裂项相消法讲义提高篇

1、1、利用裂项相消法求和应注意：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩几项，后面对称地也剩几项,且前面所剩项的符号与后边刚好相反，例如数列的求和。(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，2. 裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的归纳起来常见的命题角度有：(1) 形如型。如；(2)形如an型；(3)形如an型；(4)形如an型(5)形如an型；(6).角度1形如an型;【例1】 在等比数列an中，a1>0，nN*，

2、且a3a28，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4an，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得<k对任意nN*恒成立若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由解析 (1)设数列an的公比为q，由题意可得a316，a3a28，则a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，（）（1）<<，存在正整数k的最小值为3.2已知数列an的前n项和Sn与通项an满足Snan.(1)求数列an的通项公式；(2)设f(x)log3x，bnf(a1)f(a2)f(an)，Tn，求T2 012；解析 (1)当n1

3、时，a1，当n2时，anSnSn1，又Snan，所以anan1，即数列an是首项为，公比为的等比数列，故ann.(2)由已知可得f(an)log3nn，则bn123n，故2，又Tn22，所以T2 012.变式1.在等差数列中，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.解析（1）设的公差为.因为所以解得 或（舍），.故 ，. （2）由（1）可知，所以.故变式2. (2013·江西高考)正项数列an满足：a(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)由a(2n1)an2n0，

4、得(an2n)·(an1)0.由于an是正项数列，所以an2n.(2)由an2n，bn，得bn.Tn.变式3. 已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN*.(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.解析 (1)证明Sn，nN*，当n1时，a1S1 (an>0)，a11.当n2时，由得2anaanaan1.即(anan1)(anan11)0，anan1>0，anan11(n2)所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)可得ann，Sn，bn.Tnb1b2b3bn11.变式4. (12分)已知数列an的前n项和为S

5、n，且a11，an1Sn(n1,2,3，)(1)求数列an的通项公式；(2)当bn时，求证：数列的前n项和Tn.解析 (1)由已知得 (n2)，得到an1an (n2)数列an是以a2为首项，以为公比的等比数列又a2S1a1，ana2×n2 n2 (n2)an(2)证明bnlog(3an1)logn.Tn1.变式5. 已知正项数列an，bn满足a13，a26，bn是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列(1)求数列bn的通项公式；(2)设Sn，试比较2Sn与2的大小解析 (1)对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列，且an，bn都为正项数列，anbnbn1(nN*

6、)可得a1b1b23，a2b2b36，又bn是等差数列，b1b32b2，解得b1，b2.bn(n1)(2)由(1)可得anbnbn1，则2，Sn21，2Sn2，又22，2Sn.当n1,2时，2Sn<2；当n3时，2Sn>2.角度2形如an 型【例2】 已知函数f(x)xa的图像过点(4,2)，令an，nN*.记数列an的前n项和为Sn，则S2 013_.解析 由f(4)2可得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 013a1a2a3a2 013()()()()1.角度3形如an型;【例3】 (2013·新课标卷)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求

7、an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析 (1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知，从而数列的前n项和为.变式1. 已知数列an的前n项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)Snnann(n1)，当n2时，Sn1(n1)·an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)·(n2)，即anan12.数列an是首项a11，公差d2的等差数列，故an1(n1)·22n1，nN*.(2)由(1)知

8、bn，故Tnb1b2bn1.变式2. 在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解析 (1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1·Sn0，式两边同除以Sn1·Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn(1)()().变式3. 已知数列an前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足bn(log2a2n1)×(log2a2n3)

9、，求证：<.(1)解，an，Sn成等差数列，2anSn，当n1时，2a1S1，a1，当n2时，Sn2an，Sn12an1，两式相减得anSnSn12an2an1，2，数列an是首项为，公比为2的等比数列，an×2n12n2.(2)证明bn(log2a2n1)×(log2a2n3)log222n12×log222n32(2n1)(2n1)，×()，(1)()()(1)<(nN*)即<.变式4. (2014·浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，对一切正整数n，点Pn在

10、函数y3x的图像上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn(1)求点Pn的坐标；(2)设抛物线列C1，C2，C3，Cn，中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn(0，n21)记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn，求.解析 (1)xn(n1)×(1)n，yn3xn3n.Pn.(2)Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，设Cn的方程为yax2.把Dn(0，n21)代入上式，得a1，Cn的方程为yx2(2n3)xn21.kny|x02n3， .角度4形如an型;【例4】 (2013·江西高考)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n

11、1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn<.解析 (1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于数列an是正项数列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上可知，数列an的通项公式an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.Tn<.【例4】 已知等比数列的前n项和为，公比，成等差数列（1） 求的通项公式（2） 设，求数列的前n项和。解析：(1)因为成等差数列，所以.化简得.所以. 因为，所以.故 (2) 角度5形如an型已知数列an的前n项和为Sn，