定积分应用历真题集锦

1、定积分的应用(一)平面图形的面积1.求曲线y = X 2S2(1 )= a =3 ,1 a与直线y = x 2所围成的平面图形的面积.(1990 年)2 2 9【解答】S丿(x 2)-x2dxp2 .已知曲线y=a、x,a 0与y=l n.x在点(xo,y)处有公共切线如图，(1)求a的值与切点坐标；(2)两曲线与x轴所围成的平面图形的面积S.(1994年)【解答】在该点既相交又相切(纵坐标相等；斜率相等)(1)由题意知乳小川曲0得a(2) 列出F(x) = -xj f(x)dx,并验证它所满足的罗尔定理的条件； L.(a(x)：仝=(lnx)：仝2xo2&。px解得a L,1 =1 n .

2、x0即有a ，切点为(e,1);xo124(2)选取y作为积分变量，则有S = Jo(e2y -e2y2)dy=乞一o623. 在曲线y = x2,x_0上某点A作一切线，使之与曲线以及 x轴所围 成的平面图形的面积为 丄，试求(1)切点坐标；(2)过切点A的切12线方程.(1988年)【解答】切点坐标为(1, 1),切线方程为y = 2x-1.4. 设曲线J : y = 1 - x2,0空x乞1与两坐标轴所围成的平面区域被曲线L2: ax2分为面积相等的两部分，其中a为大于零的常数，试确 定常数a的值.(1991年)丄1【解答】S = J 气1-x2-ax2)dx , S = .0(1-x2

3、)dx 二 ST 5 则有5. 设曲线丫 = e：x 0，试在曲线上找一点使过该点的切线与两坐标轴 所围成的平面区域面积最大，并求出该面积.(1992年)【解答】设切点为P(a,e)，则过该点的切线斜率为e，切线方程为 y-e=-e(xa);切线与两坐标轴分别交于(0,(1 a)e)和(1 a,0)； 从而求得 !(1 a)1 (本题核心)证明F (x)的单调性，从而证明满足F (x)=0的 的唯一性.11提示：要证 Ef(x)dx,设 F(x)=-xJ f (x)dx-x以微分中值定理作为解题主要理论依据的题在考研中经常出现，本题也属此类,但以积分形式出现，有新意.e = S(a)，求得驻点

4、为1， 1 (舍去).2所求点为(1,eJ)，面积为2eJ.6. 设y二f(X)是0,1上的任一非负连续函数，(1)证明存在：(0,1)使得在0,上以f()为高的矩形面积等于,1上 以y = f(x)为曲边的曲边梯形的面积；_2 f (x)若y二f (x)在(0,1)内可导且f (x)-，证明是唯一的.X(1998年数一 6分)难度0.28,区分度0.43(11)【考查知识点】(1) 根据题目描述的几何意义，列出欲求的应满足的式子;1f ( ) f (x)dx7. 设曲线极坐标方程为亍二ea，(a . 0)，则该曲线上相应于二从0变到2二的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 丄一1).4a(20

5、03年数学二填空)【分析】在极坐标系下，由曲线r =r(R，直线，及八1所围成的 平面图形的面积为丄fr2(0)d日，于是有A(e昭)2d日=-e2珀旳.22 *o2 o8. 位于曲线y二xe(0乞x ： *)下方，x轴上方的无界图形的面积 是1. (2002年数学二填空)【分析】这是无穷区间上的广义积分的几何应用题， 所求面积用广义 积分表示为 xedx；本题难度值为0.80，区分度为0.45，属于 第V类试题.9. (2001年数学二)设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x 0)到 坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点(-1,0).(1)求曲线L的方程;求L

6、位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所 围图形的面积最小.【分析】第一问显然是解微分方程的定解问题，其中关键是列出微分方程 ：xyy-xy ;第二问是最值问题，关键是写出图形面积的表达 式.本题得分率较低，一个主要的错误是对截距的理解，写成了 y-xy , 这样往下就不好做了 .本题难度值为0.35,区分度为0.55,属于V类.fe2x x 兰 010 .设F (x)2；, S表示夹在x轴与曲线y二F(x)之间的面积,le , x 0对于任意的t 0, S(t)表示矩形X岂t,0岂y岂F (t)的面积.求S(t)二S - S(t)的表达式与最小值.(2004年数学四)【分析】画

7、出S, Si(t)的图形，然后建立它们的表达式：矩形面积S(t)=2te/，计算S=1要用到无穷积分，建立S(t) = S S(t)的 表达式；(这就考察了考生能否把一个实际问题转化为数学问题的综合能力) 最后应用函数导数与函数极值的关系定理求出S的最小值.(在计算过程中考察了考生对无穷积分敛散性的概念是否理解及计 算无穷积分的能力，同时也考察了考生是否会求函数的最小值.)【解答】(I),S(t)=2te= S(t)=1-2te = tE (0,址)1(II) S(t) = -2(1 -2t)e是唯一驻点11 10 t -,S(t) 0;t-,S(t) 0可知，t=,S(t)为极小值。或2 2

8、 2S”(t) =8(1-t)e 2= S (l)=4 .0= S(1)为极小值也是最小值.2 e2 e11 .已知抛物线y二px2 qx (其中p :：: 0,q 0 )在第一象限内与直线x y =5相切，且此抛物线与X轴所围成的平面图形的面积为S.问p和q为何值时，S达到最大值？求出此最大值.(2001年数学三)【分析】这是一道综合了微分与积分等概念的题目.利用定积分求出S 的面积S( p, q),再利用抛物线与直线相切的条件，确定p和q的关系， 从而将求S( p, q)的极值化为一元函数极值问题.本题难度值为0.54，区分度为0.55，属于第V类试题.X轴的交点横坐标【解答】依题意知，抛

9、物线如图所示，求得它与为 X = o,x2 = _ q=pq3x y = 5,2丄y = px qx,V(1 q)2.面积 S = p P ( px2 qx)dx 二 .因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点由方程组丿 得px2 (q T)x - 5 = 0，其判别式必等于零，因而有p =3323( q 1)从而得到S(q)=誥厂S (小200q (3 ;q)解得驻点q=3.当 0 ： q ： 3 时，S (q)0;当 q 3 时，S (q) ： 0.于是当q=3时，S(q)取得极大值，即最大值. 此时p = - 4，从而最大值为S二竺.532(二) 平面曲线的弧长1.设位于第一象限的曲线y

10、= f(x)过点(,丄),其上任一点P(x,y)处的2 2法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.(1)求曲线y = f (x)的方程；已知曲线y =s inx在0,二上的弧长为丨，试用丨表示曲线y = f (x)的弧长s.(2003年数学二)【分析】本题是微分方程与定积分几何应用题，涉及内容有曲线的法 线,一阶微分方程求解，定积分几何应用等.根据已知条件求出曲线 y =f (x)的方程以及用定积分表示曲线 y =sinx在0,二上的弧长都是基 本要求.但由于y二f(x)是椭圆位于第一象限的部分，其弧长以及y =sinx在0,二上的弧长丨都是算不出来的，故需通过定积分的换元法找到丨与s之间

11、的关系.n 主要错误是没有弄明白第二问的题意，不写出丨=2 J1 cos2xdx的表达式，便试图从131 02 14.x3所以抛物线在点M （x, y）处的曲率半径=（x）二丄二k3(i_y2)2yJ(4x 1)2抛物线上AM的弧长为S = s(x)dx 二由参数方程求导公式得d-dxdsdxd2?X114xdx.dsdsds2,4x1 dxds2-(ds9.本题得分率只有40%,究其原因是不少考生没有弄清题意，不知道求 什么;其次，虽然给出曲率的一般公式（目的是减少考生背公式的数量） 但仍然有不少考生不知道曲率半径为曲率的倒数 ，从而无从下手解题. 本题难度为0.51,区分度为0.57,属于

12、V类试题.3.设曲线L的极坐标方程为r =rL） ,M（rJ）为L上任意一点，M（2,0） 为L上一定点若极径OM,OM与曲线L所围的曲边扇形面积等于L 上M0,M两点间弧长值的一半，求曲线方程.（1997年数学二）（三）旋转体的体积1. 平面图形A由x2 y2x及厂x所确定，求A绕x=2旋转一周 的旋转体体积.（1993年数学二,9分）2. 求由曲线y=3-x2-1与x轴所围成的封闭图形绕y=3旋转一周的旋转体体积.（1994年数学二,9分）(四) 综合题目1过坐标原点作曲线y =ln x的切线，该切线与曲线y=ln x及x轴围成 平面图形D,求D的面积A;求D绕x=e旋转一周所得旋转体的体

13、积V.(2003年数学一)【分析】本题考察切线方程的求法； 平面图形的面积；旋转体的体积 等基础知识，比较容易.【解答】设切点为(x0,lnx0)，切线斜率为y =-，切线方程为y = ln X。丄(x -X。).Xo以(x,y)=(0,0)代入得x。二e.于是切点为(e,1)，切线方程为x二ey .1 1(1) 面积 A= L(ey _ey)dy = ?e_1.115(2) 体积7 二 (e -ey)2dy (e -ey)2dy(5e2-12e 3)、0、06【典型错误】本题第一问的解答情况很好，绝大多数考生都能够得到正确的面积值1只有少数考生将面积写成A= 0 (ey -e)dy ；第二问

14、的考试结果比预想的要差，从解答情况上看，旋转轴不是坐标 轴并不是出错的主要原因，错误多数是因为用错了体积公式，如将公、 、 1 2 、 1 2式写成 V =二.0(ey -ey) dy，或 V =二.0(e -ey) -(e - ey) dy这说明有些考生仍然只是死记公式，并不了解公式的来历，从而也没有真正理解公式中各部分的意义.2. 求曲线y = x2-2x，与直线x = 1,x = 3以及x轴所围成的平面图形面积为S,并求该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积 V.(1997 年数学四)s=2;x_x3.(2004年数学二)曲线 八与直线x=O,x=t(t .0)及y=0围成一曲线梯形，

15、该曲线梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t) .(I)求型的值；(11)计算极限14.t F(t)【分析】分别写出旋转体的体积，侧面积以及底面积，不必积分，便可 求器及计算问誥(I) S(t)訂；2兀=2订(X_Ke e ,)dx,2為=2.x_xt e e 2V(t) () dx =t ex2)2dx2t-t/ee2二(2)0 2j x2 i (II) F(t)*ze 十e 、2S(t)广%=: () = limlim2J和 F (t)t-te +e d=im -t 匚=1t 八-e e考查知识点求解旋转体的体积，侧面积,底面积即定积分

16、在几何上的 应用部分内容，主要错误是有一些考生对旋转体体积，侧面积的公式的 来龙去脉不了解，死记硬背，因而常常会出现错误.设直线y二ax与抛物线y二x2所围成的平面图形面积为S,它们与直线 x-1所围成的平面图形面积为S2，且a1 , (1)试求a的值使SS2 达到最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得 旋转体的体积.(？)3. 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x =(y) (y _0)绕y轴旋转一周而 成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求当以3m3/min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积以二m2/min的速率均匀扩大 (假设注入液体前，容器内无液体)(1)根据t时刻液面的面积，写出(y)与t之间的关系；求曲线x =(y)的方程.本题为综合性应用题，为了给学生提供解题思路，设计了台阶即第一问 因而降低了难度；建立旋转体体积和(y),从而得到(y)与t之间的关 系，然后通过对求导得到微分方程.法2:根据液体体积的变化用微元法直接建立微分方程.最后解微分方程即得到曲线xO)的方程.本题得分率极低，超过1/3的