g(x)=V3sin 俨+-； 3 . 4 3J Hsin x- I .12 .因

9、为x冗x;12123 .3g(x)取得最小值-1.第三节三角包等变换 题型54化简求值1.(17 江苏 05)若 tan ,解析解法一（角的关系）：tan 二二tan I 一 一 I4 431 )tan 工一 141 - tan I -4解法二（直接化简）：tan : 一 1tan 一 ：41 tan ;17. 76，所以tan 故"2.（2017北京理12）在平面直角坐标系xOy中, 角口与角P均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对1称.右 sin = -，cos （a - = ）=.I/1解析由题作出图形，如图所不，sin ct =-，则cos（x22 ,由于与P关于y轴对称,31

10、2 2则 sin B =sin (n -a)= g，cos P = -一-，故 cos(a - P )=313,1 1;_73 393. (2017全国2理14)函数f (x =sin 2 x3 cosx 一-I x J i0 -4 . 一 ,2解析 f x =sin2x 3cosx -3 =1 - cos2 x 3cosx -43 I x 1。，- 1 I 令 cos x =t 且 t 三0 , i 4L.2，"'y = -t2.3t 1 - - t -342、用H . _ +1,当t哼,即x=%时,f（x）取最大值为1.精心整理4.(2017浙江理 18)已知函数 f (

11、x )=sin2 x-cos2 x_2V3sin xcosx(xw R ).(1)(2)求f (x)的最小正周期及单调递增区问解析(1)由s吟/，吟V得f停f 一；12声喈上卜2.22(2)由 cos2x=cos xsin x ,sin2x =2sinxcosx ,得 f (x )= -cos2x-V3sin 2x = -2sin 2x + - I , 6所以f(x)的最小正周期是T=? =冗.由正弦函数的性质得2+2k崂2x+6斗2k.Z，解得髀硼 *气Z .所以f (x )的单调递增区间是第四节解三角形题型55正弦定理的应用1. (2017天津理15)在AABC中，内角A,B,C所对的边分

12、别为a,b,c.已知ab, asin B(1)=3 .5求b和sin A的值;(2)求 sin 2A +4解析(1)在 ABC中，因为a >b,故由sin B =3 ,可得cosB.由已知及余弦定理，得 55b2 = a2+c2-2accosB =13 ,所以 b =713由正弦定理3sin Ab /日 一：一 a ,行 sin A 一 sin BasinB 3/1313(2)由(I )及2 13a < c ,彳寸 cos A =,13所以 sin 2A = 2sin Acos A1213，25cos2A =1 -2sin A =- 137t,故 sin i 2A - 44)=si

13、n 2Acos - cos2Asin - = 724262. (2017山东理9)在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a , b, c .若 ABC为锐角三角形， 且满足 sin B(1 +2cosC 尸 2sin AcosC +cosAsinC , 则下列等式成立的是().A. a =2bB.b =2aC. A =2BD. B =2A解析 因为 sin( A+C)+2sin BcosC =2sin AcosC 十 cos Asin C ,所以 2sin BcosC = sin AcosC ,又0 <C <-,得2sinB=sinA,即 2b = a .故选 A.2题型56余

14、弦定理的应用题型57判断三角形的形状一一暂无题型58解三角形的综合应用1. (2017江苏18)如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 I和正四棱台形玻璃容器II的高均为 32 cm ,容器I的底面对角线AC的长为10" cm ,容器II的两底面对角线EG , E1G1的长分别为 14 cm和62 cm ,分别在容器I和容器II中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l ,其长度为 40 cm (容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计).(1)将l放在容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CCi上，求l没入水中部分的长度； ! / / r !(2)将l放在容器n中，l的一端置于点E处

15、，另一端置于侧棱GGi上，求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义，CC1 _L平面ABCD ,所以平面AACCi _L平面ABCD , CC1 .L AC .记玻璃棒的另一端落在CCi上点M处，如图所示为截面AACG的平面图形.因为AC = 10",AM =40,所以MC = ,402 (10"； =30,从而sin/MAC = 4 .记AM与水面的交点为P,过点PQ1P 作 PQJAC, Qi 为垂足，贝 u PQJ 平面 ABCD,故 PQ1 =12 ,从而 AP1 =1Q1一 = 16. sin MAC答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm .(2)如图

16、所示为截面EiEGGi的平面图形，O, O1是正棱台两底面的中心.由正棱台的定义，OOi_L平面EFGH，所以平面E1EGG1 _L平面EFGH , OQ _L EG .同理，平面 E1EGG1 _L 平面 E1F1G1H1 , O1O _L E1G1 .记玻璃棒的另一端落在GGi上点N处.过 G 作 GK_LEG, K 为垂足，则 GK=OOi=32.精心整理62-14因为 EG 44 , E1G1 =62 ,所以 KGi =242，从而 GGi = JkG； +GK2 = J242 +322 =40 .设 NEGGi=o(, 2ENG=P,贝Usina= sinf- + Z KGG424=

17、cos/ KGG4 =5页脚内容3因为一 <a < n 所以cosa = 一一25.一 4014. 一 .7在AENG中，由正弦2里可得smsnj，解得sinP二市.24因为。父父万，所以cosPn五,于是 sin / NEG = sin (冗a P )= sin (a + P 尸.-4 243sin 二 cos: cos二 sin - 5 25525记EN与水面的交点为P2 ,过P2作P2Q2 J- EG , Q2为垂足，则P2Q2，平面EFGH ,.一一 .PQc故 P2Q2=12,从而 EF2=-2Q = 20.sin. NEG答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm .且

18、该评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感,I ;应用题的实际应用性也不强.也有学生第(1)问采用相似法解决，解法如下：AC =1oV7, AM =40 ,所以 CM =，402 -(106 j =30, 叫=12,PQ, AP12 AP所以由APIQ1SACM , 4 = 一即 一=1 ,解得 AP1 = 16.CM AM30 40答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.32.(2017北乐理 15)在 ABC 中，/A = 600，c = a.(1)求sinC的值；(2)若a=7,求4ABC的面积.精心整理解析(1)在 4ABC 中，因为/A=60

19、，c=3a,所以由正弓S定理得sinC=csn公=3 g.=3.a 7214(2)因为 a=7,所以 c =3父7 =3.由余弦定理 a2=b2+c2 2bccosA,得 72 = b2+32 2bw 3父)，72解得 b=8 或 b = -5 (舍).所以 4ABC 的面积 S=1bcsin A = lx8M3xY3=6V3.2222 a 3.(2017全国1理17) AABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,已知 ABC的面积为 3sin A(1)求 sinBsinC 的值；(2)若 6cosBcosC =1 , a =3,求 AABC 的周长.分析本题主要考查三角

20、函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用a2- 1a212 32解析(1)因为 ABC 的面积 S=且 S= bcsinA,所以=bcsinA,即 a =-bcsin A.3sinA 23sin A 2223.2一2由正弦te理得 sin A =sin Bsin Csin A,由 sin A ¥0 ,得 sin B sinC =.23i' I yI I2 1.(2)由(1)型 sinBsinC =-,又 cosBcosC =,因为 A + B +C =n，3 61所以 cos A =cos(兀一 B -C )=-cos(B +C )=sin B sinC-cosB

21、 cosC =.又因为 AW(0,n)，所以 a=60'，sin A =43, cosA =1由余弦定理得a2=b2+c2bc=9 2 a.aa由正弦te理信 b=sinb , c= sinC ,所以 bc = -2 SinBsinC =8sin Asin Asin A由，得 b +c=j33,所以 a +b+c=3 +J33,即 ABC 周长为 3 +V33.B4. (2017全国2理17) AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin (A +C )= 8sin2一.2求cosB;(2)若a+c=6, AABC的面积为2,求b.2 B 1 - cos B 解析(1)依

22、题得 sinB=8sin ±=82=4(1 - cosB).因为 sin2 B+cos2 B =1 ,所以 16(1cosB)2 +cos2 B =1 ,所以(17cos B 15)(cos B 1) =0 ,得 cosB T (舍去)15 或 cosB 二一 .81- 1817 一,15（2）由可知 sin B = 因为 Sa abc =2 ,所以-ac sin B =2 即工 ac =2 得 ac =二.因为 cosB = 17 '2217217 '222所以 a +c -b竺 即 a2 +c2b2=15 ,从而（a+c）22acb2=15 ,2ac 17即 36 -17 -b2