【中考一模】2025年中考数学试题及答案（成都专用）

【中考一模】2025年中考数学试题及答案（成都专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．的倒数是（

）A．2024 B． C． D．2．下面简单几何体从左面看到的形状图是（

）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（

）A．B．C． D．4．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（

）A．若点A在y轴上，则B．若点A在二四象限角平分线上，则C．若点A到x轴的距离是3，则或D．若点A在第四象限，则a的值可以为25．随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（

）A．样本容量是B．平均数是C．中位数是 D．的权数是6．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（

）A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形7．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长10米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（

）A． B． C． D．8．如图，在△ABC中,，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（

）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤第II卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．若，则的值是_______．10．如图，一张长，宽的长方形上画有一个不规则的图案，小宇想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：向长方形内随机投掷小石子（假设小石子落在长方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则图案上的频率稳定在0.45附近，由此可估计不规则图案的面积是_______．11．若，则_______．12．古希腊的希波克拉蒂研究并得出了月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和．现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把图2中较小的两张半圆纸片重叠部分面积记为，大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为．则直角三角形的面积可表示成_____________（用含、的代数式表示）．13．如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到．连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为_______三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．(1)计算：；(2)解方程：．15．体育强则中国强，国运兴则体育兴．中心学校在校运会举行了投篮比赛活动，学校随机抽取几名同学参加，规定每人投篮10次，将投中次数进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．(1)_________，_________；(2)补全条形统计图；(3)体育老师从成绩较好的5名同学（设为胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮）中随机抽取2名同学代表学校参加省级联赛，请用画树状图或列表的方法求出楠楠被抽中的概率．16．车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量．测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米，测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，）(1)求大桥的长度；(2)求大桥桥墩的高度．17．如图，为⊙O的直径，交⊙O于点，为上一点，延长交⊙O于点，延长至，使，连接．

(1)求证：为⊙O的切线；(2)若且，求⊙O的半径．18．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)利用图像，直接写出不等式的解集；(3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．若一元二次方程的两根为、，则的值为_______．20．如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为_________．21．一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个数为“对数”．将千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换，得到一个新数，并规定．若已知数为“对数”，设的千位数字为，百位数字为，且，若是一个完全平方数，则________，满足条件的M的最小值为_______．22．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在边上，且，将绕点旋转，点的对应点为点，连接、，则面积的最小值为________．23．如图，将一长方形纸片放在平面直角坐标系中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，同时动点从点出发沿向点运动，运动3秒后，点和点同时停止运动．此时再将沿翻折，点恰好落在边上的点处．下列说法：①；②点的坐标为；③动点的运动速度为每秒2个单位长度；④点是长方形边上的一个动点，当是以为底边的等腰三角形时，点点的坐标为或其中正确的结论是．（填序号）二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．光环购物中心销售甲、乙两种商品，甲种商品每件售价45元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价60元．(1)甲种商品每件进价为元，每件乙种商品利润率为；(2)若该购物中心同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2080元，求购进甲种商品多少件？(3)在“元旦”期间，该购物中心对甲种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于400元不优惠超过400元，但不超过600元按售价打九折超过600元不超过600元的部分打八折，超过600元的部分打6折优惠按上述优惠条件：若小华一次性购买甲种商品实际付款486元，若没有优惠促销，求小华在该购物中心购买同样多的甲种商品应付款多少元？25．如图，已知抛物线的顶点为，且通过点．(1)求顶点的坐标；(2)点为直线上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值；(3)在抛物线上存在一点，使得，求点坐标．26．点E在矩形的对角线上，于点G，交于点F．(1)如图1，若平分，求证：；(2)如图2，取的中点M，若，，．①求的长度；②求的值；(3)如图3，过的中点O作于点P，延长交于点Q，连接交于点N．若，求证：．【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（成都专用）黄金卷05A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）12345678DADCCDAB第II卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．410．5.411．202612．13．50三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．(1)解：，．(2)解：，，，解得：，经检验：是原方程的解，原方程的解是．15．（1）3；；（2）解：；（3）解：胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮分别用A，B，C，D，E表示，画树状图如下：共20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，∴．16．（1）解：作于点，如图，由题意得米，，，∴在中，，∴，在中，，∴，∴米；答：大桥的长度约为米；（2）解：作于点，交于点，如图，由题意得，，，，在中，，∴，在中，，∴，∴米；答：大桥桥墩的高度约为米．17．（1）证明：如图，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∠FDE=∠CDO，∴，即，∴，∵是半径，∴为⊙O的切线；（2）解：由（1）得，设⊙O的半径，则，∴，，在中，由勾股定理得，，，解得，或舍去，∴⊙O的半径为．18．（1）解：∵，在反比例函数图像上，∴，解得：，∴反比例函数的表达式为：；∴，∴，∴点，∵点，在一次函数，∴，解得：，∴，∴一次函数的表达式为：．（2）解：由（1）得，，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，∴当或时，．（3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像，∴设点，，∵四边形是平行四边形，∴①当，是对角线，∴，解得：，∴点的坐标为；②当，是对角线时，∴，解得：，∴点的坐标为；③当，是对角线时，∴，解得：，∴点的坐标为；综上所述，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．320．21．5616122．23．①②二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（1）解：设甲种商品每件进价为a元，根据题意得：，解得：．故甲种商品每件进价为36元．每件乙种商品的利润率为．（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得：，解得：．答：购进甲种商品30件．（3）解：设小华打折前应付款为y元，折前购物金额超过400元，但不超过600元，由题意，得：，解得，（件），符合题意；打折前购物金额超过600元，由题意，得：，解得，，∵不是整数，∴此种情况不符合同意；答：若没有优惠促销，求小华在该购物中心购买同样多的甲种商品应付款540元．25．解：（1）∵抛物线的顶点为，且通过点，∴，解得：，∴抛物线为：，∴顶点．（2）∵，，∴设直线的解析式为：，∴，解得：，∴直线的解析式为：，当直线向上平移，与抛物线仅一个公共点时，面积有最大值，且平移的解析式为，∴，整理得：，∴，解得：，∴平移直线的解析式为：，∴，解得：，∴点，设直线与轴的交点为点，∴，∴，∴∴．（3）过点作交于点，过点作轴，分别过点，作于点，于点，∴，∵，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∴点，设直线的解析式为：，∴，解得：，∴直线的解析式为：，∵点在直线上，∴直线的解析式为：，联立抛物线，∴，解得：（舍去），，∴点；延长交于点，过点作交于点，且轴∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴点设直线的解析式为：，∴，解得：，∴直线的解析式为：，∵点在直线上∴直线的解析式为：，∴联立抛物线，∴，解得：（舍去），，∴点；综上所述，点或．26．（1）解：如图1：

∵四边形是矩形，∴，，，∵，在中，°，中，，∴，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∴．（2）解：①如图2：

∵，∴，∴，∵，．∴，则，∴（负值已舍去）；∵点M是的中点，∴；②作于N，∴，∴，∴，又∵M是中点，∴，由（1）知，，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴．（3）解：如图3：连接，∵矩形中，O是中点，，∴，∴是的垂直平分线，∴，作于H，则，∴，又∵，∴，∴，即（等式性质），∵，∴，∴，∴，∴．【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（成都专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．的倒数是（

）A．2024 B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了倒数的定义．根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可．【详解】解：的倒数是，故选：A．2．下面简单几何体从左面看到的形状图是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握几何体的特征是解题的关键．根据几何体的特征即可解答．【详解】解：由题意得，几何体从左面看到的形状图是．故选：A．3．下列运算正确的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方等知识点，根据同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方运算法则进行计算，判断即可得解，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．【详解】解：A、，故本选项不合题意；B、，故本选项不合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．4．已知点A的坐标为，下列说法正确的是（

）A．若点A在y轴上，则B．若点A在二四象限角平分线上，则C．若点A到x轴的距离是3，则或D．若点A在第四象限，则a的值可以为2【答案】C【分析】本题考查点的坐标，涉及解一元一次方程和一元一次不等式组，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点坐标的特征．根据题意列出方程或不等式组即可解得答案．【详解】解：在y轴上，则，即，故A错误，不符合题意；在二四象限角平分线上，则，即，故B错误，不符合题意；到x轴的距离是3，则，即或，故C正确，符合题意；在第四象限，则，即，不等式组无解，故D错误，不符合题意；故选：C．5．随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（

）A．样本容量是B．平均数是C．中位数是 D．的权数是【答案】C【分析】本题考查了方差的计算公式，平均数，中位数，样本容量，权数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据可得出样本容量，平均数，中位数，权数的信息，逐项判断即可得到答案．【详解】解：A.样本容量是，正确，故该选项不符合题意；B.平均数是，正确，故该选项不符合题意；C.数据从小到大排列，第五和第六个数是，，中位数是，故该选项错误，符合题意；D.的权数是，正确，故该选项不符合题意；故选：C．6．满足下列条件的四边形一定是正方形的是（

）A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形【答案】D【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断．【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意；B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意．故选：D．7．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长10米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，根据黄金分割点的定义列式判断即可．【详解】解：设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，由题意得：，整理得，故选：A．8．如图，在△ABC中,，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接．有下列结论①，②垂直平分，③，④平分，⑤．则下列结论正确的个数有（

）A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤【答案】B【分析】根据角平分线作图过程即可判断④，结合题意证明，利用全等三角形性质即可判断①，利用等腰三角形性质和判定即可判断②，利用勾股定理即可判断③，结合三角形中线性质即可判断⑤．【详解】解：由作图过程可知，射线平分，平分，故④正确；在△ABC中，，，，，，，，，故①正确；，，，，垂直平分，故②错误；，故③正确；，，，，，故⑤正确；综上所述，结论正确的个数有①③④⑤，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形性质和判定，角平分线作图，角平分线定义，垂直平分线判定，勾股定理，三角形中线性质，等腰三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．第II卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．若，则的值是_______．【答案】4【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以得到，再根据分母不能为0确定出x的值，从而得到y的值，代入即可.本题主要考查了二次根式的非负性及分式有意义的条件当时由意义，分式的分母不为0时分式有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：，且，，且，，，又，，，，．故答案为：410．如图，一张长，宽的长方形上画有一个不规则的图案，小宇想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：向长方形内随机投掷小石子（假设小石子落在长方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则图案上的频率稳定在0.45附近，由此可估计不规则图案的面积是_______．【答案】5.4【分析】已知落在不规则区域的频率稳定在0.45附近，根据频率估计概率的知识可得：小石子落在不规则区域的概率约为0.45；联系概率的计算方法可知：不规则部分的面积=长方形的面积×小石子落在不规则区域的概率，结合长方形的面积公式即可得到阴影部分的面积．本题考查了利用频率和概率．解题的关键是了解大量重复实验中频率可以估计概率，难度不大【详解】解：由频率估计概率的知识可得：小石子落在不规则区域的概率约为0.45，所以阴影部分的面积约为．故答案为：5.4．11．若，则_______．【答案】2026【分析】本题主要考查完全平方公式，设，再根据完全平方公式即可得出答案．【详解】解：设，∴，∵，∴，∴，故答案为：2026．12．古希腊的希波克拉蒂研究并得出了月牙问题：如图1，以直角三角形的各边为直径分别向上作半圆，则直角三角形的面积可表示成两个月牙形的面积之和．现将三个半圆纸片沿直角三角形的各边向下翻折得到图2，把图2中较小的两张半圆纸片重叠部分面积记为，大半圆纸片未被覆盖部分的面积记为．则直角三角形的面积可表示成_____________（用含、的代数式表示）．【答案】【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理、圆的面积等知识点，正确的识别图形并灵活运用所求知识是解答本题的关键．设以的斜边为直径的半圆为大半圆，以为直径的半圆为中半圆，以为直径的半圆为小半圆，根据圆的面积公式和勾股定理进行解答即可．【详解】解：设以的斜边为直径的半圆为大半圆，以为直径的半圆为中半圆，以为直径的半圆为小半圆，∵，，，由勾股定理得：∴∵，∴，∴，∴直角三角形的面积可表示成，故答案为：．13．如图，已知正方形，，E为边上的一点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到．连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为_______【答案】50【分析】在上截取，连接，证明，确定点F的轨迹是射线，且是的角平分线，利用垂线段最短原理，勾股定理，正方形的性质解答即可．【详解】解：在上截取，连接，∵在正方形中，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，延长，则∴，∴射线是的角平分线，故当时，取得最小值，且，∴，∴，∵正方形的面积为S，∴，故S的最小值为50，故答案为：50．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．(1)计算：【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算．利用绝对值的性质、负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，再合并即可求解．【详解】解：，．(2)解方程：．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，化为整式方程求解，再检验即可．【详解】解：，，，解得：，经检验：是原方程的解，原方程的解是．15．体育强则中国强，国运兴则体育兴．中心学校在校运会举行了投篮比赛活动，学校随机抽取几名同学参加，规定每人投篮10次，将投中次数进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题．(1)_________，_________；(2)补全条形统计图；(3)体育老师从成绩较好的5名同学（设为胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮）中随机抽取2名同学代表学校参加省级联赛，请用画树状图或列表的方法求出楠楠被抽中的概率．【答案】(1)3；；(2)见解析；(3)【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用树状图法求概率：（1）根据投中7次的人数所占的比例，求出总人数，分别求得投中6次和8次的人数，再用乘投中8次的占比，即可求解；（2）根据（1）的结果补全条形图即可；（3）画树状图，共有20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：由题意得，抽取的总人数为人，投中6次的人数为人，投中8次的人数为人，，故答案为：3；；（2）解：补全条形图如图：；（3）解：胡胡，楠楠，欢欢，迎迎，妮妮分别用A，B，C，D，E表示，画树状图如下：共20种等可能的结果，其中楠楠被抽中的结果有8种，∴．16．车田江特大桥（如实物图所示）位于娄底市新化县车田江风景区，桥体外侧呈“拱架”的构造，地方文化特色十分浓郁，与车田江自然美景融合，更是相得益彰．容融为了知道大桥的长度和桥墩的高度，进行了如下测量．测量过程1：容融用一无人机在大桥上方点E处分别测得大桥两端A、B的俯角为和，已知点E到大桥的距离为170米，测量过程2：若大桥的形状是轴对称图形，容融在桥墩底部C处测得拱架最高点D处的仰角为，在桥墩上方A处测得拱架最高点D处的仰角为．（结果精确到0.1米，，，）(1)求大桥的长度；(2)求大桥桥墩的高度．【答案】(1)大桥的长度约为米；(2)大桥桥墩的高度约为米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用．（1）作于点，在和中，利用正切函数的定义分别求得和的长，据此求解即可；（2）作于点，交于点，在和中，利用正切函数的定义分别求得和的长，据此求解即可．【详解】（1）解：作于点，如图，由题意得米，，，∴在中，，∴，在中，，∴，∴米；答：大桥的长度约为米；（2）解：作于点，交于点，如图，由题意得，，，，在中，，∴，在中，，∴，∴米；答：大桥桥墩的高度约为米．17．如图，为⊙O的直径，交⊙O于点，为上一点，延长交⊙O于点，延长至，使，连接．

(1)求证：为⊙O的切线；(2)若且，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．（1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论；（2）设⊙O的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∠FDE=∠CDO，∴，即，∴，∵是半径，∴为⊙O的切线；（2）解：由（1）得，设⊙O的半径，则，∴，，在中，由勾股定理得，，，解得，或舍去，∴⊙O的半径为．18．如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)利用图像，直接写出不等式的解集；(3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为：；(2)或；(3)点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形【分析】本题考查函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题，进行解答，即可．（1）根据点，在一次函数和反比例函数的图像上，利用待定系数法，即可；（2）由函数图像，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，即可；（3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①当，是对角线；②当，是对角线时；③当，是对角线时，根据中点坐标，进行解答，即可．【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上，∴，解得：，∴反比例函数的表达式为：；∴，∴，∴点，∵点，在一次函数，∴，解得：，∴，∴一次函数的表达式为：．（2）解：由（1）得，，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，∴当或时，．（3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像，∴设点，，∵四边形是平行四边形，∴①当，是对角线，∴，解得：，∴点的坐标为；②当，是对角线时，∴，解得：，∴点的坐标为；③当，是对角线时，∴，解得：，∴点的坐标为；综上所述，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．若一元二次方程的两根为、，则的值为_______．【答案】3【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解．根据根与系数的关系得，，则，然后利用整体代入的方法计算求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，，∴，∴故答案为：3．20．如图，动点在直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……按这样的运动规律，经过第110次运动后，动点经过的路径长为_________．【答案】【分析】本题考查了两点之间的距离公式、实数的加法，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出动点第次运动的路径长，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：动点第1次运动的路径长为，动点第2次运动的路径长为，动点第3次运动的路径长为，动点第4次运动的路径长为，则动点第次运动的路径总长为，观察可知，动点运动的路径长是以为一个循环往复的，∵，∴经过第110次运动后，动点经过的路径长为，故答案为：．21．一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个数为“对数”．将千位数字与百位数字交换，十位数字与个位数字交换，得到一个新数，并规定．若已知数为“对数”，设的千位数字为，百位数字为，且，若是一个完全平方数，则________，满足条件的M的最小值为_______．【答案】56161【分析】本题考查新定义运算，整式的混合运算等知识．理解新定义的概念是解题的关键．由题意可知，，从而可求出．再根据是一个完全平方数，a，b不相等，，，且都为整数，即得出．最后由M为最小，说明为满足条件的最小值，即得出，，从而得出．【详解】解：根据题意可知，，∴，∴．∵是一个完全平方数，即为完全平方数，又∵a，b不相等，，，且都为整数，∴.∵M为最小，∴为满足条件的最小值，∴，，∴．故答案为：5，6161．22．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在边上，且，将绕点旋转，点的对应点为点，连接、，则面积的最小值为________．【答案】【分析】由矩形的性质和勾股定理得，则有，根据旋转性质得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，设到的距离为，则，当最小时，面积的最小，过作于点，连接，当三点共线时，有最小值，此时最小值为的长，，然后用等面积法即可求出的长，则，从而求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵点为对角线的中点，∴，∵，将绕点旋转，点的对应点为点，∴，∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，设到的距离为，则，当最小时，面积的最小，过点作与点，交圆于点，则，∵四边形是矩形，∴与不重合，过作于点，连接，∵，∴，∴当三点共线时，有最小值，如图，此时与重合，与重合，∴，在中，,∴，∴，∴，∴面积的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，垂线段最短，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键．23．如图，将一长方形纸片放在平面直角坐标系中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿向点运动，同时动点从点出发沿向点运动，运动3秒后，点和点同时停止运动．此时再将沿翻折，点恰好落在边上的点处．下列说法：①；②点的坐标为；③动点的运动速度为每秒2个单位长度；④点是长方形边上的一个动点，当是以为底边的等腰三角形时，点点的坐标为或其中正确的结论是．（填序号）【答案】①②【分析】作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，过点作于点．利用翻折变换的性质求出，即可判定①②正确；求出，即可判断③错误，利用勾股定理构建方程求出点，的坐标，即可判断④错误．【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，过点作于点．当时，，，，，，，故①正确，四边形是矩形，，，四边形是矩形，，，由翻折变换的性质可知，，，，，故②正确．设，则有，解得，，点的运动速度为单位长度秒，故③错误，垂直平分线段，，设，则，解得，，，设，，，解得，，当是以为底边的等腰三角形时，点点的坐标为或，故④错误．故答案为：①②．【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形判定，矩形的性质，坐标与图形变化对称，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．光环购物中心销售甲、乙两种商品，甲种商品每件售价45元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价60元．(1)甲种商品每件进价为元，每件乙种商品利润率为；(2)若该购物中心同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2080元，求购进甲种商品多少件？(3)在“元旦”期间，该购物中心对甲种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于400元不优惠超过400元，但不超过600元按售价打九折超过600元不超过600元的部分打八折，超过600元的部分打6折优惠按上述优惠条件：若小华一次性购买甲种商品实际付款486元，若没有优惠促销，求小华在该购物中心购买同样多的甲种商品应付款多少元？【答案】(1)36；；(2)购进甲种商品30件；(3)540元【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程．（1）甲种商品每件进价为a元，根据利润率为，求出a，即可求解；根据每件乙种商品的进价和售价，求出利润率即可；（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据总进价为2080元，列出方程，即可求解；（3）设小华打折前应付款为y元，分两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：设甲种商品每件进价为a元，根据题意得：，解得：．故甲种商品每件进价为36元．每件乙种商品的利润率为．（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得：，解得：．答：购进甲种商品30件．（3）解：设小华打折前应付款为y元，折前购物金额超过400元，但不超过600元，由题意，得：，解得，（