概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科

1、 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象的法则，应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究. 极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限

2、定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 设设 X1,X2, 是相互独立的随机是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2,

3、 ，切比雪夫切比雪夫则对任意的则对任意的0， 证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式工具是切比雪夫不等式. 设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0,2 221| )(| XEXP 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则，如果方差有共同的上界，则niiXn11与其数学期望与其数学期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于

4、近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述请看演示请看演示切比雪夫不等式和大数定律切比雪夫不等式和大数定律 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理有下面的定理.1|1|lim1 niinXnP定理定理2（独立同分布下的大数定律独立同分布下的大数定律） 设设X1,X2, 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,则对任给则对任给 0,2 下面给出的贝努里大数定律，下面给出的贝努里大数定律，

5、是定理是定理2的一种特例的一种特例.贝努里贝努里 设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，否则，发生次试验如第，01AiXi引入引入i=1,2,n则则 niinXS1niinXnnS11是事件是事件A发生的频率发生的频率 于是有下面的定理：于是有下面的定理： 设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，定理定理3（贝努里大数定律贝努里大数定律）1|lim pnSPnn或或0|lim pnSPnn贝努里贝努里 贝努里大数定

6、律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Sn/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法.0|lim pnSPnn任给任给0，贝努里大数定律贝努里大数定律请看演示请看演示蒲丰投针问题中解法的蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律理论依据就是大数定律 当投针次数当投针次数n很大时，用针与线相交的很大时，用针与线相交的频率频率m/n近似针与线相交的近似针与线相交的概率概率p，从而求得，从而求得的的近似值

7、近似值.针长针长L线距线距aamLn2 下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnP辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦辛钦请看演示请看演示 辛钦大数定律为寻找随机变量的期辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径望值提供了一条实际可行的途径. 例如要估计某地区的平均亩产量，要例如要估计某地

8、区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如收割某些有代表性的地块，例如n 块块. 计计算其平均亩产量，则当算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计作为整个地区平均亩产量的一个估计. 下面我们再举一例说明大数定律的下面我们再举一例说明大数定律的应用应用.定积分的概率计算法定积分的概率计算法求求的值的值10)(dxxgI 我们介绍我们介绍均值法，均值法，步骤是步骤是1) 产生在产生在(0,1)上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数rn,2) 计算计算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即即IrgNINnn1)(13) 用平均值近似积分值用平均值近似积分值求求的值的值10)(dxxgI因此，当因此，当N充分大时，充分大时， 原理是什么呢？原理是什么呢？设设XU(0, 1)由大数定律由大数定律1|)()(1|lim101dxxgrgNPNnnNIrgNINnn1)(1其它, 010, 1)(xxfX101)()(1dxxgrgNNnn, 0 10)(dxxgdxxfxgXgE)()()(应如何近似计算？请思考应如何近似计算？请思考.请看演示请看演示定积分的概率计算法定积分的概率计算法 问：若求问：若求的值的值badxxgI)(这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随大