(完整版)必修四平面向量共线的坐标表示(附答案)

1、平面向量共线的坐标表示 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线 .3.掌握三点共线的判断方法知识点一平面向量共线的坐标表示1设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，其中 b0， a、 b 共线，当且仅当存在实数，使 a b.2如果用坐标表示可写为(x1， y1) (x2，y2)，当且仅当 x1 y2 x2y1 0 时，向量 a、 b(b 0)共线思考 1向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，若 x1y1 x2y2 0 或 x1x2 y1 y2 0 能判断 a b 吗？答 不能思考 2如果两个非零向量共线，你能通过其坐

2、标判断它们是同向还是反向吗？答 能将 b 写成 a 形式， >0 时 b 与 a 同向， <0 时， b 与 a 反向知识点二共线向量与线段分点坐标在平面直角坐标系中， 我们可以利用共线向量坐标之间的关系，求解坐标如图所示，设 P 点是直线 P11 .2P PP 上的一点，且PP2思考 1定比 与分点位置的一一对应关系如下表：< 1 1 1<<0 0P 点位置在 P P 的延长线上在 P2P 的延长线上与P重合1 211P 点名称不存在外分点外分点始点0<<1 1>1P 点位置在 P1 与中点之间P 为中点在中点与 P2 之间P 点名称内分点思考

3、 2设 P1( x1， y1)， P2(x2， y2)，试用 及 P1， P2 点的坐标表示P(x，y)点的坐标答案 OP OP1P OP PP1P12OP1(OP2OP )OP1 OP2 OP，1OP1 OP2OP11221(x ， y )(x， y )1 1 11x1，y1x2，y21 1 1 1x1 x2 y1 y2，.11 x1 x2 y1 y2P，.1 1 题型一平面向量共线的判定例 1 已知 a(1,2) ，b ( 3,2)，当 k 为何值时， ka b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 ka b k(1,2) ( 3,2) (k 3,2k2)，a 3b (1,2)

4、 3( 3,2)(10， 4)， ka b 与 a 3b 平行，1( k3)× ( 4) 10(2k 2) 0，解得 k 3.此时 ka b 1 3， 2 2 1(a 3b)，333当 k 13时， ka b 与 a 3b 平行，并且反向跟踪训练 1 已知 A(2,1)， B(0,4)，C(1,3)， D(5， 3)判断 AB与 CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解AB (0,4) (2,1) ( 2,3)，CD (5， 3) (1,3) (4， 6)方法一 ( 2)×( 6) 3× 40，且 ( 2)× 4<0，AB 与CD 共线

5、且方向相反方法二CD 2AB， AB与CD共线且方向相反题型二利用向量共线求点的坐标例 2已知点 A(3， 4) 与点 B( 1,2)，点P 在直线 AB 上，且 |AP| 2|PB|，求点 P 的坐标解 设 P 点坐标为 (x，y) |AP|2|PB|， AP 2PB或 AP2PB.4) 2( 1 x,2y)，当AP2PB时， (x 3， y1x 3 2 2xx，解得3，y 01P 点坐标为3，0 .当AP 2PB时，则( x3， y 4) 2( 1 x,2 y)，x 32 2xx 5，解得.y 4 4 2yy 8P 点坐标为 ( 5,8)综上，点 P 的坐标为1， 0或 ( 5,8)3跟踪

6、训练 213，求点 B 的坐标已知点 A(1， 2)，若向量 AB与 a(2,3)同向， |AB| 2解设 AB (x， y)， AB与 a 同向，AB a (>0) ，即 (x， y) (2,3)，x 2，又 |AB13，y 3，| 22222xy52. 4 9 52， 2 (>0) 点 B 的坐标为 (5,4) 即AB (4,6)题型三平面向量共线的综合运用例 3 如图所示， 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标解方法一 (4t,4t)，设 OP tOB t(4,4)则AP OP OA (4t,4t) (4,0) (4t 4,4

7、t)，AC (2,6) (4,0) (2,6)由AP ，AC共线的条件知(4t 4)× 6 4t× (2) 0，3解得 t 4.OP (4t,4t) (3,3)，P 点坐标为 (3,3)方法二设 P(x， y)，则 OP(x， y)，OB (4,4) OP， OB共线， 4x 4y 0， 又CP (x2， y 6)， CA (2，6)，且向量 CP、 CA共线， 6(x 2) 2(6 y) 0， 解 组成的方程组，得x 3， y 3，点 P 的坐标为 (3,3) 跟踪训练3 如图所示，在四边形ABCD 中，已知A(2,6)、 B(6,4)、 C(5,0)、 D (1,0)，

8、求直线AC 与 BD 交点 P 的坐标解 设 P(x，y) ，则 DP (x 1， y)，DB (5,4)，CA (3,6)， DC (4,0)由 B， P， D 三点共线可得 DP DB (5， 4)，又 CP DP DC (54,4由于 CP与 CA共线得， (5 4)6 12 0.44 20，16，解之得 ， DP DB7777P 的坐标为27167 ，7 .用向量方法研究平面几何问题例 4已知 ABCD 是正方形， BEAC，AC CE，EC 的延长线交BA 的延长线于点F，求证：AF AE.证明建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便不妨设正方形ABCD 的边长为1，则 B(1,0)，

9、 C(1,1)，D (0,1)，设 E(x， y)，这里 y>0，于是 AC (1,1)， BE (x 1， y)AC BE， 1× y (x 1)× 1 0? y x1. AC OC CE(已知 )，CE 2OC 2? (x 1)2 (y1) 2 2.33x，由 y>0，联立 解得13y，即E3 3，1 3.22AE OE3 321 3 2 31.22131 3设 F(t,0)，则 FC (1 t,1)， CE2，.2F、 C、 E 三点共线， FC CE.(1 t)×1 33× 10，解得 t 1 3. 12 2 AF OF 1 3， A

10、FAE.1已知 a ( 1,2)， b (2，y)，若 a b，则 y 的值是 ()A1B 1C4D 42下列各组的两个向量共线的是()A a1 ( 2,3)，b1 (4,6)B a2 (1， 2) ，b2 (7,14)C a3 (2,3) ， b3 (3,2)D a4 ( 3,2)，b4 (6， 4)3已知向量 OA (k,12)，OB (4,5)，OC(10，k)，如果 A、B、C 三点共线，则实数 k _.4已知四边形 ABCD 的四个顶点 A，B，C，D 的坐标依次是 (3， 1)，(1,2)，( 1,1)， (3，5) 求证：四边形 ABCD 是梯形5已知点A( 1， 3) ，B(1

11、,1)，直线 AB 与直线 xy 5 0 交于点 C，求点 C 的坐标一、选择题1向量 a (1， 2)， |b| 4|a|， a b，则 b 可能是 ()A (4,8)B (8,4)C ( 4， 8)D ( 4,8) D点坐标是()2已知三点 A( 1,1)， B(0,2)， C(2,0)，若 AB和 CD 是相反向量，则A (1,0)B ( 1,0)C (1， 1)D ( 1,1)3已知平面向量a (x,1)，b ( x， x2)，则向量 a b()A 平行于 x 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y 轴D平行于第二、四象限的角平分线4若 a (2cos ， 1)， b (sin ，

12、 1)，且 a b，则 tan 等于 ()11A 2B.2C 2D 25已知向量a (1,2)，b (0,1)，设 u a kb，v 2a b，若 u v，则实数 k 的值为 ()11A 1B 2C.2D 16已知 A、B、C 三点在一条直线上，且A(3， 6)， B( 5,2)，若 C 点的横坐标为6，则 C点的纵坐标为 ()A 13B 9C 9D 13二、填空题7已知向量a (2x 1,4)，b (2 x,3)，若 a b，则实数x 的值等于 _8若三点P(1,1) ， A(2， 4)， B(x， 9)共线，则 x 的值为 _9设向量a (1,2) ， b (2,3)若向量a b 与向量

13、c ( 4， 7)共线，则 _.10已知点A， B 的坐标分别为(2， 2)， (4,3)，向量p 的坐标为 (2k 1,7)且 p AB，则 k的值为 _三、解答题1 11已知两点A(3， 4)，B( 9,2)在直线 AB 上，求一点P 使 |AP | 3|AB|.12已知 ABC 的三个顶点坐标依次为A( x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)试确定 ABC 的重心 G 的坐标1113如图所示，已知AOB 中， A(0,5)， O(0,0)，B(4,3)， OC 4OA，OD 2OB， AD 与 BC相交于点M，求点 M 的坐标当堂检测答案1答案D解析 a b， ( 1

14、)× y 2× 2 0， y 4.2 答案D32， a4 b4，故选 D.解析 643 答案 2 或11， k)，解析 OA (k,12)，OB (4,5)，OC(10AB (4 k，7)， BC (6，k 5)，A、 B、 C 三点共线， (4 k)( k5) (7)× 6 0，解得 k 2 或 k 11.4 证明 A(3， 1)，B(1,2) ， C( 1,1)， D (3， 5)AB (2,3)， CD (4， 6) 1 CD 2AB， |AB| |CD |，2AB CD ，且 AB CD，四边形 ABCD 是梯形5 解设点 C(x， y) A、 B、 C

15、三点共线， (2， 4)AC AB (2,4) ( x1， y 3) (2， 4)，x 21， C(2 1,4 3)y 43把点 C(21,4 3)代入 x y 5 0 得3(21) (4 3) 50，解得 2. C(2,3)课时精练答案一、选择题1答案D2答案C3答案C解析 a b (0,1 x2)， 平行于 y 轴4答案A解析 a b， 2cos × 1 sin . tan 2.故选 A.5答案B解析 u (1,2) k(0,1) (1,2 k)，v (2,4) (0,1) (2,3)，1又 u v， 1× 32(2 k)，得 k 2.故选 B.6答案C解析，y 6)设

16、 C 点坐标 (6， y)，则 AB ( 8,8)，AC (33y 6A、 B、 C 三点共线， ， y 9.二、填空题17 答案2解析由 a b 得 3(2x 1) 4(2 x)，解得 x1.28答案 3解析PA(1， 5)，PB (x1， 10)，P、 A、 B 三点共线， PA与 PB 共线 1× ( 10) ( 5)× (x 1) 0，解得 x3.9 答案2解析ab ( 2,2 3)， c ( 4， 7)， 2 2 3， 2. 4 710 答案1910解析，由 A(2， 2)， B(4,3)知 AB (2,5)又 p (2k 1,7)且 p AB， (2k1)

17、15; 5 2× 7 0， k 19. 10三、解答题11 解设点 P 的坐标为 (x， y)，1 若点 P 在线段 AB 上，则 AP 2PB，1( x3， y 4) 2(9 x,2 y)解得 x 1， y 2， P( 1， 2)1 若点 P 在线段 BA 的延长线上，则AP 4PB，1( x3， y 4) 4( 9 x,2 y)解得 x 7，y 6， P(7， 6)综上可得点P 的坐标为 ( 1， 2)或 (7， 6)12 解延长 AG交 BC于点 D，G 为 ABC 的重心，D 为 BC 的中点，2 AG3AD2 1 1 3(2AB2AC)1 1 3AB 3AC， 1 1 OG OA AG OA3AB3AC 11 OA(OB OA) (OC331 3(OAOB OC) x1 x2