2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编：13导数及应用

1、2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编：13导数及应用2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编导数及其应用1、(朝阳区2019届高三一模)已知函数f(x) =!n(aX)缶WR且a#0).x(I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)当 a = -1 时，求证：f(x)x+1；(出)讨论函数 f(x)的极值.2、(东城区2019届高三一模)设函数 f (x) =ax2+(a-2)x-ln x的极小值点为x0.(I)若x0 =1 ,求a的值f (x)的单调区间；(II)若0 <x0 <1,在曲线y = f (x)上是否存在点P ,使得点P位于x

2、轴的下方？若存在，求出 个P点坐标，若不存在，说明理由.3、(丰台区2019届高三一模) 已知函数f (x) =(x 2)ex 1ax3+ax2 .32(I)当a=0时，求函数f(x)的单调区间；(n)当a we时，求证：x=1是函数f(x)的极小值点.24、(海江区2019届局二一模)已知函数f (x) =xln(x+1) ax .(I) 求曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n)当a <0时，求证：函数f (x)存在极小值；(出)请直接写出函数 f (x)的零点个数.5、(怀柔区2019届高三一模)已知函数f(x) = ln x ax(aw R).(I)当a

3、=2时，求f (x)在点(1,f (1)处的切线方程；(n )若对于任意的 x e(0,也)，都有f (x) <0,求a的取值范围.x6、(门头沟区2019届局三一模)已知 f(x)=axe在点(0,0)处的切线与直线 y = x 2平行。(I)求实数a的值；x2(n)设 g(x) = f (x) -b( x)(i)若函数g(x) >0在0,收)上恒成立，求实数b的最大值；(ii )当b W0时，判断函数g(x)有几个零点，并给出证明.x7、(石景山区2019届局二一模)设函数 f(x)=e ax+1, a >0 .(I)若曲线y = f(x)在点(1, f (1)处的切线与

4、x轴平行，求a；(n)当x<1时，函数f(x)的图象恒在x轴上方，求a的最大值.8、(顺义区2019届高三第二次统练(一模)设函数f (x)=ajx lnx,aw R .(I)若点(1,1)在曲线y = f(x)上，求在该点处曲线的切线方程；(II)若f (x甫极小值2,求a.x 29、(西城区2019届高三一模)设函数 f(x)=me -x +3,其中m= R .(I )当f (x)为偶函数时，求函数 h(x) =xf (x)的极值；(n )若函数f (x)在区间-2,4上有两个零点，求 m的取值范围.10、(延庆区2019届高三一模)已知函数f(x)=ln(x+a)在点(1,f (1

5、)处的切线与直线 x 2y = 0平行.(I)求a的值；(口)令 g(x)=f(x) 求函数g(x)的单调区间.x ，2.12 .11、(房山区 2019 届局二一模)已知函数f(x)=(mx -x )ln x +- mx (m < 1).(i)当m=0时，求曲线y = f(x)在x=1处的切线方程；(n)若函数f(x)的图象在x轴的上方，求 m的取值范围.12、(大兴区2019届高三一模)已知函数 f(x) =aex图象在x =0处的切线与函数 g(x) = lnx图象在 x=1处的切线互相平行.(I)求a的值；(n )设 h(x) = f (x) -g (x),求证：h(x) >

6、;2 .1、解：(ln x.1 -ln xD 当 a=1 时，f(x)=.所以 f'(x) = -2xx因为 f 1)=1,f (1) = 0,所以曲线y = f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y = x1.(n)当 a = 1 时，f(x)=in.3分x函数f (x)的定义域为(不等式£(*)之*十1成立已,0) .ln( x) >x +1 成立= ln( -x) - x2 - x< 0成立.x设 g(x) = ln( -x) -x2 -x (x ( (-°°,0),12 / 102-2x2 -x 1 (-2x 1)(x 1)x(-00,

7、 -1)-1(-1,0)g'(x)十0一g(x)极大值x所以因为所以g(x) Mg(-1).g(1)=0,所以 g(x) <0,ln( -x)/x +1 x.8分一.1则 g (x) =- - 2x -1 =xx变化时，g (x), g(x)变化情况如下表:(出)求导得f '(x) = 1一1n2ax).令f '(x) =0 ,因为a丰0可彳导x= xa当a>0时，f(x)的定义域为(0,十g).当x变化时，f'(x), f(x)变化情况如下表:x(0,-) ae a(£,f af'(x)十0一f(x)极大值此时f(x)有极大值f(

8、e)=a,无极小值.a e当a<0时，f(x)的定义域为(笛,0),当x变化时，f'(x), f(x)变化情况如下表:x(，£) ae a(±0) af '(x)一0十f(x)极小值e a此时f(x)有极小值f(_)=_,无极大值. a e2、解：(I) f(x)定义域为(0, +oc).f(x) = 2ax (a-2)-1.2a.0221 =(2x 1)(ax 一1).13分xx由已知，得f (1)_0，解得a= 1.当 a=1 时，f(x) J2x+1)(x-1),x当 0cx<1 时，f'(x) <0 ；当 x A1 时，f&

9、#39;(x)A0.所以f(x)的递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+ ?).所以a =1时函数f(x)在x =1处取得极小值.即f (x)的极小值点为1时a的值为1.(II )当0<x0<1时，曲线y= f(x)上不存在点P位于x轴的下方，理由如下: 由(I)知 f '(x) =(2x+1)(ax-1),x当aW0时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,收)单调递减，f(x)不存在极小值点;当 a>0时，令 f '(x) =(2"1)(" -1)1.1当xW(0,)时，f (x) <0, f(x)在区间(0,-

10、)上单调递减； aa,1一 一 一1当x u(一 , +8)时，f (x) >0 , f(x)在区间(一，)上单调递增. aa11所以f (一)=in a+ 1-是f (x)在(0,也)上的最小值.1由已知，若0 <x0 <1,则有0 <一 <1,即a >1. a当lna>0L 11，且 0一 <1 , 1 一一 AO.,1所以f( ) 0. a当0 < x0 < 1时，曲线y = f (x)上所有的点均位于 x轴的上方.故当0<Xo<1时，曲线y=f(x)上不存在点P位于x轴的下方 13分X3、解：(I)因为 a=0,

11、xR所以 f(x)=(x_2)e ,故 f (x) =(x -1)ex,令f (x) >0,得x >1 ,所以单调递增区间为(1,收)；令f (x) <0,得x <1 ,所以单调递区间为(g,1).(n)由题可得 f (x) =(x -1)(ex - ax). 当a00时，对任意xw(0,+ °o),都有ex_ax0恒成立，所以当 0 cx <1 时，f'(x) <0；当 x >1 时，f'(x)>0.所以函数f(x)在x =1处取得极小值，符合题意.当 0 <a& e时，设 g(x) = ex -ax ,

12、依然取 x w (0,+°o).则 g (x) = ex -a ,令 g(x) = 0 ,得 x = Ina ,所以g(x)在(0,ln a)上单调递减，在区间(In a,收)上单调递增，所以 g(x)min =g(ln a) =a(1-Jn a).1)因为0<aWe,所以g(x)min =a(1lna)>0 (当且仅当a=e时，等号成立，此时 x =所以对任意xW(0,1)U(1,y),都有exax0恒成立.所以当 0 cx <1 时，f'(x) <0；当 x >1 时，f'(x)>0.所以函数f(x)在x =1处取得极小值，符合

13、题意.综上可知：当a w e时x =1是函数f(x)的极小值点.4、解：(I) f(x) =xln(x+1) ax2的定义域为x|x>12因为 f (0) =0ln(0 1) -a 0 =0所以切点的坐标为(0,0)因为 f (x) =ln(x 1)+- -2ax x 1f (0) =ln(0 1)+- -2a 0=0 0 1所以切线的斜率k =0 ,所以切线的方程为 y -0(n)方法一：人.x令 g(x) = f (x) = ln(x 1) 2axx 1g(x)，+J x 1 (x 1)-2a因为x a1且a <0 ,11_所以>0 , , 2 A0 , -2a >

14、0x 1 (x 1)从而得到g(x)>0在(-1，收)上恒成立所以f (x) >0在(1,收)上单调递增且f'(0)=0,所以x, f'(x), f(x)在区间(1,收)的变化情况如下表：x(-1,0)0(0尸)f'(x)0+f(x)极小值E所以x = 0时，f (x)取得极小值，问题得证 方法二：x因为 f (x) =ln(x 1)-2ax x 1当a <0时，x当 x”时，ln(x+1)<0, <0, 2ax<0 ,所以 f (x)<0 x 1x当 x>0 时，ln(x+1>0, >0, _2ax>0

15、 ,所以 f (x) >0x 1所以x, f'(x), f(x)在区间(1,y)的变化情况如下表：x(-1,0)0(0,8)f'(x)0+f(x)极小值C所以x=0时，函数f(x)取得极小值，问题得证 (出)当2£0或2=1时，函数f(x)有一个零点当a>0且a=1时，函数f(x)有两个零点5、解：(I)当 a =2时，因为 f(x)=lnx2x,所以所以(11-2x ,f '(勾2= x f (1)= -1， f(1)= -2，f (x)在点(1,f (1)处的切线方程是 x+y+1=0(n)函数f(x)的定义域是xx0,11 - ax因为 f

16、'(x) = a =,x x(i)当a£0时，f '(x)>0恒成立，所以f(x)在(0, + °0)单调递增，又因为f(1) = a之0, 不合题意，舍.1一 .、11(ii)当aA0时，当0<x<一时，f'(x)A0,函数f (为在(0,一)上单倜递增；当x > _ aaa1时，f'(x)<0,函数f (x在(一，)单倜递减. a所以函数f (%在x =一时，取得最大值 f () = ln 1 .aa a11因为对于任意xW(0,+望)，都有f (x) <0,所以只需令f ()<0 ,即ln1 &

17、lt;0 ,aarr1即 a .e所以当 a的取值范围是(。，)13 分e6、解：(I)由题意得：f/(x) =aex(x +1)= f/(0)=ana=1(n) (i)x2 g(x)=f(x)-b.2x) = xex -b( x)= g/(x) = (x 1)(ex -b)2当 xW0,也)时，若 b <1,ex-b>0 g/(x) >0 , g(x)递增，则 g(x) >g (0) >0当 x w0, ")时，若 b >1,g/(x) =0= = T(舍)，x2 = ln b >0 , g(x)在(0,ln b)递减，则g(lnb)<

18、; g(0井g x号 抽亘成立，所以，b的最大值为1. 2(ii ) g(x) = xex b( + x) =xex -b(1 +1),显然 g(x)有一个零点 0；设 t(x) =ex当b=0时,当b<0时,x/ x b-b(- 1)= t (x) =e -22t(x)无零点；所以g(x)只有一个零点0有t/(x) >0 ,所以t(x)在R上单增，22N又t(0) =1b A0,t(2) =eb 1<0,由零点存在定理可知， b所以t(x)在(-00,0)上有唯一一个零点 x0,所以g(x)有二个零点 综上所述，b=0时，g(x)只有一个零点0, b<0时，g(x)有

19、二个零点.7、解：(I) Q f(x) =ex-ax+1 f '(x) =ex - a , 二 f'(1) =e-a , 由题设知f '(1)=0 ,即e a = 0,解得a = e. 经验证a = e满足题意。(n) 方法一：令 f '(x)= 0,即 ex = a ,则 x = In a(1)当 lna<1 时，即 0<a<e对于任意 xw(-°o,lna )有 f'(x)<0, 故f (x谯(-,ln a)单调递减； 对于任意 x w (ln a,1 )有 f x )>0 , 故f (x . (In a,1)

20、单调递增,因此当x = lna时，f(x)有最小值为aaln a+1 = a(1ln a )+1 a 0成立.(2)当lna至1时，即a至e对于任意 xw(-«,1Ktf'(x)<0,故f (x近(-°0,1浮调递减，因为 f(x)A0,所以 f(1)之 0,即 aMe+1, 综上，a的最大值为e+1.方法二：由题设知，当x<1时,(1)当 0<x <1 时，af x = ex - ax 1 0, ex 1<.xxx xxe -ex-1 x-1 ex-1<0,故g(x)在(0,1评调递减，因此，g(x )的最小彳1大于g(1 )

21、= e+1,所以a £e+1 .(2)当 x = 0时，f (x )=2>0成立.ex 1ex 1(3)当 x <0时，a >,因为<0 ,x22、-a< 4 J2 a444)Iff laJf'(x)0+f(x)单调递减单调递增9分列表可得11分所以f (x昨，o,当i上单调递减，在.二尸 1上单调递增 .aa所以当a=e+1 时,综上，8、 解：(I ) 因a的最大值为xe 1a>成立xe + 1.为点(1,1在曲线y=f(x)上, 1所以 a = 1 , f(x)=Vxlnx分2x在该点处曲线的切线方程为-11C-(x -1 )即 x

22、+ 2y-3 = 0(II)定义域为 0, 二a , x 1 a、, x -22x x 2x讨论：(1)当 a W0时，f'(x)<0此时f (x连(0, 口单调递减，所以不存在极小值4(2)当a >0时，令f (x )=0可得x=a所以f(旋小值2 -ln42，a4所以 2ln二 a=2 解得a = 2(舍负)13 分9、解：(I)由函数f(x)是偶函数,x2x即 me ( -x)3 = me得2-xf(-x) = f (x),+ 3对于任意实数x都成立,所以m = 0 .此日h h(x) = xf (x) = 由h'(x) =0 ,解得:3-x+ 3x,贝U h

23、'(x) = -3x2 +3._1 .x(_oO, -1)-1(-1,1)1(1, F)h(x)0+0h(x)极小值极大值x当x变化时，h'(x)与h(x)的变化情况如下表所示:所以h(x)在(/7), (1,8)上单调递减，在(1,1)上单调递增.所以h(x)有极小值h(1)=-2, h(x)有极大值h(1)=2.,、，一x 2.口x2 -3(n )由 f (x) =me -x +3 = 0 ,得 m =.e所以“ f (x)在区间，4上有两个零点”等价于“直线x W 乂，4有且只有两个公共点”.2对函数g(x)求导，得gx)=2-. x2 _3y = m与曲线g(x)=,e

24、8分 9分e由 g*(x)=。,解得x1=一1,x?= 3 .当x变化时，g (x)与g (x)的变化情况如下表所示:x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g'(x)0+0g(x)极小值极大值所以g(x)在(-2,-1), (3,4)上单调递减，在(1,3)上单调递增10分11分2. .613又因为 g(-2)=e2, g(") = -2e, g(3) =-<g(-2), g(4) =->g(-1), ee2136x2 -3所以当-2e<m<-3或m=一时，直线y=m与曲线g(x)=二，x = 2,4有且只有两 e ee个公共点.136即当2e&

25、lt;m 或m=F时，函数f (x)在区间一2,4上有两个零点. 13分ee1八10、解：(I) Q f(x) =ln(x + a) , f (x) = 1分x a1人二 f(1) =2 分1 aQ f (x)在点(1,f(1)处的切线与直线x 2y = 0平行二=一解得 a=14分1 a 2(n)由(i)可知 g(x) ln(x+1)5 分x函数g(x)的定义域是(1,0)2。E)， 6分弋-ln(x 1)所以 g'(x) = x2， 7分xx令 h(x) =-ln(x +1), 8 分x 111 x.又 h '(x) =2 = 2 , 9分(x 1) x 1 (x 1)J.

26、VxW (T,0)有 h(x) >0恒成立故h(x)在(1,0)上为增函数，由 h(x) < h(0) = Tn1 = 0 , 所以函数g(x)是(-1,0)上单调递减. 11分,-,Vx = (0,+=c)有 h(x) <0恒成立故h(x)在(0, F)上为减函数，由 h(x) < h(0) = Tn1 = 0 , 所以函数g(x)是(0,收)上单调递减. 13分综上，g(x)在(-1,0)和(0,也)单调递减.、一 一 . . . 一 - '， 、 . 11、( I)当 m =0 时，f (x) = -xln x , f (x) = In x 1所以 f (1)=0 , f (1) = 1所以曲线y = f(x)在x=1处的切线方程是： y = -x + 1 4分“函数f(x)的图象在x轴的上方”，等价于“ x>0时，f(x)0恒成立”,212 一由 f(x)=(mx -x )n x +mx 得'f (x) = 2mx -1 In x 2mx -1 = 2mx -1 In x 11 一当m£0时，因为f(1 )=-m <0,不合题意1111当0cmM1时，令f (x)=0得x1= ,x2