圆锥曲线的综合试题(全部大题目)含问题详解

1、实用标准文案精彩文档1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线2x =2py外一点P(Xo,yo)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D,与抛物线切点弦 AB的交点为Q。(1)求证：抛物线切点弦的方程为x0x = p(y+ y0)；(2)求证:11PC |pd"|2ipQi2 .已知定点F(1, 0),动点P在y轴上运动，过点 P作PM交x轴于点M并延长M国IJ点N,且 PM PF =0,| PM |=| PN |.(1)动点N的轨迹方程；(2)线l与动点N的轨迹交于A, B两点，若OA OB = -4,且4J6 <| AB |< 4v

2、 30 ,求直 线l的斜率k的取值范围.2222x y , xy3 .如图，椭圆Ci :+'=1的左右顶点分别为 A B, P为双曲线C2: =1右支 4343上(x轴上方)一点，连 AP交。于C,连PB并延长交。于D,且 ACD PCD勺面积相 等，求直线PD的斜率及直线 CD的倾斜角.4 .已知点M (-2,0), N(2,0),动点P满足条件| PM | - |PN |= 2J2 .记动点P的轨迹为W.(I)求W的方程;(n)若A,B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OAOB的最小值.5 .已知曲线 C勺方程为：kx2+(4- k)y2=k+1,(k R)(I)若曲线C是椭圆，

3、求k的取值范围；(n)若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60。，求此双曲线的方程；(出)满足(n)的双曲线上是否存在两点巳 点于直线l : y=x-1对称，若存在，求出过 巳Q勺直线方程；若不存在，说明理由。P 满足：PM + PN =6.re6 .如图(21)图，M(-2, 0)和N (2, 0)是平面上的两点，动点(1)求点P的轨迹方程；4 2(2)若PM PN =,求点P的坐标.1cos/MPN227.已知F为椭圆 与+4 =1 (a >b>0)的右焦点，直线l过点F且与双曲线 a b22x y-'=1的两条渐进线l112分别交于点M ,N ,与椭圆交于点A,

4、B. a b(I )若NMON =一,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 3(II )若OM mN =0 (O为坐标原点)，FA = 1 AN ,求椭圆的离心率 e。 328.设曲线G ：，+ y (1)设动点N的坐标为(x, y),则 =1 (a为正常数)与C2: y2 =2(x +m)在x轴上方只有一个公共点 P。 a(I)求实数 m的取值范围(用a表示)；1(n) O为原点，右Ci与x轴的负半轴交于点 A,当0<a一时，试求AOAP的面积的最2大值(用a表示)。1.(1)略2(2)为简化运算，设抛物线万程为(xXo) =2p(y-y0),点Q, C, D的坐标分别为(X3, y3),(

5、x1, y1),施 y2),点 P(00，直线 y = kx,2(x -xo) =2p(kx-yo)x2 -2(xo pk)x x2 2pyo = 0一方面。要证 1.，=2_|PC |PD| |PQ|化斜为直后112只须证：一 =X X2 x3由于 11= x1 x2 = 2(xo pk)x1 x2Kx2x2 2pk另一方面，由于 P(0,0)所以切点弦方程为：(x x0) = p(y2y0)所以从而即2_xo 2pkx3 -xo pk1xo pkx3 x2 2 pk112r =x1 x2 x3112 I =PC |PD| |PQ|yyM(-x,0)，P(0,2)(x 0),PM =(-x，

6、-2)，2pF=(1,y),由PM，pF=0得x+'=0,因此，动点的轨迹方程为y2=4x(x>0).4分(2)设l与抛物线交于点 A (xi, yi) ,B( X2, y2),当l与x轴垂直时，则由 OA ,0§ = 4得必=2<2,y2 =2；2,| AB|=4<2 <46 ,不合题意，故与l与x轴不垂直，可设直线 l的方程为y=kx+b(kw0),则由OA OB，得xix2 +yiy2 =口 6 分由点 A, B在抛物线 y2 =4x(x >0)上，有y2 =4x1, y； =4x2，故y1y2 =-8.又 y2=4x, y=kx+b 得

7、ky2 4y+4b=0, 8 分2所以 "=_8,b =_2k.A=l6(1 +2k2),|AB |2 =1 (11+32)10 分kk2k22因为4爬日AB怪4J30,所以96 <- (11 +32) £480.解得直线l的斜率的取值范围是 k k1 一 1-1,-Kj-,1. 12 分2 23 .由题意得 C 为 AP 中点，设 C(x0,y0), A(-2,0) , P(2% +2,2y。)，22 ,2把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得 13x。+4y0 =12 22,3(2xo +2) 4y。=12、/ x =1解之得：3,故C(1”)，P(4,3)，

8、又丁 B(2,0)V。=-22故直线PD的斜率为±20=3,直线PD的方程为y=3(x_2) 4-222,联立2(x2)铲小CH 3 故直线CD的倾斜角为90° 22斛得 D(1, )x2 .y2 .2十=1、434.解法一：(I)由|PM| |PN|= 2J5知动点P的轨迹是以M ,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a = .2又半焦距c=2 ,故虚半轴长 b = 7c2 -a2 = J522所以W的方程为 -=1, x >7222(n)设A, B的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2)22_当 AB ±x 轴时，x1 = x2,从而 y1 = y2,从

9、而 OA OB = x#2 + y y2 = x 一 y = 2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y = kx+m,与W勺方程联立，消去y得(1 k2)x2 2kmx m2 2 二 0.2km 故为 x2 =亍,2 1 -k2x1X2 =m2 2k2 -1所以OA OB =x1x2 y1y2 =x1x222(kx1 m)(kx2 m) = (1 k )x1x2 km(x1 x2) m22_ 22_ (1 k )(m2) 2k m二22-k -11 -km,22 2k 2 c 4-2=22 k -1 k -1又因为为*2 >0,所以k2 -1 >0,从而OA OB >

10、2.综上，当AB! x轴时，OA OB取得最小值2.解法二：(I)同解法一.(n)设A, B的坐标分别为，则(x1,y1), (x2,y2)，则22xi -yi =(xi +yi)(x yi)=2(i =1,2).令 s =为 + yi,ti =为一y» 则 siti =2,且 s >0,ti >0(i =1,2)所以*11OA OB =xx2 y1y2(s t)(S2 t2) (s -(0-t2)441 1二二 6s2 二 t1t2 - S1s2t1t2 = 2,2 2当且仅当s1s2 =t1t2,即lx1 =x2'时"="成立.小=-Y2所

11、以OAOb的最小值是2.5. (1)当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当kw0且卜金-1且卜金4时方程为x2 y2k，1 kF k，1k/1三 十一1=1 ,为椭圆的充要条件是：口>0且A0,J=Uk 1 k 1k 4-k k 4-kk 4 -k即是 0<k<2或 2<k<4一一一一 k 1 k 1 r,(2)为双曲线的充要条件是 ：<0,即k <1或-1<k <0或k >4,k 4 -k ck 1 c k 1当k<1或k >4时,双曲线焦点在x轴上，a2 =,b2 =彳导k=6, k k -4当-1 <k

12、<0时,双曲线焦点在y轴上,b2=H,a2 =上，得k=6,不符. k k -422综上得双曲线方程为w=i62(出)若存在，设直线 PQ勺方程为:y=-x+m'y = x + m2222消去y得：4x +4mx2m 7=06x2 -2y2 =7x。设P,Q的上点是M (xo,yo),则V。m2,M在直线L上;3m3m2"2"m /11 m =-一22方程(2)的 >。，存在满足条件的P、Q,直线PQ勺方程为6. (1)由椭圆的定义，点 P的轨迹是以 M N为焦点，长轴长 因此半焦距c=2,长半轴a=3,从而短半轴1y = x 22a=6的椭圆.b= V

13、a2 -c2 二屈,2所以椭圆的方程为9(2)由 PMPN| =1-cosMPN，得PM LPN|cosMPN =|PMLpN2.因为cosMPN #1,P不为椭圆长轴顶点，故 P、M N构成三角形.在PM仲,MN =4,由余弦定理有MN|2 =|PM:+|PN2-2 PM JPN cosMPN.将代入，得42 = PM 2 +|PN 2 -2( PM UPN2)._2故我P在以M N为焦点，实轴长为26 的双曲线 王y2=1上. 32.25x 9y =45,由方程组0 y , 22|x 3y =3.解得3.3x = -2-，,5即P点坐标为,3 .3 .5、/ 3.3,.5、/ 3.3 、5

14、、T / 3.3、.5、（,）' （=，-、（-丁；）或（一二，-二） 222222227.解：（I） </MON=三，M,N是直线l与双曲线两条渐近线的交点，3即a =揭2分丁双曲线的焦距为4,，a2+b2=4 4分2解得，a2=3,b2=1二椭圆方程为x- + y2=1 5分（II ）解：设椭圆的焦距为2c,则点F的坐标为（c,0）3ba,直线11的斜率为-一，直线l的斜率为一， ab a.，直线l的万程为y = (x-c) 7分by =a(x-a)由 b by = - x、 a2 ax =解得 cab y = 、 c即点 N(a-,ab) c c1'设 A(x,y)

15、,由 FA = - AN 31,得 x -c, y =一( 3ab 、x,- y)cc 1方、 x-c =-(-x)3 c1 ,aby=3(T-y)二点A在椭圆上,(3c22 216a co 223c ax 二4c ab4c3c2 a2 abA( -)4c 4c10分。12分22 242 2222(3c +a ) +a =16a c ,，(3e +1) +1 =16e9e4-10e2 2=0e2 519.e_ y'5±y'7椭圆的离心率是e _38. ( I )由 2 x 2.2 y y =1 a二2y =2(x m)+ 2a2x + (2m1)a2 =0 ，设 f

16、(x) = x2+ 2a2x +(2m -1)a2,则问题（I）转化为方程在区间（-a, a）上有唯一解:_a 122若若若 =0= m =,此时 xP =a ,当且仅当一a<a <a ,即 0<a<1 适合;2f(a)f (旬 <0,则-a <m <a ;f (-a) =0= m = a ,此时 Xp =a -2a1 .亏 即一 <a<一时，Smax=aJa-a 。 2,当且仅当一a <a -2a2 <a ,即 0<a <1 时适合;f (a) =0m = a ,止匕时 Xp a 2 a ,彳且一a 2a < a ,m 丰a 。a2 1综上所述，当 0<a<1 时，m=或 一acmWa；当 a，1 时，a<m<a。211 （n） AOAP的面积是S=ayP。因为0<a<,所以有两种情形：22当 一a<mW