(完整版)求数列的通项公式方法总结,推荐文档

1、数列常见题型总结题型四：求数列的通项公式一 .公式法： 当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。二. 当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n和aan- 1 的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法： 一般地， 对于型如 an 1anf ( n) 类的通项公式， 且 f (1)f (2)f (n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an 。即： an(an an 1 ) (an 1an 2 )L(a2a1 ) a1 (n 2) ；【例 1】已知数列an11n1n1，求数列n满足 a, aan

2、2na的通项公式。2解：（ 1）由题知： an1an1111n2nn(n1)nn1an (anan1)( an1 an2) +(a 2 - a1)a1(1111)(11131)(2n11)2n 1nn22n2、叠乘法： 一般地对于形如“已知a1，且 an1 =f （ n）（f （ n）为可求积的数列） ”的形式an可通过叠乘法求数列的通项公式。即：ananan1La2 a1 (n2) ；an1an2a1【例 2】在数列 an中， a1=1,(n+1) · an 1 =n· a ，求 an的表达式。ann解：由 (n+1)· an 1=n· an1n，得a

3、nn 1an=a2 a3 a4an1 2 3 n 1 1所以 an1a1··an 1=nnna1 a2 a32 3 43、构造法： 当数列前一项和后一项即an 和 an- 1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列， 使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法：、一般地对于an =k an- 1 +m(k、 m 为常数）型，可化为的形式an +=k( an- 1 + ). 重新- 1 -数列常见题型总结构造出一个以k 为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求，然后再求an 。【例 3】设

4、b>0, 数列an满足1 =b，annban 1(n 2)aan 12n 2.求数列 an的通项公式；anban 1，得nan12(n1)12n1解：2(n 1)anban 1an，n an 1bb1设 nbn ，则 bn2 bn 11 (n2) ，anbb（）当 b2 时， bn是以1 为首项，1 为公差的等差数列，22即 bn1( n 1) 1 1 n ， an2222（）当 b2 时，设 b2(b) ，则 b2b( 2nbn 1nbn 1b令 ( 21)1 ，得1，bn12 (bn 121 ) (nbb2b2bbb知 bn1是等比数列，bn1(b11) (2)n1 ，又 b12b2

5、b2 bbbn1( 2) n112nbn，annb n (2 b)2 b b2 b 2 bbn2nbn1) ，2) ，1，b、对于 an 1pan f (n)(其中 p为常数 ) 这种形式 ,一般我们讨论两种情况：i 、当 f(n) 为一次多项式时，即数列的递推关系为an 1Aa n BnC 型，可化为an 11 n2A an1 (n1)2 的形式来求通项。【例 4】设数列an 中， a11,an13an2n1 ，求 an的通项公式。解：设 an 1A( n 1)B3(anAnB)an13an2 An2B A与原式比较系数得：2 A2A1n1(n1)nn 1)2BA1B即 a1 3(a1令 b

6、nann1,则 bn+1=3bn且 b1=a1+1+1=3bn 是 b1 =3为首项，公比 q=3的等比数列bn3 3n 13n即 : an3nn1- 2 -数列常见题型总结ii 、当 f(n)为指数幂时，即数列递推关系为an 1 Aa nBC n （ A、 B、 C 为常数，）型，可化为 an 1C n 1 = A(anC n ）的形式 . 构造出一个新的等比数列， 然后再求 an当 A=C时，我们往往也会采取另一种方法， 即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列， 来求 an 。【例 5】设 a0 为常数，且an3n 12an 1 （ nN * ），证明：对任意 n 1， an1 3n(1

7、)2n ( 1) n 2na051解：证明：设 ant3n2(an1t3n 1 )用 an3n 12an 1 代入可得 t5an3n2，首项为 a135是公比为的等比数列，5an3n(1 2a03) ( 2) n 1 （ nN*），55即： an3n(1) n 12n(1)n2na05（ 2）、倒数法：一般地形如anan 1、 anan 1an1 an 等形式的递推数列可以用kan 1b倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。【例 6】 .已知数列n1nan1，求an的通项公式。a 满足： a1,a3a11n解：原式两边取倒数得：13an 11 31设bn = 1anan1an1则 bn-

8、b n-1=3, 且b1=n是11为首项，公差的等差数列,1bb =d=2an13bn 1 (n 1) 3 3n 2 即 an3n2pq（3）、对数法：当数列 an 和 an- 1 的递推关系涉及到高次时，形如：an= man- 1 （其中m、 p 、 q 为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。- 3 -数列常见题型总结【例 7】若数列 an 中， a1 =3 且an 1an2 （ n 是正整数），则它的通项公式是an =解由题意知 an 0，将 an 1an2 两边取对数得 lg an 12 lg an ，即 lg an12 ，所lg an以数

9、列 lg an 是以 lg a1 = lg3为首项，公比为2 的等比数列， lg anlg a2n1lg 32n 1，1即 an32n 1.（4）、特征方程法、一般地对于形如已知a1m1 , a2 m2, n+2=A an+1 +B an(A、 B 是常数）的二a阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程： x2-Ax-B=0 为数列的特征方程nn（i ）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、 q 时，有：anc1pc212q ，其中 c与 c由已知 a1 m1 ,a2m2 , 确定。（ii ）当方程有唯一的实根p 时，有 an(c1nc2 ) pn ，其

10、中 c1与 c2由已知 a1m1 ,a2m2 ,确定。法二： 可构造成 an 2x an 1x2(an1x an) ，则 an 1x1an 为等比数列，进而求11通项公式，这种方法过程较为繁杂。【例 8】已知 a 1 =2， a 2 =3， a22an 1an，求通项公式。n解法一：特征方程的根为n12n1，所以 a= (cn+c )× 1c1c22得 c1= c2 = 1，所以 an = n + 1。由：32c1 c2解法二：设 an 2x a1x2(an 1x an) ，可得 x 1 = x 2 = 1，于是 an+1 an是公1 n1比为 1 的等比数列， an+1 an= 1

11、，所以 an = n + 1。、一般地形如：an 1a anb （ a、 b、 c、 d 为常数）c and可得到相应的特征方程：xaxb ，再将其变为 cx 2(d a) xb0 ，通过该方程的根cxd的情况来重新构造数列。（i ）如果方程 cx2(da)xb0 有两个相异的实根，则有数列anp 是以 a1p 为anqa1q首项， acp 为公比的等比数列；acq（ii ）如果方程 cx2(da) xb0 有两个相同的实根， 则数列1是以1为首anpa1 p- 4 -数列常见题型总结2c项，为公差的等差数列。【例 9】已知数列 an 满足 a12, anan 12 ( n2) ，求数列 an

12、 的通项 an 2an 11解 ：其 特征 方程 为 xx 2 ， 化简 得 2x220 ，解 得 x1 1, x21 ，令2x1an 11can1an 11an1由 a12, 得 a24 ，可得 c1 ，53数 列an1是 以 a11 1为首项，以1 为公比的等比数列，an1a1133an111n 13n(1)n，anan1333n(1)n三 、当题中给出的是Sn和 an 的关系时，我们一般通过作差法结合nnn1这个通用a= SS公式对原等式进行变形，消掉Sn 得到 an 和 an+1 的递推关系，或消掉an 得到 Sn和 Sn 1 的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。【例 10】已知数

13、列nn1n 1n(n N* ，a的前 n 项和为 S ，且满足：a a (a 0) ， arSr R, r1) 求数列 an 的通项公式；解：（ I）由已知 an 1rSn ,可得 an2 rSn 1 ，两式相减可得an 2an 1r (Sn 1Sn ) ra n 1 , 即 an 2(r 1)an 1,又 a2ra 1ra , 所以 r=0 时，数列 an 为： a， 0， 0，；当 r0, r1时，由已知 a 0, 所以 an0 （ nN* ），于是由 an 2(ran 2r 1(nN ) ，1)an 1 , 可得an 1a2 , a3 ,L, anL成等比数列，当 n2时 ， anr ( r 1)n 2 a.综上，数列 an 的通项公式为 anann1,r (r1)n2 a,n2- 5 -数列常见题型总结【例 11】已知各项均为正数的数列 an 的前 n 项和满足 Sn1 ，且6Sn (an 1)( an2), nN * 求 an 的通项公式；解：由a1 S11 (a