D9_3全微分20160304

1、目录 上页 下页 返回 结束 分分微微的的数数函函元元一一顾顾回回00()()yf xxf x 如如果果可可表表示示为为00(),()()yA xoxAxyf xxA xyf xxdyAdx 是是不不依依赖赖于于的的常常数数，则则称称在在点点可可微微，而而叫叫做做在在点点的的微微分分，记记作作).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数.)(dxxfdy 目录 上页 下页 返回 结束 0 x)(xfy MNTdyy()ox）xyo x( (如图如图) ),.ydy 当当是是曲曲线线的的纵纵坐坐标标增增量量时时就就是

2、是切切线线纵纵坐坐标标对对应应的的增增量量0 xx P 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 *二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分目录 上页 下页 返回 结束 引例引例: 一块长方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片长宽为 x , y 面积为 A , 则,Axy0 xx面积的增量为0000()()Axxyyx y 00yxxyx y 0yx00Ax yxx 0 x y 关于x,y 的线性函数高阶无穷

3、小0时为故00Ayxxy 称为函数在 的微分0 x0 x变到,0 xx长由其0y变到0,yy 宽由0y目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfz dd若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可

4、微.AxBy目录 上页 下页 返回 结束 )(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏导数连续),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx当函数可微时 :得zyx00lim0),(yxf函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点的偏导数yzxz,yyzxxzzd), (), (yfyfzxxz同样可证,Byzyyzx

5、xzzd证证:因函数在点(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到对 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA目录 上页 下页 返回 结束 反例反例: 函数),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏导数存在函数 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx22(,)(0,0)()()limxyxyxyxy 220lim()()xxxxx

6、1,2(0,0)(0,0)( )xyzfxfyo 说明当0时,(,)(0,0),yyxPx当点沿射线趋于时(,)(0,0)(0,0)(0,0)imlxyxyxyzfxfy ( , )(0,0).f x y处不在可微目录 上页 下页 返回 结束 ),(yyxxf定理定理2 (充分条件)yzxz,证证：),(),(yxfyyxxfz)1,0(21xyxfx),( yyyxfy),(2xyyxxfx),(1),(yyxf),( yxf),(yyxfyyxfy),(若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.0lim00yx,0lim00yx目录 上页 下页 返回 结束 zy

7、yxfxyxfyx),(),(yyxfxyxfzyx),(),(yx所以函数),(yxfz ),(yxyx在点可微. 0lim00yx,0lim00yx注意到, 故有)(o目录 上页 下页 返回 结束 xxu推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数),(zyxfu ud习惯上把自变量的增量用微分表示,ud记作uxd故有下述叠加原理uuuuzyxdddd称为偏微分偏微分.yyudzzudxxuduyduzd的全微分为yyuzzu于是uuuzyxd,d,d目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxze解解:xz22e ,2e(

8、2,1)(2,1)zzxyyxzde2ded22) 1 , 2(例例2. 计算函数的全微分. zyyxue2sin解解: udxd1yyd)cos(221 zyzydeyz,eyxyyxxe)d2d(e2yxzyze目录 上页 下页 返回 结束 4.(1)ln(1),xyzxexy (1,0)|dz xz(1,0)d2ed(e2)dzxy ln(1),xyxyexey 解解:2e,(1,0)zx zy 1,1xyxxey e2,(1,0)zy 目录 上页 下页 返回 结束 在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin

9、22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数xy所以例例3. 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx

10、极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx,)()(22yx4) 下面证明)0 , 0(),(在点yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0 , 0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在点yxf说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分

11、在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(较小时,yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及有近似等式:),(yxf(可用于误差分析或近似计算) (可用于近似计算) 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 半径由 20cm 增大解解: 已知,2hrV V,100,20hr) 1(2005. 01002022V即受压后圆柱体体积减少了 .2003cm例例4. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm , 则 rhr 2hr 21,05. 0h

12、r)(2003cm高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 求此圆柱体hr目录 上页 下页 返回 结束 例例5. .计算的近似值. 02. 204. 1解解: 设yxyxf),(,则),(yxfx取, 2, 1yx则)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分定义:),(为例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()

13、(yx2. 重要关系:)( o函数可导导函数可微微偏导数连续连续函数连续目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P77 1 ; 2; 4 预习预习 第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 近似计算 估计误差zyyxfxyxfyx),(),(),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(绝对误差相对误差),(yxfyyxxzyxfyxf),(),(yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(目录 上页 下页 返回 结束 _, 4._,2 . 0, 1 . 0, 1, 2. 3_),ln(. 2_ _ _ . 12

14、22 的偏增量的偏增量对对则则若函数若函数全微分全微分函数的全增量函数的全增量时，时，当当若函数若函数则则若若，则则，设设xzyxxyzdzzyxyxxyzduzyxudzyzxzezxyxyexy2 xyex1dyexdxexyxyxy12 dzzyxzdyzyxydxzyxx222222222222 425 18 yxyx 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. P75 题5 ；P129 题 1 函数),(yxfz 在),(00yx可微的充分条件是( );),(),()(00连续在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在 ;yyxfx

15、yxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量 .2. 选择题D目录 上页 下页 返回 结束 答案答案:z03. 0,101. 0,2yyxx02. 0zd03. 0,101. 0,2yyxx03. 0也可写作:当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P129 题 7目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0

16、 , 0(4. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 目录 上页 下页 返回 结束 .d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz5. 已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计误差估计利用yyxfxyxf

17、zyx),(),(zyx,令z 的绝对误差界约为yyxxzyxfyxf),(),(z 的相对误差界约为yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(则目录 上页 下页 返回 结束 yyxxzyxfyxfyxfyxfz),(),(),(),(特别注意特别注意时，yxz ) 1 (yxzyxz,)2(时xyz yxyx类似可以推广到三元及三元以上的情形.xzz )(2xyyxy x1yx 乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 利用公式CbaSsin211 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：解：aSaSaCbsin211800,01. 0,30,3 . 8, 5 .12CbaCba13. 0S故绝对误差约为又CbaSsin21所以 S 的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.2594.2513. 0%5 . 0计算三角形面积.现测得bbSCCS目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6.