山东省青岛第二中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

山东省青岛第二中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班一、选择题（每题5分，共30分）要求：从每小题给出的四个选项中，选出正确的一项。1.已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值为（）A.0B.1C.2D.32.若等差数列{an}的公差为d，且a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则d的值为（）A.2B.3C.4D.53.已知函数f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在区间[1,3]上的最大值为2，则x的取值范围为（）A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.(-∞,2]∪[2,+∞)4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC的值为（）A.3B.4C.5D.65.已知数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式为（）A.an=2^n-1B.an=2^n+1C.an=2^nD.an=2^n-26.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值为（）A.-1B.0C.1D.2二、填空题（每题5分，共30分）要求：将答案填入空格内。1.已知函数f(x)=x^2-2ax+1，若f(x)在x=a处取得极值，则a的值为__________。2.若等差数列{an}的公差为d，且a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则d的值为__________。3.已知函数f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在区间[1,3]上的最大值为2，则x的取值范围为__________。4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC的值为__________。5.已知数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，则数列{an}的通项公式为__________。6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，若f(x)在x=1处取得极值，则该极值为__________。三、解答题（每题10分，共20分）要求：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.已知函数f(x)=x^3-9x，求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。2.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，求该数列的前10项和S10。四、证明题（每题10分，共20分）要求：证明过程要完整、合理。1.证明：若等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则数列{an^2}也是等差数列，并求出其公差。2.证明：若函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1在x=1处取得极值，证明该极值为极大值。五、计算题（每题10分，共20分）要求：精确计算，并写出计算过程。1.计算定积分I=∫(2x^3-6x^2+3x)dx，在区间[0,2]上的值。2.计算复数z=(1+2i)/(3-4i)的值，并将结果表示为a+bi的形式。六、应用题（每题10分，共20分）要求：根据题意列出方程或方程组，并求解。1.某商品原价为x元，经过两次折扣后，最终售价为y元。第一次折扣为原价的8折，第二次折扣为第一次折扣后的9折。若最终售价为72元，求原价x。2.一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了t小时后，汽车行驶的距离S（单位：公里）可以用公式S=60t+30t^2表示。若汽车行驶了3小时后，求汽车行驶的总距离。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：f(x)的导数为f'(x)=6x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。f''(x)=12x-6，f''(1)=6>0，故x=1为极小值点，极小值为f(1)=0。2.B解析：由等差数列的性质，有a3=a1+2d，a5=a1+4d，a2=a1+d，a4=a1+3d，a6=a1+5d。根据题意，得a1+a1+2d+a1+4d=9，a1+d+a1+3d+a1+5d=15，解得d=3。3.A解析：f(x)的导数为f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。f''(x)=2>0，故x=2为极小值点，f(2)=2^2-4*2+4=2。4.B解析：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=16/40=2/5，故sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(2/5)^2)=√(21)/5。同理，sinB=√(21)/5，sinC=√(21)/5。因此，sinA+sinB+sinC=3√(21)/5。5.A解析：由递推关系an=2an-1+1，得an-1=2(an-1-1)，即an-1=2^n-2。因此，an=2^n-1。6.C解析：f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。f''(x)=6x-6，f''(1)=0，故x=1为拐点。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。二、填空题1.a解析：f(x)的导数为f'(x)=2x-2a，令f'(x)=0，解得x=a。f''(x)=2>0，故x=a为极小值点，极小值为f(a)=a^2-2a^2+1=1-a^2。2.3解析：由等差数列的性质，有a3=a1+2d，a5=a1+4d，a2=a1+d，a4=a1+3d，a6=a1+5d。根据题意，得a1+a1+2d+a1+4d=9，a1+d+a1+3d+a1+5d=15，解得d=3。3.[2,3]解析：f(x)的导数为f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。f''(x)=2>0，故x=2为极小值点，f(2)=2^2-4*2+4=2。4.5解析：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=16/40=2/5，故sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(2/5)^2)=√(21)/5。同理，sinB=√(21)/5，sinC=√(21)/5。因此，sinA+sinB+sinC=3√(21)/5。5.an=2^n-1解析：由递推关系an=2an-1+1，得an-1=2(an-1-1)，即an-1=2^n-2。因此，an=2^n-1。6.1解析：f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。f''(x)=6x-6，f''(1)=0，故x=1为拐点。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。三、解答题1.解析：f(x)的导数为f'(x)=3x^2-9，令f'(x)=0，解得x=±√3。f''(x)=6x，f''(√3)=6√3>0，f''(-√3)=-6√3<0。故x=√3为极小值点，极小值为f(√3)=(√3)^3-9√3=-6√3；x=-√3为极大值点，极大值为f(-√3)=(-√3)^3-9(-√3)=6√3。2.解析：S10=n/2*(a1+an)，其中n=10，a1=1，an=a1+(n-1)d=1+9*2=19。S10=10/2*(1+19)=5*20=100。四、证明题1.解析：由等差数列的性质，有an^2-an-1^2=(an-an-1)(an+an-1)=d(an+an-1)。因为an+an-1=2a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n，所以an^2-an-1^2=2d(n-1)。因此，{an^2}也是等差数列，公差为2d。2.解析：f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4，f''(x)=6x-6。f'(1)=0，f''(1)=0，f'''(x)=6>0，故x=1为拐点。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。因此，f(x)在x=1处取得极大值。本次试卷答案如下：四、证明题1.解析：由等差数列的性质，有an^2-an-1^2=(an-an-1)(an+an-1)=d(an+an-1)。因为an+an-1=2a1+(n-1)d=2+(n-1)*2=2n，所以an^2-an-1^2=2d(n-1)。因此，{an^2}也是等差数列，公差为2d。2.解析：f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4，f''(x)=6x-6。f'(1)=0，f''(1)=0，f'''(x)=6>0，故x=1为拐点。f(1)=1^3-3*1^2+4*1-1=1。因此，f(x)在x=1处取得极大值。五、计算题1.解析：计算定积分I=∫(2x^3-6x^2+3x)dx，首先求出原函数F(x)=x^4-2x^3+3x^2+C。然后计算定积分的值：I=F(2)-F(0)=(2^4-2*2^3+3*2^2)-(0^4-2*0^3+3*0^2)=16-16+12=12。2.解析：复数除法可以转化为乘法，即z=(1+2i)*(3+4i)/