定弦定角最值问题

1、定弦定角最值问题【定弦定角题型的识别】 有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉 及定弦定角最值问题【解题原理】同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆 因此动点的轨迹是圆。（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点 共圆。）【一般解题步骤】 让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨 迹是一段弧。 寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一 般为 45°、 60°或者一个确定的三角函数的对角等） 找张角所对的定弦，根据三

2、点确定隐形圆。 确定圆心位置，计算隐形圆半径。 求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最 小值）。,D、）沁【例1 （2016 -新观察四调模拟1）如图， ABC 中，AC=3, BC= 4近，ZACB=45BD交于P点，交BC于E点,弧AE=CP,贝U AD的最小值ABC内一动点，为ZkACD的外接圆，直线解：':ZCDP=ZACB=45?ZBDC=135。（定弦定角最值）如 图，当4D过0,时，AD有最小值VZBDC= 135°:.ZBO'C=90° ?B0C为等腰直角三 角形？ Z4CO'=

3、45°+45° = 90。?40'=5又 O'B=O'C=4/AAD=5 4=1【例2】如图，AC=3, BC=5, nZBAC=90 , D为A匕上一动点，以为舌径作圆，连接交圆于E点，连CE,则CE的最小值为（）A. V13-2B. V13+2C. 5TAD为。O的直径?ZAEB= ZAED=A? E点在以AB为直径的圆上运动当CE过圆心O时，CE有最小值为 V13-2【练】（2015?江汉中考模拟1）如图，在厶ABC中,AC=3, BC=4A2 , ZACB=45 , AM/BC.点P在射线AMA. 1u上运动,连BP交HAPC的外接岡于D,则

4、AD的最小值为（）?0解：连接CD? APAC= ZPDCZACB=45AZBDC= 135°如图，当AD圆心O时，AD有最小值VZBZ） C= 135°? ZBOC=90°:.O'B=O'C=4乂 ZACOZ=90°?4O'=5? AD的最小值为5-4=1【例3 （2016 -勤学早四调模拟1）如图，的半径为2,弦佔矗覇；侖，点P为优弧AB上一动点，AC丄AP交直线PB于点C,则AABC的面积的最大值是（）A. 12 + 6A3B. 6 + 3A3C. 12 + 3A3D. 6 + 4A3/C丄HP交直线刃于点C,则厶zLBC的

5、面积飾最大值是 （A. 12+6 A/3B. 6+3 J3C. 12+3 曲K_» _ P 關FD? 6+4 祚3X构造直径BE连接购 易求Z£A60°=ZP, AZC= 30°要使ZUBC的嚴大面积，则点 C到曲的距八、离最大，？ ： AB=2屈,ZHC5=30。?点C在G>A/上，且ZJ.WB=60%当点C为优弧加 的中点时，点C到AS的距离最大，此时仙 C为等腰三角形，CV=2、疗+3, Ssc=* ><275><（2曲+3）=6+375,故选B.【练】（2（）14?洪山区中考模拟 1）如图，00的半径为1,弦人3=1

6、，点P为优弧ABA1 一动 点,AC丄AF交直线PB于点则,AABC的最大面积是（B.)V2?0D. 2【例5】如图，A(l, 0)、B(3, 0),以AB为直径作OM,射线OF交OM于E、F两点，C为弧的中点，Q为EF的中点.当射线绕O点旋转时，CD的最小值为 一三0A解：连接DM? Q是弦EF的中点:.DM 丄 EF?点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动 当CD过圆心A时，CD有最小值连接CM? C为弧AB的中点:.CM LAB?CD的最小值为血-1【练】如图，AB是OO的直径，AB=2, ZABC=60P是上一动点，D是AP的中点，连接CD,则CD的最小值为CDBOO? CD的最小值