贵州省贵阳市普通高中2015届高三8月摸底考试数学理试题(卷）

1、 市普通高中2015届高三年级8月摸底考试理科数学【试卷综析】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度适中，区分度明显。客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，对高中数学知识、方法和思想的整体把握，综合训练使得相当一部学生的数学教与学的成效得到应有的体现，对教师和学生的教与学的积极性有一定的提高.使学生不仅学好概念、定理、法则等容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐化为自己的经验，并自觉地应用于数学学习和问题解决的过程之中，不断提升数学学习的效益.一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】

2、1.复数，i是虚数单位，则z的虚部是A.2i B.-2i C.2 D.-2【知识点】复数的概念.L4【答案解析】D解析：解：根据复数的概念可知虚数的虚部为-2，所以D选项正确.【思路点拨】根据复数的概念直接求出结果.【题文】2、若集合，则集合A、 B、 C、 D、R【知识点】函数的定义域；集合.A1,B1【答案解析】C解析：解：由题意可知，所以C选项正确.【思路点拨】先根据集合的概念求出集合中元素的围，再求出交集.【题文】3已知是定义在R上的奇函数，且时的图像如图所示，则 A.-3 B.-2 C.-1 D.2【知识点】奇函数的性质.B4【答案解析】D解析：解：根据奇函数的性质可知，所以正确选项

3、为D.【思路点拨】根据奇函数的定义可直接求出结果.【题文】4、在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,则等于A、 B、 C、 D、【知识点】正弦定理，解三角形.C8【答案解析】B解析：解：根据正弦定理可得【思路点拨】根据正弦定理可求出角B的正弦值，再根据边的关系可求出角的大小.【题文】5下列判断错误的是 A.是的充分不必要条件 B.命题的否定是 C.命题“若，则tan=1”的逆否命题是“若则” D.若为假命题，则均为假命题【知识点】充要条件；命题的真假.A2【答案解析】D解析：解：因为若成立，只需p与q中有一个假命题，即为假命题，所以D选项的判断是错误的，其它选项都正确.【思路点拨】根据命题

4、的逻辑关系直接求解判定即可.【题文】6某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 A. B. C. D.【知识点】程序框图；函数性质.B4,L1【答案解析】B解析：解：由题可知能输出的函数是偶函数且存在零点，所以只有正确，是偶函数但不存在零点，所以A不正确， 不是偶函数也不存在零点，所以C不正确，不是偶函数也不存在零点，所以D不正解，综合可知只有B正确.【思路点拨】本题根据程序框图可推出函数为偶函数且存在零点，然后找出正确选项.【题文】7、已知，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是A、 B、 4 C、 D、2【知识点】线性规划.E5【答案解析】D解析：解：由题意可得，B（1，

5、1）a1，不等式组表示的 平面区域如图所示的ABC由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线L：y=-2x，把直线向可行域平移，当直线经过C时z最小，当直线经过点B时，z最大由可得C（a，a），此时Z=3a由可得B（1，1），此时z=33=43aa故答案：【思路点拨】根据题意作出图形，可找出最值，再根据最值之间的关系求出a的值.【题文】8设满足约束条件，则的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6 【知识点】线性规划.E5【答案解析】C解析：解：由题意可知目标函数Z，在点取得最大值，代入可得，所以C选项正确.【思路点拨】由题意求出最大值点

6、，代入目标函数求出最大值.【题文】9、现有2门不同的考试要安排在5天之进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有A、12 B、6 C、 8 D、16【知识点】排列组合.J2【答案解析】D解析：解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有种方法若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有32=6种方法综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C【思路点拨】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求

7、【题文】10、函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将函数的图像A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位【知识点】三角函数的图像.C3【答案解析】D解析：解：由图知，为了得到的图像，则只要将的图像向左平移个单位长度.所以正确选项为C【思路点拨】根据三角函数的图像求出三角函数，再由三角图像的移动求出最后结果.【题文】11、直线L过抛物线的焦点F且与C相交于A、B两点，且AB的中点M的坐标为，则抛物线C的方程为A、 B、 C、 D、【知识点】直线与抛物线.H8【答案解析】B解析：解：由题可得直线方程为与抛物线方程联立可得，所以抛物线方程为【思路点拨】根据所给条件

8、列出方程，利用条件求出p的值.【题文】12、设函数，其中表示不超过x的最大整数，如，若直线与函数的图像恰有三个不同的交点，则k的取值围是A、 B、 C、 D、【知识点】新定义问题.B10【答案解析】D解析：解：函数，函数的图象如下图所示： y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（-1，0）点若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点当y=kx+k过（2，1）点时，当y=kx+k过（3，1）点时，故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值围是故选D【思路点拨】根据所给函数与函数的定义，作出图像可求出正确结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5

9、分.【题文】13、设，则的值 .【知识点】二倍角公式.C6【答案解析】解析：解：由题可知【思路点拨】根据正切的二倍角公式直接可求出结果.【题文】14、的展开式中，的系数等于40，则等于 .【知识点】二项式定理.J3【答案解析】1解析：解：因为展开式中的项为【思路点拨】根据题意写出特定项，直接求出a的值.【题文】15、某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的体积为【知识点】三视图.G2【答案解析】解析：解：由三视图知：几何体是一半圆柱与长方体的组合体，长方体的长、宽、高分别为5、4、4；半圆柱的高为5，底面半径为2，几何体的底面积为： 底面周长为：43+2=12+2，几何

10、体的表面积S=2（16+2）+5（12+2）=92+14几何体的体积V=5（16+2）=80+10 【思路点拨】根据题意求出几何体的数值，由于是组合体所以要分开计算.【题文】16、边长为2的正方形ABCD，其切圆与边BC切于点E、F为切圆上任意一点，则取值围为【知识点】向量;线性规划.F3,E5【答案解析】D解析：解：以正方形ABCD的中心为原点如图建立坐标系，所以，设F点的坐标为，按线性规划可知，当直线与圆相切时，有最大值与最小值，再由点的直线的距离公式可求出Z的最值，所以最大值为，最小值为.【思路点拨】把向量问题转换成线性规划问题是解题的关键.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算

11、步骤.【题文】17（本小题满分12分）数列的通项公式为，数列是等差数列，且.(I)求数列的通项公式；(II)设，数列的前n项和，求证：.【知识点】数列的通项公式；特殊数列求和.D1,D4【答案解析】解析：解：(I)设数列的公差为d,又因为(II)【思路点拨】根据已知条件即可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可证明第二问的结果.【题文】18、如图，在直三棱柱中，分别是的中点.(I)证明：；(II)求二面角的余弦值【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G4【答案解析】解析：(I)证明：如图，E是的中点，取为BC的中点G，连接EG、AG、ED，在中，四边形ADEF为平行四边形，又所以(II

12、)解：如图，以B为原点，BC，BA，,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系则直三棱柱，如图，连接BD，在，即，BD是CD在平面的射影，所以二面角的余弦值为【思路点拨】根据已知条件可判定直线与平面平行，再建立空间坐标系求出二面角的余弦值.【题文】19（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T.其围为0，10,分别有五个级别：T畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.在晚高峰时段，从市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.(I)在这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？(II

13、)从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望.【知识点】直方图；离散形随机变量的分布列及期望.K6,K8【答案解析】解析：(I)由直方图得：轻度拥堵的路段个数是个，中度拥堵的路段个数是(II)X的可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为【思路点拨】由直方图可找出各种情况数据，再根据条件求出分布列与期望.【题文】20（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，弦AB长4.(1) 求椭圆的方程；(2) 若.求直线AB的方程.【知识点】直线方程；椭圆方程.H1,H

14、5【答案解析】解析：（1）由题意知，又，解得：，所以椭圆方程为：.-6分（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为.将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得，则，所以.同理，.所以=解得，所以直线AB方程为x-y-1=0或x+y-1=0.-12分【思路点拨】根据椭圆的几何量可得到椭圆方程，再依据题目中的条件求出适合的直线方程.【题文】21、已知函数在处的切线斜率为2.(I)求的最小值；(II)设是函数图像上的两点，直线AB的斜率为k，函数的导数为，若存在，使，求证：【知识点】导数与最值.B12【答

15、案解析】解析：由由在上是减函数，从而【思路点拨】由函数的导数可求出最小值，再利用导数进行证明.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一天计分.做答是用2B铅笔 在答题纸上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【题文】22（本小题满分10分）如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B,C两点，圆心O在的部，点M是BC中点.（1） 证明：A,P,O,M四点公园共圆；（2）求的大小.【知识点】几何证明选讲. N1【答案解析】(1)略；（2）.解析：（1）证明：连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以.因为M是圆O的弦BC的中点，所以.于是由圆

16、心O在的部，可知四边形APOM的对角互补，所以A,P,O,M四点共圆. -5分（2） 由（1）得A,P,O,M四点共圆，所以.由（1）得,由圆心O在的部，可知,所以. -10分【思路点拨】（1）根据对角互补的四边形由外接圆，证明A,P,O,M四点共圆；（2）由同弧所对圆周角相等得.又,由圆心O在的部，可知,所以.【题文】23（本小题满分10分）已知切线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）.(1) 写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；(2) 设曲线C经过伸缩变换，得到曲线，判断L与切线交点的个数.【知识点】极坐标与参数方程. N

17、3【答案解析】(1) 直线L的直角坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）两个.解析：（1）消去参数t得直线L的直角坐标方程为:,由公式得曲线C的直角坐标方程为；-5分(2)曲线C经过伸缩变换得到曲线的方程为，由于直线L恒过点，点在椭圆部，所以直线L与椭圆相交，故直线与椭圆有两个交点.-10分【思路点拨】(1)参数方程消去参数得普通方程，利用公式完成极坐标方程与直角坐标方程的相互转化.(2)先求得曲线的方程，再由直线L所过的点在曲线，得直线与曲线有两个交点.【题文】24（本小题满分10分）设函数. （1）当a=2时，解不等式；（2）若的解集为，求证：m+2n4.【知识点】绝对值不等式的解法；不等式的证明方法. N4【答案解析】（1）不等式的解集为；（2）略.解析：（1）当a=2时，不等式为，因为方程的解为所以不等式的解集为；