高中平面向量知识点总结

1、 平面向量1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量2、向量的表示方法（1）几何表示：以A为起点，以B为终点的有向线段记作，如果有向线段表示一个向量，通常我们就说向量.（2）字母表示：印刷时粗黑体字母a， b， c向量手写时带箭头的小写字母，3、向量点的长度（模）向量的大小叫做向量的长或模，记作|、4、零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行0单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量记作5、相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为即大小相等，方向相同6、对于任意非零向

2、量的单位向量是 .7、向量的加法（1）三角形法则设，则+=对于零向量与任意向量的和有（2）平行四边形法则已知两个不共线的向量，做，则A、B、D三点不共线，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=+.当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”8、向量加法的运算律（1）交换律+=+（2）结合律(a+b)+c=a+(b+c)9、向量的减法即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量图：10、相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量.记作（1）=，即与互为相反向量；（2）若、

3、是互为相反向量，则=,=,+=；（3）+()=()+=；（4）零向量的相反向量仍是零向量（5）对于用起点和终点表示的向量，则有= BA,即和- BA互为相反向量11、已知向量，b，则| |-|b| |±b|±| b|12、向量数乘运算实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，与同向当时，与异向当或=时，方向是任意的13、向量数乘的运算律（1）() =()（2）(+)=+（3）（+）=+（4）（）= （）=（）（）=-14、向量共线判定定理当向量，对于向量，如果有一个实数，使=，那么共线.向量与向量（）共线有且只有一个实数，使得=.15、向量

4、的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、以及任意实数、1 、2恒有（1±2）=1+216、平面向量的基本定理如果是一个平面的两个不共线向量，那么对这一平面的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面所有向量的一组基底17、两向量夹角围0°180° =0°同向图=180°同向=90°垂直，记为18、平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量19、平面向量的坐标表示（1）直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面的的一个向量，由平面向量基本定理

5、知，有且只有一对实数x，y使=xi+yj，则把有序数对（x，y）叫做向量的坐标。（2）坐标表示在向量的直角坐标中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。（3）在向量的直角坐标中，i=（1,0）j=（0,1）=（0,0）20、若和实数（1）（2） =(x1,y1)（3） 若，则=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)21、向量平行条件（1）若，（2）若，如果不平行于坐标轴，即x20y20，则/x1x2=y1y2即两个向量平行的条件是成比例（注意此时x2·y20）22、向量的数量积已知两个非零向量与，它们的夹角为，则&

6、#183;=·cos其中是与的夹角，cos叫做向量在方向上的投影。规定23、数量积的几何意义·等于的长度与在方向上的投影cos的乘积24、与都是非零向量，它们的夹角为（1）·= 0 （2）同向时·=·反向时·= ·（3）或=·=2（4）cos=··（5）|·|·25、向量数量积的运算律（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：特别注意：（1）结合律不成立： why？ 前者表示与共线的向量，后者表示与向量c共线的向量，而与c不一定共线。（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得

7、到=或=26、平面向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=27、垂直设两个非零向量，则·O28、设=（x，y），则=x2+y2设A=（x1，y1） B=（x2，y2），则=（x2-x1）2+（ y2-y1）229、已知两个非零向量与，作=, =,则AOB=（）叫做向量与的夹角cos=（可用此公式求两向量夹角）当<0，（2，; 当>0，0，2）；当=0，=2当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=180030、向量的单位向量的坐标表示0=（x，y）·1x2+y2=xx2+y2+yx2+y20 为的单位向量31、对于求直线L1：A1

8、 x+B1y+C1=0与直线L2：A2 x+B2y+C2=0 的夹角，则只要求与两直线平行的向量的夹角，再取这两个向量的夹角或补角，即与直线L1 、L2分别平行的向量m=（A1，B1），n=（A2，B2），设向量m、 n的夹角为cos=m·nm· n=A1·A2+B1·B2A12+B12·B12+B22当cos<0 时，直线L1 L2夹角等于-锐角当cos>0 时，直线L1 L2夹角等于32、三角形面积公式S=12a·bsinC可利用夹角公式求出sinC33、2=|（±）（±）2=|±|2=|2±2·+|234、证三点共线35、直线L的向量参数方程式运用2.2的例一设A、B 是直线L上任意两点，O是L外一点，则对于L上任一点P，存在实数t，是向量OP=（1-t）OA+tOB 当t=12时，即P为AB中点时，OP=12(OA+OB)正弦定理在ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有即，在一个三角形中，各边和它所对角的正