圆地培优专地的题目(含解答)

1、实用标准文档圆的培优专题1与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度1、如图， ABC内有一点 D, DL DB= DC 若 / DAB= 20，/ DAC= 30+, 一，一 1贝U / BDC=( / BDC= / BAC= 100 0)2、如图，AE= BE DE BC= DC,若 C= 100s,则 / BAD=.(50*)3、如图，四边形 ABCD43, AB= AC= AD, / CBD= 20, Z BDC= 30,贝U/ BAD=.( / BAD= / BAO / CAD= 40 + 60 = 100 0)1I.尸r 产”A/第1题第2题第3题解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同

2、弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、如图， ABC邛，点E为AR BC的垂直平分线的交点，若 Z D= 60口，则/AEC=.(/AEC= 2/ B=2 / D= 120*)5、如图，。是四边形 ABCErt一点，OA= OB= OC / ABC= / ADC= 701则 / DAOF / DCO= (所求=360 - Z ADC- / AOC= 150*)6、如图，四边形 ABCD43, /ACB= / ADB= 90, / ADC= 25,贝U / ABC= .解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD圆.精彩文案实用标准文档二运用圆周角和圆心角相

3、互转化求角度7、如图，AB为。的直径，C为AB的中点，D为半圆AB上一点，则N ADC= 8、如图，AB为。的直径，CD过OA的中点E并垂直于 OA则Z ABC=.9、如图，AB为。的直径，BC =3AC ,则/ABC=.答案：7、45 ; 8 30 0; 9、22.510、400; 11、150 12、110解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!10、如图，AB为。的直径，点 C、D在。0上，N BAC= 50,则/ ADC=.11、如图，O。的半径为1,弦AB= J2 ,弦AC= J3 ,则N BOC=.12、如图，PAB PCD。的两条割线，PAB过圆心O,若

4、AC =CD , / P= 30s,则/ BDC=.（设/ ADC= x ,即可展开解决问题）第10题第11题第12题解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！精彩文案实用标准文档圆的培优专题2与垂径定理有关的计算1、如图，AB是。的弦，OD_LAB,垂足为 C,交O。于点D,点E在。O上，若/ BED = 30 = ,。的半径为4,则弦AB的长是 .略解：OD_LAB,，AB= 2AG 且 /ACO= 90， / BED= 30 ,/ AOQ= 2

5、/ BED= 60 1ZOAG= 30 , OC= - OA= 2,则 AC= 273 ,因此 AB= 4/3.2、如图，弦 AB垂直于。O的直径CD OA= 5, AB= 6,则BC=.1 _略解：.直径 CD_H AB,. AE= BE= 2 AB=3OE= 552 -321 =4,则 CE= 5+ 4=9BC=、92 323 J0第1题第2题第3题3、如图，O。的半径为2痣，弦AB_LCD,垂足为P, AB= 8, CD= 6,则。之略解：如图，过点 。作OELAB, OF_LCD连接 OB OD.则 BE= 1 AB=4, DF=1 CD=3,且 OB= OD= 275 22OE =/

6、2病2 -42 =2 , OF= J(2J5)2 -32 =布又AB_CD则四边形 OEPF矩形，则 OP=、22 (11)2 = Ji54、如图，在。内，如果 OA= 8, AB= 12, /A= B= 60,则。的半径为 .略解：如图，过点 。作ODLAB,连接OB则AD= 1 AB=4,因此，BD= 8, OD= 4MOB= (4、.3)2 82 =4 7.5、如图，正 AB接于。O, D是。上一点，/DCA= 15, CD= 10,则 BC=略解：如图，连接 OQ OD则.ODC= . OCD ABE等边三角形，则 / OCA / OCR 30 )/ ODC= / OCD= 45. O

7、C提等腰三角形，则 OC= 5.2 过点 O作 OE_LBC,则 BC= 2CE= 5d6精彩文案_CD= 2CF= 2.3 /ABF= 30 ,则AC=万AB=150 E两点，连接AD,贝U DE= 2CD= 2 . 2002 1502 =100,.7,所以受影响的时间为100j?10j7=10 （时）第4题第5题第6题6、如图，O O的直径AB= 4, C为AB的中点，E为OB上一点，/ AEC= 60, CE的延长线交。O于点D,则CD=略解：如图，连接 OQ则OC= 2. C为 AB 的中点，则 OCJ_AB,又 /AEC= 60,/ OCE= 301如图，过点 O作OF_LCD则O已

8、2 OC= 1, CF= J37、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度沿北偏东 60口的BF方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？解：如图，过点 A作AC_LBF交于点C,1圆的培优专题3圆与全等三角形1、如图，O O的直径 AB= 10,弦AC= 6, /ACB的平分线交。O于D,求CD的长.解：如图，连接 AB, BD,在CB的延长线上截取 BE= AC,连接DEZ ACD= . BCD -1- AD= BD又.CAD= . EBD AC= BE . CA里 EBD

9、 (SAS.CD= DE, . ADC= . BDE.AB 为。的直径，则 Z ACB= /ADB= 90BC= J102 _62 =8; /ADO/CDB= / CD肝 / BDE= 90 ,即 / CDE= 90.CDE是等腰直角三角形且 CE= 14,CD= 7722、如图，AB是。的直径，C是半圆的中点， M D分别是CB及AB延长线上一点，且 MA = MD 若 CMk J2 ,求 BD的长.解：如图，连接 AC,则AC= BC, /C= 90,即 ABC是等腰直角三角形过点 M作 MN/ AD,贝U / NMA= / MAD则ACM也是等腰直角三角形，则 MN=、, 2CM= 2

10、/ANC= /MBD= 135 ,又 MA= MD. D= . NMA= . MAD. .AM连 BMD(AAS.BD= MN= 23、如图，AB为。O的直径，点N是半圆的中点，点 C为AN上一点，NC= J3 .求BC- AC的值.解：如图，连接 AN BN则 ABN是等腰直角三角形 在BC上截取BD= AC连接 DN. AN= BN,CAN= . DBN AC= BD. .AC隼 BDN (SAS.CN= DNCNA= DNB/ CND= / CNA / AND= / ADW / DNB= 90 ,即 CND等腰直角三角形 CD= /2 NC= V6, .BC AC= BC- BD= CD

11、= 64、如图，点 A B、C为。上三点，AC =BC ,点M为BC上一点，CE_LAM于E,AE =5, ME= 3,求 BM的长.解：如图，在 AM上截取AN= BM 连接CN CM. AC = BC , AC= BC,又 Z A= / B . ACN BCM(SAS.CN= CM 又 CE_ AM，NE= ME= 3,.BM= AN= AE NE= 2 5、如图，在。中，P为BAC的中点，PD_LCD C眩。于A,若AC= 3, AD= 1,求AB的长.解：如图，连接 BP、CP,则 BP= CP, . B= . C过点P作PE_LAB于点E,又PD_LCD. BEP= . CDP. B

12、E咤 CDP ( AASBE= CD= 3+1 = 4, PE= PD连接 AP,贝 U RtAAEFP Rt ADP (HL),贝 U AE= AD= 1.AB= AE+BE= 56、如图，AB是。的直径，MN是弦,AE1MNT E, BF_L MNT F,求BF AE的值.解： AE_MN BF_MN 贝UAE/ BF, . . . A= . B如图，延长EO交BF于点G,贝U . AOE= BOG AO= BO. .AO监 BOG(AAS,贝U OE= OG过点。作 OHLMN FG= 20H HN= 4AB= 10, MN= 8.连接 ON 则 ON= 5, OH= J52 42 =

13、3,则 BG- AE= FG= 6.圆的培优专题4圆与勾股定理1、如图，O。是4BCN的外接圆，弦 AC_LBC,点N是AB的中点，/ BNC= 60s,求BC的值.解：如图，连接 AB,则AB为直径，N BNA= 90 连接AN,则BN= AN则人8刈等腰直角三角形2-”BN= Jab；又 / BAC= N BNC= 60,2.BC=BN _ 6BC =（方法2,过点B作BD_LCN,即可求解）2、如图，O。的弦AC_LBD,且AG= BD,若AD= 2短,求。半径.解：如图，作直径 AE,连接DE,则. AD巳90又 AC_BD,贝U ADB+ DAG= AD吩 EDB= 90/ DAC=

14、 / EDB 则 CD = BE , DE = BC ,AC= BD . AC =CD，则 AD = BC = DE.AD= DE即 AD比等腰直角三角形.AE= 72 AD= 4,即。的半径为 2 3、如图，AB为。的直径，C为。上一点，D为CB延长线上一点，且 / CAD= 45,CE _LAB于点 E, DF_LAB于点 F.(1)求证：CE= EF; (2)若 DF= 2, EF= 4,求 AC.(1)证：: AB 为。的直径，/ CAD= 45,则ACD等腰直角三角形，即 AC= DC又 CE- AB,贝U CAE= ECB如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点 G又 CE_AB,

15、DF_AB,贝U 四边形 CEFG矩形,. AEC= . DGC= 90EF= CG CE/ DG 贝U ECB= CDG= CAE AC且 DCG(AAS ,贝U CE= CG= EF(2)略解：AC= CD= 42 62 =2 13.4、如图，AB为。的直径，CD_LAB于点D, CD交AE于点F, AC =CE .(1)求证：AF= CF;(2)若。的半径为5, AE= 8,求EF的长(1)证：如图，延长 CD交。于点G,连接AC.直径 AB_CG 则 AG =AC =CE, CAE= . ACG 则 AF= CF(2)解：如图，连接 OC交AE于点H,则OQ_AE, OH= 府二4r

16、=3,则 CH= 5-3= 2设 HF= x ,则 CF= AF= 4- xo oo33则 x +2 =(4 x) ,，x = ，即 HF= 2211 EF=一25、如图，在。中，直径 CD_L弦AB于E, AMLBC于M 交CD于N,连接AD.(1)求证：AD= AM(2)若 AB= 4 J2, ONk 1,求。O的半径.(1)证：: CD_LAB, AMJ_ BC C+ CNM= C+ B= 90乙B= . CNM又. B= D, . AND= CNM/ D= . AND 即 AD= AN(2)解：二.直径CD_L弦AB,则AE= 2近又 ANh AD,贝U NE= ED如图，连接 OA设

17、 OE= x,则NE= ED= x+1OA= OD= 2x 1x2 +(2衣)2 =(2x+1)2,则 x=1.OO的半径OA= 3圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题AC2+BE2=4R2.1、在。中，弦 AB_LCD于 E,求证：NAOD / BOC= 180证：如图，连接AC,. AB_LCD 贝U Z CABF NACD= 90。又 NAOD= 2/ACD N BOC= 2/BAC / AODF / BOC= 180 2、在。中，弦 AB_LCD于点E,若。的半径为 R,求证:证：AB_CD 贝U . CABF . ACD= 90如图，作直径AM连接CM则.AC阵.AC* . DC阵 90

18、/ CAB= . DCMBC =DMCM =BD , .CM= BD,.AC2+CM=AM .AC2+ BE2=4R2.3、在。中，弦 AB_LCD于点E,若点M为AC的中点，求证 ME_ BD.证：如图，连接ME并延长交BD于点F .AB_LCD且点 M为AC的中点ME为RtA AEC斜边上的中线.AM= ME. A= AEM= . BEF又 B= C,A+ C= 90 / BEF+ / B= 90 ,即/ BFE= 904、在。中，弦 AB_LCD于点 E,若 ON_LBD于 N,求证：ON 1 AC.2证：如图，作直径 BF,连接DF,贝U DF_BD,又 ON_BD, .ON/ FD,

19、又 OB= OFc 1.ON= DF2连接 AF,则 AF _ AB,又 CD_ AB.AF/ CDAC = FD ,则 AC= FDc1八 .ON= - AC25、在。中，弦 AB_LCD于点 E,若 AC= BD, OINJ_ BD于 Nl, OMAC于 M.(1)求证：M日/ON(2)求证：四边形 OME即菱形.证：(1)如图，延长 M, OD于点F. OMLAC,则点M为AC的中点 AB_LCD 则 ME为RtACE的斜边上中线 . AM= EM乙A= - AEM=- BEF又.B= . C Z A+ C= 90N B+ BEF= 90 ,则 BFE= 90 MF_ BD 又 O2 B

20、DMF/ ON(2)由(1)知MF/ ON同理可证OM/ NE,四边形OMEN1平行四边形. AO BD,OM= ON四边形OMEM菱形.圆的培优专题6圆与内角(外角)平分线一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O。为 ABC的外接圆，弦 CD平分/ACB /ACB= 90，求证：CA+ CB= ,2 CD. CD平分 /ACB AD= BD又.DAE= . DBC AE= BC.DA珞 DBC (SAS.CD= DE,又. ACD= 45证：如图，在 CA的延长线上截取 AE= BC,连DE, AD BD2、如图，O。为 ABC的外接圆，弦CD平分 2ACB

21、 NACB= 120,求CA+CBCD的值.CDE是等腰直角三角形，则 CA+ CB= CE= 2 CD.解：如图，在 CA的延长线上截取 AE= BC,连DE, AD. CD平分 /ACBAD= BD又.DAE= . DBC AE= BC.DA珞 DBC (SAS.CD= DE,又. ACD= 60. CDE是等边三角形八 八八 c C CA+CB.CD= CE= CA+ BC,即-Fk =1CD3、如图，过 O M(11)的动圆。Oi交y轴、x轴于点A、B,求。七OB的值.解：如图，过点 M作 MEL y轴，MF_L x轴，连 AM BM由M (1, 1)知：四边形 OFME1正方形.OE

22、= OF= 4, EM= FM 又 / MBF= /MAEAE阵 BFM (AAS,贝U AE= BF.OA+ OB= AE+ OE+ OF BF= 8.实用标准文档.ACQ . ACB= 90 .AC- BC= CD= 2 PC.二 圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，O。为 ABC的外接圆，弦 CP平分 ABC的外角求证：(1) PA = PB; (2) AG- BC= 72 PC.证：(1)如图，连接 AP,则/ PCQ= / PAB又.PCQ= . PCA 贝U PAB= . PCAPA =PB(2)连接 BP,由(1)得，PA= PB在 AC上截取 AD= BC,连 PD 又.

23、PAD= . PBC .PAN PBC(SAS),贝U PD= PC又NPCD= 45 ,则. PCD是等腰直角三角形，5、如图，O。为 ABC的外接圆，弦 CP平分 ABC的外角/ACQ N ACB= 120n.的值.qBC AC 求 m解：如图，在 BC上截取BD= AC,连AP、BR DP . PCB= . PCQ= . PBAPC.AP= BP,又.CAP= . DBP .CA国 DBP(SAS,贝U CP= DP又 NACB= 120N PCD= 30 ,BC- ACCD - = = 3PC PC6、如图，A(4,0) , B(0,4) , OO经过A、B、。三点，点 这P为OA上动

24、点(异于Q A)JB- PA 5 + 求 PO 的值.解：如图，在 BP上截取BC= AP . A(4,0) , B(0, 4),则 OA= OB= 4又.OAP= . OBC . OAP OBC (SASPB- PAPC 一 .OC= OP 且 /cop= n AOB= 90 ,则 PO = PO = 72 .精彩文案实用标准文档4、如图，PA PB为。的切线，C为AB上一点,第5题第6题分别切小圆于 D E,小圆的DE的度数为110,则大圆的BC的度数为第7题第8题第9题8、如图，O。和。Q交于A、B两点，且点 0在O Q上，若/ D= 110,则/ C=圆的培优专题7与切线有关的角度计算

25、切线与一个圆 答案：1、70； 2、20口； 3、80; 4、120s; 5、130口； 6、451、如图，AD切。O于A, BC为直径，若 /ACB= 20*,则/ CAD=.2、如图，AP切。O于P, PB过圆心，B在OO,若 /AB之35,则/ APB= .3、如图，PA PB为。的切线，C为ACB上一点，若 / BCA= 50*,则/ APB= 若 / BCA= 150*,则/ APB=.5、如图，点。是 ABC的内切圆的的圆心，若/ BAC= 80 s,则/ BOC=.6、如图，PA切。O于A,若PA= AB, PD平分/APB交AB于D,则/ ADP=. （设元，列方程）二切线与两

26、个圆7、如图，两同心圆的圆心为 0,大圆的弦 AR AC9、如图，O。和。Q外切于D, AB过点D,若/AQD= 100*, C为优弧BD上任一点,则/DCB= 答案：7、140; 8、40; 9、50 （过点D作两圆的切线）圆的培优专题8与切线有关的长度计算1、如图，在。的内接 ACB中，/ ABC= 30- AC的延长线与过点 D的切线BD交于点D,若O。的半径为1, BD/OC则CD=（CD=粤）32、如图 ABC内接于。O AB= BC,过点A的切线与OC的延长线交于 D, N BAC 75。CD =褥，则 AD=（AD= 3） 3、如图，O。为 BCD的外接圆，过点 C的切线交BD的

27、延长线于 A, Z ACB= 75,/ ABC= 45 ,则 g 的值为 (蛋=J2 ) 7 no no 第1题第2题第3题第4题4、如图，AB为。的直径，弦 DC交AB于E,过C作。的切线交 DB的延长线于 M,若 AB= 4,2ADC= 45, /g 75,则 CD=.( CD= 273)5、如图，等边 ABC内接于。O, BD切。于B, ADJ_ BD于D, AD交。于E, O O的半径为1,则 AE=(AE= 1)6、如图， ABC中，/C= 90, BC= 5,。与ABC的三边相切于 D E、F,若。的半径为2,则 ABC的周长为 (C= 30)7、如图， ABC中，/C= 90s,

28、AC= 12,BC= 16,点 O在 AB上，。与BC相切于D,连接 AD,贝U BD=（示：过D作 DE_L AB,设 CD= DE= x ,BD= 10）第5题第6题第7题解题策略：连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程.精彩文案实用标准文档圆的培优专题9圆的切线与垂径定理1、如图，AB为。的直径，C为AE的中点，CD_LBE于D.(1)判断DC与。的位置关系，并说明理由；(2)若DC= 3, O。的半径为5,求DE的长.解：(1) DC是。的切线，理由如下：如图，连接 OC BC,贝U . ABC= . CBD= . OCBOC/ BD,又 CD_ BE.OC_CD又O

29、C为。的半径DC是O O的切线(2)如图，过。作OF_LBD,则四边形 OFDC1矩形，且 BE= EF .OF= CD= 3, DF= OC= 5,EF= BF=452 32 =4 , . . DE= DF- EF= 12、如图，AB为。的直径，D是BC的中点，DE_L AC交AC的延长线于E,。的切线BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE为。的切线；(2)若DE= 3, O。的半径为5,求DF的长.(1)证：显然， / CAD= / OAD= / ODAOD/ AE,又 DE_ AC,OD1DEL,又 OMO O半径DE为。O的切线(2)解：如图，过点 O作OGLAC,贝U OGD段矩

30、形,即 OG= DE= 3, DE= OD= 5，AG=旧-32 =4,则 AE= 5 + 4=9,.9 +32 = 3阮连接 BD,则 BD_AD,BD= 102 (310)2 = .10设 DF= X ,则 x2 十(而)2 = BF= (X +3而)2 -102,DF= X精彩文案OFE端矩形EF_L DF于 F.3、如图，四边形 ABC咕接于。O, BD是。的直径，AE_LCD于E, DA平分/ BDE.(1)求证：AE是。的切线；(2)若 AE= 2, DE= 1,求 CD的长.(1)证：如图，连接 OA 则 / ADE= Z ADO= / OADOA/ CD 又 AE_CD.OA_

31、LAE,又OA为0O的半径. AE是。O的切线(2)解：如图，过点 O作OF_LCD则CD= 2DF,且四边形EF= OA= OD OF= AE= 2设 DF= x,则 OD= EF= x+1222X2 +22 =(x+1)2,x=1.5CD= 2CF= 2x =34、如图，AE是。的直径，DF切。于B, AD_LDF于D,(1)求证：EF+ AD= AE;(2)若EF= 1, DF= 4,求四边形 ADFE的周长.(1)证：如图，连接 CE则四边形CDFN矩形连接OB交CE于点G,DF是。O的切线OB_ DF, OB_ CEB8 CD= EF, OG/ AC 又 AO= OEAC= 2OGE

32、F+ AD= AO CD+ EF= 20a 2B& 2OB= AE.(2)解：显然 CE= DF= 4, CD= EF= 1设 AC= x ,则 AD= x +1 , AE= x +22. 22x +4 =(x+2),贝U x=3,贝U AC= 3, AD= 4, AE= 5，四边形CDFE勺周长为14.圆的培优专题10圆的切线与勾股定理1、如图，已知点 A是。上一点，半径 OC的延长线与过点 A的直线交于点 B, OC= BC,AC = 1OB.2(1)求证：AB是。的切线；(2)若NACD= 45*, OC= 2,求弦CD的长.(1)证：: OC= OBAC为OAB的OB边上的中线，又 A

33、C= 1 OB 2.OA醍直角三角形，且 ZOAB= 90：又OA为。的半径. AB是。O的切线(2)解：显然，OA= OC= AC,即 OAC等边三角形Z AOC= 60,/ D= 30 如图，过点A作AE_LCD于点E, /ACD= 45,AEC是等腰直角三角形，AE= CE= 2AC= 2OC= 2 , DE= . 3 AE= 6，CD= .6.2(1)求证：。阵AN; (2)若。O的半径r =3, PA= 9,求OM的长.2、如图，PA PB切。于 A B,点 M在 PB上，且 OM/AP, MNLAP于 N.(1)证：如图，连接 OA PA为。的切线， .OA_AP,又 MHAPOA

34、/ MN 又 OMy/AP,，四边形OANM矩形,即OMh AN(2)解：如图，连接 OB PR PA为。O的切线 /OBMk / MNP= 90*, PB= PA= 9 . OM/AP,OMB= P,又 OB= OA= MN， OB阵 MNP(AAS) O阵 PM 则 32+OM= (9OM 2,，。阵 5实用标准文档3、如图，AB为。的直径，半径 OCJ_AB, D为AB延长线上一点，过 D作。的切线,E为切点，连接CE交AB于F.(1)求证：DE= DF; (2)连接 AE,若。已1 , BF= 3,求DE的长.(1)证：如图，连接 OE PE为。的切线,，OE_DE,又 OC_AB.

35、C+ . CFO= . OE斗.DEF= 90又.C= . OCF . CFO= . DFE乙 DEF= . DFE, DE= DF(2)解：显然， OE= OB= OF+ BF= 4设 BD= x ,贝U DE= DF= x +3 , OD= x +4,22,、 2一(x +3) +4 =(x+4) , x = 4.5DE= 7.54、如图，正方形 ABCO勺顶点分别在y轴、x轴上，以AB为弦的。M与x轴相切于F, 已知A(0,8),求圆心M的坐标.解：如图，连接FM交延长交AB于点E.OM与x轴相切，即OC是OM的切线 .EF_OC又四边形ABCO正方形.EF_AB,又 A (0, 8)即

36、 AB= EM= OA= 8AE = 4设 MF= AM= x,贝U EM= 8- x1- 42 +(8x)2 = x2 , x=5,即 MF= 5.点M的坐标为(一4, 5)精彩文案实用标准文档圆的培优专题11圆的切线与全等三角形1、如图，BD为。的直径，A为BC的中点，AD交BC于E,过D作。的切线，交BC的延长线于 F. (1)求证：DF= EF; (2)若AE= 2, DE= 4,求DB的长.(1)证：如图，连接 ABBD为。的直径，DF为。O的切线, BAD= . BDF= 90. ABa . AEB= . AD吩.FDE= 90又.ABC= . ADB . AEB= . DEF,

37、DFE= . DEF,DE= EF(2)解：如图，过点 F作 FG_LED,贝U EG= GD= 2 = AE,又/BAE= / FGE= 90, / AEB= N GEF . AB珞 GFE (ASA),BE= EF,即DE为RABDF的斜边上中线DF= EF= DE= 4, BF= 8,贝U BD= 4百2、如图，AB为。的直径，C、D为。的一点，OC_AD CF_LDB于F.DB= 3,求。O的半径.(1)求证：CF为。的切线；(2)若BF= 1,(1)证：AB为。O的直径.DF_AD,又 OC- ADOC/ DF,又 CF- DB，OCJ_CF,又OC为。的半径.CF为。O的切线(2)

38、解：如图，过点 C作CE_LBD于点E,贝U BE= DE= 1.5 , EF= 2.5又 OC_CF, CF_ EF四边形OCF提矩形 ，。0有半径 OC= EF=2.5精彩文案3、如图，以。的弦AB为边向圆外作正方形 ABCD. (1)求证：OC= OD(2)过D作DMWO。于M 若AB= 2, DM= 2在，求。O的半径.(1)证：如图，连接 OA OB则OA OB乙 OAB= . OBA .四边形ABCD正方形AD= BC, . DAB= . CBA= 90 . OAD= - OBC . OAD2 OBC (SAS)OC= OD(2)解：如图，连接 OM BD,则 OMLDM 且 BD

39、= J2AB= 2& = DM又。阵 OB OD= OD ODM ODB( SSS)OB_ BD,又.ABD= 45/OAB= 45,即 OA呢等腰直角三角形.OA=4、如图，在 ABC中，AC= BC, /ACB= 90,以BC为直径的。O交AB于D.(1)求证：AD= BD; (2)弦 CE交 BD于 M, 若 S ABC =3SBCMBD,求 CE .(1)略证：连接CD则CD! AB又 AC= BC, / ACB= 90*， A AD= BD(2)解：如图，连接 BE,过A作AN_LCE于N-S ABC =3SBCM ,SACM =2SBCM . AN= 2BE / CAN= / BC

40、E AC= BC, / ANC= / CEB.AN挈 CEB (AAS)BE= CN CE= AN设 CN= BE= x ，则 CE= AN= BE= 2x ，B BC=BDCEJ5x，.; AB= V2 BC= J10x ,即 BD= x210圆的培优专题12圆的切线与等腰三角形1、如图，在 ABC中，AB= AC,以AB为直径的。与边BC交于D,与边 AC交于E,过D作DF_L AC于F.(1)求证：DF为。的切线；(2)若DE= 卮 AB= 5,求AE的长.(1)证：如图，连接 AD ODAB为。的直径，.AD_BC,又 AB= AC, OA= OB. EAD= . DAB= . ADO

41、OD/ AC,又 DF_ AC，ODJ_DF,又OM。的直径DF为。O的切线(2)解：: /EAD= /DAB 1- BD= DE= # ,又 AB= 5, . AD= 52 (V5) 2 = 2而, DFX AC= ADX CD . DF= 2, CF= EF= (狗5-22=1, /. AE= 5-2=32、如图，在 ABC中，AB= AC,以边 AB为直径作。O,交BC于D,过D作DEL AE.(1)求证：DE是。的切线；(2)连接OC若2CAB= 120*,求DE的值.OC(1)证：如图，连接 AD OD则AD_L BC又 AB= AC, .1. CD= BD,又 AO= OBOD/

42、AC,又 DE- AE,.ODJ_DF,，DE是。的切线；(2)解：如图，过点 O作OF_LBD于F,则BD= 2BF AB= AC, NCAB= 120口，N B= 30设 OF= x ,则 BF= 73x , OB= 2x ,AC= AB= 4x , CD= BD= 2岛,贝U CF= 373x由勾股定理，得OC= 2j7x,由面积法，得DE= 73x ,DE = . 21oc = 73、如图，AB=AG点。在AB上，O。过点B,分另交BC于D、AB于E,DF_L AC.(1)证：DF为。的切线；(2)若AC切。于G,。的半径为3, C已1,求AC.(1)证：如图，连接 OD AB=AC

43、OB= OD/ B= . C= . ODBOD/ AC,又 DF_ AC，ODJ_DF,又OM。的半径DF为。O的切线(2)解：如图，连接 OG AC为。的切线.OG_AC,又 OD_DF, DF_AC OG= OD，四边形 ODFG正方形，即 OB= OG= GF= 3设 AG= x,则 AB= AC= x+4 ,则 AO= x+1X2 +33 =(x+1)2,x=4,则 AC= 84、如图，CD是。的弦，A为CD的中点，E为CD延长线上一点，EG切。于G.一DK 3(1)求证：KG= GE (2)若 AC/EG,5 , AK= 2M ,求。O 的半径.(1)证：如图，连接 OG OA交CD

44、于点FA为CD的中点，EG是。O的切线OA_ CD OG_ GE . OAGF . AKF= . OGA- . EGK 又 OAG= OGA AKF= EKG 乙 EGK= . EKG . KG= GE(2)解：AC/ EG .1 / CAK= / EGK 又 EGK= / EKG= / CKA. CAK= CKA .1. CA= CK设 CK= CA= 5x ,贝U DK= 3x , . CD- 8x , CF= 4x , EG= x .AF= (5x)2 -(4x)2 =3x在 RtAFK中，(3x)2+x2 =(2而)2 , . . x = 2.CE= 8, AE= 6,一 一 .222

45、25设。的半径为 R,则 F2 = 8 + ( R 6) ，.二 R=w 3圆的培优专题13圆与三角形的内心1、如图，AB是。的直径，AC =CE，点M为BC上一点，且 CM= AC.(1)求证：M为 ABE的内心；(2)若。的半径为5,(1)证：如图，连接 CE则AC= CE= CM. CME= . CEM . CEA= . CBE, CB曰.BEM= . CEA . AEM, AEM= . BEM 又 ABC= CBE点M为 ABE的内心.AE= 8,求 BEM勺面积.(2)解：如图，过点 M作MNLBE于点N,则MN为4ABE的内切圆的半径.AB= 10, AE= 8,则 BE= *0

46、82 =66 8 -10MNh =22，a b -cab MN = =-均 + = 21.BME勺面积为 一X 6X2 = 6.22、如图，O。为 ABC的外接圆，BC为直径，AD平分/BAC点M是ABC的内心.(1)求证：BC= V2DM (2)若 DM= 5夜，AB= 8,求 ObM的长.(1)证：如图，连接 BD CD BC为直径，AD平分/ BACBD= CD / BDC= 90 ,BC= ,2 CD连接 CM 贝U AC阵 BCM DAC= BCDZ DMC= ACMb / DAC= N BCMF BCD= / DCMDM= CD 即 BC=、, 2 DM(2)解：显然，BC= J2

47、DM= 10, AB= 8,贝U AC= 6,且/ MAE= 45 如图，过 M作ME_LBC于点N,彳MF_LAC于点F,则 ME= M已AF= 2CF= CE= 4,则 OE= 1OM= .22 12 = 5.3、如图，AB为。的直径，C为。上一点，D是BC的中点，DEJ_AB于E, I是 ABD 的内心，DI的延长线交。于N.(1)求证：DE是。的切线；(2)若DE= 4, CE= 2,求。的半径和IN的长.(1)证：: D是BC的中点，OA= OD. CAD= . DAO= . ADOOD/ AE,又 DE_ AB.ODJ_DE,又 OM。的半径DE是。O的切线.(2)解：如图，过点

48、。作OF_LAC,则AF= CF,. DE_AB, OD_ DE，四边形 ODE乱矩形,则 OF= DE= 4设。的半径为 R,则 OA= OD= EF= R, AF= CF= R 2(& 2) 2+42 =R2, .1. R= 5,AB= 10,如图，连接 BI , AN, BN,贝U IN=BN= AN= 5近 4、如图，在 ABC中，AB= AC,I是 ABC的内心,O。交AB于E, BE为。O的直径.(1)求证：AI与。O相切；(2)若BC= 6, AB= 5,求O。的半径.(1)证：如图，延长 AI交BC于点D,则AD_LBC,连接 OI,则/ OIB= / OBI= / OBDOI

49、 / BC,又 AD_L BC AD1OI,又OI为。O的半径AI与。O相切(2)显然 BD= 3, AB= 5,则 AD= 4如图，过点 I 作 IF 1AB于点 F,则 BF= BD= 3, AF= 2, IF = ID ,、一一o oo3设 IF= ID= x ,则AI= 4 -x , x2+22=(4 x)2,则 IF = x = 一2设 O的半径为R,则 OF=3R,. ( 3R)2+ (3 ) 2 =R2,.R=受28圆的培优专题14圆中动态问题证：如图，在 AP上截取PD= PC,连接CD ABC是等边三角形,/ ABC= / ACB= 60 N DPC= / ABC= 60 .

50、PCD等边三角形，即 CD= PC / ACDF / BCD= / BCP+ / BCD= 60 / ACD= / BCP 又 AC= BC .AC里 BCP (SAS.AD= BP PA= AD+ DP= PB+ PC.2、已知弦 AD_LBD 且 AB= 2,点C在圆上，CD= 1,(1)如图1,若点E在。0外，求NAEB的度数；直线AR BC交十点E.1、如图，点P是等边 ABC外接圆BC上的一个动点，求证 PA= PB+ PC.(2)如图2,若 C D两点在。上运动，CD的长度不变，点E在。0内，求/AEB的度数解：(1)如图一1,连接OQ OD AD_L BD.AB为。的直径，且 AB= 2.CD= OC= OD= 1,即 OCD等边三角形 COD= 60 ,1 ,小/ CBD= 2 / COD=30/ AEB= 60 (2)如图一2,连接OQ OD .4.1同理可得：/ACD= 60 ,，/CBD= 2- A.图1三 一图2/ COD=30又 NADB= 90，/AED= 1203、已知直线l经过。O的圆心 0,且交。于A B,点C在O。上，且/ AOC= 30。点P是直线l上一个动点(与 0不重合)，直线 CP与。0交于Q 且QP= Q0.(1)如图1