机械振动和电磁振荡

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出（弹簧振子）什么是振动？什么是振动？振动振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化力学量（如位移、速度）力学量（如位移、速度）电磁量（如电磁量（如I 、V、 E、 B）如何研究振动？如何研究振动？推广上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1 1掌握描述谐振动和简谐波动的各掌握描述谐振动和简谐波动的各物理量物理量（特别是（特别是位相和位相差）的物理意义及各量的相互

2、关系。位相和位相差）的物理意义及各量的相互关系。2 2掌握掌握旋转矢量法旋转矢量法，并能用以分析有关问题。，并能用以分析有关问题。3 3掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件掌握谐振动的基本特征。能根据给定的初始条件建立一维谐振动的建立一维谐振动的运动方程运动方程，并理解其物理意义。理，并理解其物理意义。理解谐振动的能量及其特点。解谐振动的能量及其特点。4 4理解两个同方向、同频率理解两个同方向、同频率谐振动的合成谐振动的合成规律，以规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。及合振动振幅极大和极小的条件。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 简谐振动：简

3、谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位物体运动时，离开平衡位置的位移移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。一个不发生形变的物体系统。弹簧振子：弹簧振子：理想模型理想模型忽略物体运动时的一切阻力；忽略物体运动时的一切阻力；忽略弹簧的质量；忽略弹簧的质量；忽略物体的弹性忽略物体的弹性.xO上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出FFxOx

4、O受力情况：受力情况：oxxmmgNF“”表示力与位移的方向相反表示力与位移的方向相反.kxF 物体在任意位置物体在任意位置x 所受的力为所受的力为上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出动力学方程动力学方程022 xmkdtxd所以所以kxdtxdmmaF 222 mk令令由牛顿第二定律知由牛顿第二定律知0222 xdtxd 则则受力分析：受力分析：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出0costAx解此二阶常系数线性微分方程可得解此二阶常系数线性微分方程可得运动方程运动方程动力学方程动力学方程0222 xdtxd 振

5、幅振幅角频率角频率初相位初相位为积分常数为积分常数,Ax可代表任意物理量可代表任意物理量或或0i()etxA上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出0costAx 此式表示出了作简谐振动物体的位移随此式表示出了作简谐振动物体的位移随时间变化的关系时间变化的关系. x-t 曲线称之为振动曲线曲线称之为振动曲线. 简谐振动的运动学方程为简谐振动的运动学方程为oAA tx02上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页

6、 返回返回 退出退出 tAdtdxvsin对振动速度求导得振动的加速度为对振动速度求导得振动的加速度为 tAdtxdacos222 从以上两式可知，作简谐振动物体的速从以上两式可知，作简谐振动物体的速度和加速度是时间的周期函数，而且加速度度和加速度是时间的周期函数，而且加速度和位移成正比但方向相反和位移成正比但方向相反.x2 对运动学方程求导得振动速度为对运动学方程求导得振动速度为 tAxcosoxxm上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系: :42tAdtdxvsi

7、ntAdtxdacos222 tAxcos初始相位为零时初始相位为零时xttat上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 1.1.振幅振幅: : 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 2 2 周期和频率周期和频率 周期：周期：物体作一次完全振动所经历的时间。物体作一次完全振动所经历的时间。频率：频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。单位时间内物体所作完全振动的次数。00cos()cos ()xAtATt2T12T(简谐振动的三要素简谐振动的三要素)0cos()xAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页

8、 返回返回 退出退出角频率角频率: : 物体在物体在 秒内所作的完全振动的次数。秒内所作的完全振动的次数。2利用上述关系式，得谐振动表达式：利用上述关系式，得谐振动表达式：22T对于弹簧振子，因有对于弹簧振子，因有mk，得，得2,2mkTkm02cosxAtT0cos(2)xAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出3.3.相位和初相相位和初相相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。决定简谐运动状态的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 时的相位。时的相位。0怎样用初始条件求振幅和初相位？怎样用初始条件求振幅和初相位？ 假设作简谐振动的物体在初始时刻的速

9、假设作简谐振动的物体在初始时刻的速度和位移分别为度和位移分别为 和和0v0 x sincos00AvAx有有则则0 t解之可得解之可得 tAdtdxvsin tAxcos上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出22020 vxA 00 xvtg 存在两个值，可根据存在两个值，可根据0在在到到之间，之间，通常通常00sinvA进行取舍。进行取舍。 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为设有两个同频率的谐振动，表达式分别为)cos(1011tAx)cos(20

10、22tAx相位究竟是什么东西？相位究竟是什么东西？上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出A/2xto二者的二者的相位差相位差为为20102010()()tt2010t 2010t 20cosA10cosA上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出xto b. b.当当 时时, ,称两个振动为称两个振动为反相反相；(21)kxto a. a.当当 时时, ,称两个振动为称两个振动为同相同相；2 k讨论：讨论：上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 d. d.当当 时时, ,称第二个振称第

11、二个振动动落后落后第一个振第一个振动动 。0 xtoxto c. c.当当 时时, ,称第二个振动称第二个振动超前超前第一个振动第一个振动 ；0上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 相位可以用来比较不同物理量变化的步调。相位可以用来比较不同物理量变化的步调。对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在: 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。 2)cos(0tAxm0m0sin()cos( 2)vvtvt m0m0cos()cos()aatat

12、 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 tAxcos简谐振动的表达式简谐振动的表达式振幅振幅A：给出了简谐振动的振动范围给出了简谐振动的振动范围角频率角频率 ：决定于振动系统的固有属性；决定于振动系统的固有属性；初相位初相位 ：决定于初始时刻的状态。决定于初始时刻的状态。弹簧振子mk sincos00AvAx时刻0t22020 vxA 00 xvtg 解解析析法法上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题分析例题分析 1.一个质量为一个质量为m 的物体系于一倔强系数为的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧的轻弹簧下，挂

13、在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长了了l =9.8 10-2m. 如图所示，如果给物体一个向下的瞬如图所示，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有向下的速度时冲击力，使它具有向下的速度v =1m s-1，它就上下它就上下振动起来，试写出振动方程振动起来，试写出振动方程. .解解: : 物体处于平衡时的位置为坐标原点物体处于平衡时的位置为坐标原点o，向下为向下为y 轴的正向，如图所示当物体偏离轴的正向，如图所示当物体偏离平衡位置时它所受的合力为平衡位置时它所受的合力为- -ky ，因此动因此动力学方程为力学方程为oyykmkydtydmmaF

14、 22mgklmgF平衡时受力分析平衡时受力分析上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出kydtydm 22则上式变为则上式变为mk 2 令令0222 ydtyd 物体在作简谐振动，只要求出三要素，物体在作简谐振动，只要求出三要素，即可写出振动方程即可写出振动方程.oyykmmk lg 1s10098. 08 . 9 mgklF上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 以物体处于平衡位置且向下运动时为计以物体处于平衡位置且向下运动时为计时起点，则时起点，则y0=0 ，v0= 1m s-1， 于是有于是有 1sin0cos0

15、0 AvAy23,2 23 结合此式结合此式该物体的振动方程为该物体的振动方程为m2310cos1 . 0 ty22020 vyA m1 . 01012 00 xvtg 23,2 230式知从22020 vyA m1 . 01012 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出求解振动三要素中的初相位：求解振动三要素中的初相位：（一）解析法（一）解析法（二）图像法（二）图像法由振动曲线决定初相由振动曲线决定初相Ax00arccos为四象限角为四象限角 0sin0000000sincosAvAxt0 xx0t0A0v上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页

16、下页下页 返回返回 退出退出 28、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图、一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示当振子处在位移为零、速度为所示当振子处在位移为零、速度为-A、加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应加速度为零和弹性力为零的状态时，应对应于曲线上的于曲线上的_点当振子处在位移的点当振子处在位移的绝对值为绝对值为A、速度为零、加速度为、速度为零、加速度为-2A和弹和弹性力为性力为-kA的状态时，应对应于曲线上的的状态时，应对应于曲线上的 x t O A -A a b c d e f _点点a,eb,foxxm上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 30

17、 30、一简谐振动用余弦函数表示，其振动、一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为为 A =_； =_； =_ x (cm)t (s)105-101471013O10 cm( /6) rad/s /3上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出6 6 、 已 知 一 质 点 沿 轴 作 简 谐 振 动 其 振 动 方 程、 已 知 一 质 点 沿 轴 作 简 谐 振 动 其 振 动 方 程为为 与之对应的振动曲线是与之对应的振动曲线是)4/3cos(tAy(D)AAoyt oyt(C)AAAo

18、yt Aoyt (A)(B)上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出求解振动三要素中的初相位：求解振动三要素中的初相位：（一）解析法（一）解析法（二）图像法（二）图像法（三）旋转矢量法（三）旋转矢量法上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 旋转矢量旋转矢量: :一长度等于振幅一长度等于振幅A的矢量的矢量 在纸平面在纸平面A 可直观地领会简谐振可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的动表达式中各个物理量的意义。意义。 内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量

19、称为旋转矢量。角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出A xox t 0 x在任意刻在任意刻t，矢量，矢量 端点在端点在x轴上的投影为轴上的投影为 A tAxcos沿沿ox 轴作简谐振动的物体在轴作简谐振动的物体在t 时刻相对于原点的位移时刻相对于原点的位移.所以所以简谐振动可以用简谐振动可以用旋转矢量表示旋转矢量表示. .旋转矢量旋转矢量 的模的模A简谐振动的振幅简谐振动的振幅旋转矢量旋转矢量 转动角速度转动角速度A简谐振动角频率简谐振动角频率上页

20、上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出旋转矢量法优点：旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量直观地表达谐振动的各特征量便于解题便于解题, 特别是确定初相位特别是确定初相位便于振动合成便于振动合成由由x、v 的符号确定的符号确定 所在所在的象限：的象限：A上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出)cm(x24o解：解：作作t = 0时刻的旋转矢量时刻的旋转矢量0A求：求：质点运动到质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。处所需最短时间。已知：已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时时, 00vcm,

21、120 x作作x = -12cm处的旋转矢量处的旋转矢量A12-120AAs5 . 061minTt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出利用旋转矢量法作利用旋转矢量法作 x-t 图图:xx(cm)t(s)t=0OOTA12Tt6Tt2Tt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出AXM 点点: :MAvmAam20taxa 沿沿X 轴的投轴的投影为简谐运动的速度、影为简谐运动的速度、加速度表达式加速度表达式。a,xv)2cos(tvm)cos(taama上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回

22、退出退出两个同频率的简谐运动：两个同频率的简谐运动：相位之差为相位之差为采用旋转矢量直观表示为采用旋转矢量直观表示为)cos(111tAx)cos(222tAx.)()(1212ttxO1A1Df22A上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题10-110-1 一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12 m, ,周期周期T=2 s。当。当t=0时时, ,物体的位移物体的位移x=0.06 m, ,且向且向x轴正轴正向运动。求向运动。求:(1):(1)简谐振动表达式简谐振动表达式;(2);(2)t =T/4时物体的时物体的位置、速度

23、和加速度位置、速度和加速度;(3);(3)物体从物体从x =- -0.06 m向向x轴负方轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解解: : (1)(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动方程写为谐振动方程写为初始条件初始条件：t = 0 s, , x0=0.06 m,可得可得)cos(0tAx其中其中A=0.12 m, ,T=2 s, , 12 sT00.12cos0.0603 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出0 12cos(t 3) mx.-=据初始条件据初始条件 xO0f若用旋转矢量法求解

24、若用旋转矢量法求解0，根据初始条件可画出振幅的初始位置，如下图所示。振幅的初始位置，如下图所示。A00sin0vA 得0 3 从而可得从而可得0 3 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出(2) (2) 由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得在在t=T/4=0.5 s时，从前面所列的表达式可得时，从前面所列的表达式可得1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt 110.12 sin( 0.5)m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x 2220.12 cos

25、( 0.5)m s1.03m s3a(2)t =T/4时物体的位置、速度和加速度时物体的位置、速度和加速度 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出( (3) 3) 当当x=- -0.06 m时，该时刻设为时，该时刻设为t1 1, ,得得因该时刻速度为负，应舍去因该时刻速度为负，应舍去 ，43s11t设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 1233t (3)物体从物体从x =-0.06 m向向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所轴负方向运动，第一次回到平衡

26、位置所需时间需时间上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出因此从因此从x=- -0.06 m处第一次回到平衡位置的时间：处第一次回到平衡位置的时间：另解：从另解：从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为210.83sttt 3252360.83st 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例例. .已知已知 x xt t 曲线曲线, ,写出振动方程写出振动方程cmA2 解解 ? t 34134 1cmtx)3234cos(2 32 2A 0 t t 32 x34 34 s1上页上页 下页下页 返回

27、返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出作业：作业：P46101，102， 103上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出1. 1. 单摆单摆一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个一根不会伸长的细线，上端固定，下端悬挂一个很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。很小重物，重物略加移动就可以在竖直平面内来回摆动。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出单摆受力分析如右图所示，单摆受力分析如右图所示，sinmgFCol根据牛顿第二运动定律可得根据牛顿第二运动定律可得5oq很小时（小于很小时（小于），可

28、取），可取22dsindmgmlt222ddgtl 其中其中2gl上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作单摆在摆角很小时，在平衡位置附近作角谐振动角谐振动，周期，周期的表达式可写为的表达式可写为q转角转角22gTlm0cos(t)=+qqf由初始条件求得。由初始条件求得。角振幅角振幅和初相和初相0m上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到根据上述周期的级数公式，可以将周期计算到所要求的任何精度。所要求的任何精度。当当q不是很小，物体不再作谐振动，

29、而不是很小，物体不再作谐振动，而T单摆周期单摆周期的关系为的关系为m与角振幅与角振幅0T很小时单摆的周期。很小时单摆的周期。m为为224mm022211 31sinsin222 42TT上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出o2. 2. 复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆( (物理摆物理摆) )。 刚体的质心为刚体的质心为C, , 对过对过O 点的转点的转轴的转动惯量为轴的转动惯量为J, , O、C 两点间距两点间距离的距离为离的距离为h。据转动定律，得据转动定律，得gmhC角度较小时角度较小时若若sindd22mgh

30、tJmghtJ22dd令令Jmgh20dd222t22JTmgh上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题10-210-2 一质量为一质量为m的平底船，其平均水平截面积为的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。向的振动周期。解：解： 船静止时浮力与重力平衡，船静止时浮力与重力平衡，mghSg OyPPy 船在任一位置时，以水面为坐标原点船在任一位置时，以水面为坐标原点, ,竖竖直向下的坐标轴为直向下的坐标轴为y轴，船的位移用轴，船的位移用y表示。表示。上页上页

31、 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出船的位移为船的位移为y时船所受合力为时船所受合力为船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为因因得得,mSh()FhySgmgy Sg Sgm22mTgS2hTg上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出动能动能势能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的系统总的机械能：机械能：2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE222220011sin (

32、)cos ()22KPEEEmAtkAt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出简谐振动的机械能守恒。简谐振动的机械能守恒。能量能量平均值平均值上述结果对任一谐振系统均成立。上述结果对任一谐振系统均成立。考虑到考虑到，系统总能量为，系统总能量为2km212EkA，表明，表明222200111sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:pEk

33、EEOtOtx221kAE tAxcos上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出步骤：步骤：一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动一阶微分方程，再根据初始条件，即可求出振动从给定系统的能量关系式出发，得到振动的从给定系统的能量关系式出发，得到振动的方程。方程。上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出例题例题10-3 在横截面为在横截面为S的的U形管中有适量液体，形管中有适量液体，液体总长度为液体总长度为l，质量为，质量为，密度为，密度为，求液面上下，求液面上下m起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩擦）起伏的振动频率（忽

34、略液体与管壁间的摩擦）。解：解：选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置选如图所示坐标系，两液面相齐时的平衡位置为势能零点为势能零点。系统的势能为系统的势能为2pEy Sg液体的动能为液体的动能为2k1d2dyEmt由能量守恒得由能量守恒得221d2d常量yEmy Sgt上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出对时间求导，并整理可得对时间求导，并整理可得22d20dySgytm液体作简谐振动，其角频率及周期分别为液体作简谐振动，其角频率及周期分别为2 Sgm222mTSg又因为又因为mlS22lTg上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 解：解：设棒长为设棒长为2 2R, , 质量为质量为m，在，在lABOO且不