定积分公式表正式版

1、定积分公式表正式版1. y=c(c 为常数)y=02. y=xAn y=nx( n-1)3. y=aAx y=aAx Ina y=eAx y=eAx4. y=logax y=logae/xy=lnx y=1/x5. y=s inx y=cosx6. y=cosx y=-si nx7. y=ta nx y=1/cosA2x8. y=cotx y=-1/si nA2x9. y=arcsi nx y=1/Vi -xA210. y=arccosx y=-1/Vl 帜八211. y=arcta nx y=1/1+xA212. y=arccotx y=-1/1+xA2(1)dx = c U为常数)tadx

2、 =十十 uJ In a(tj 0T a 5dxJ?T7(10)$ 沁=aK +cpin=-g沐JC0SXdfj： =sin x + c(8)Jcsc2 xdx =FgA + C(9)Jsec2 xdx.-=tg工dx = arc sin 7-arccos 蛊化arctj;十 u(11)-arceigx + e对这些公式应正确熟记可根据它们的特点分类来记 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（ 3）为幕函数的积分，应分为口工-一与厂-一十匚当口工一1时，十,积分后的函数仍是幕函数，而且幕次升高一次特别当匚=时，有当a = -1时，J 匚I公式（4）、（ 5）为指数函数的积分

3、，积分后仍是指数函数，因为丿，故、（宾：，”）式右边的工二是在分母，不在分子，应记清当丄七时，有.戶二八 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数； 指数函数是底为常数，幕为变量要加以区别，不要混淆它们的不定积分所采用 的公式不同公式（6）、（ 7）、（ 8）、（ 9）为关于三角函数的积分，通过后面的 学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分dx = arcsin x + = -arccosz + c公式（11）是一个关于有理函数的积分卜 &K1,I = ax = artt孕 + c = -arcctj;十 u

4、1十* J 1十下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积 分公式求不定积分.5（为任意常数)例2求不定积分分析：先利用恒等变换“加一减一” 公式求积分的形式.将被积函数化为可利用基本积分1解：由于-” 八土 -】十!1，所以j忌例1求不定积分L黒九1 分析：该不定积分应利用幕函数的积分公式解.一1 ?3 / 亠12x-+ 亡（为任意常数）例3求不定积分L - 分析：将按三次方公式展开，再利用幕函数求积公式解:也丁必-3jW jx%JT 十 亍必-|z1=X十一Etnx十匚 2例5求不定积分F= 1分析：基本积分公式表中只有 产*但我们知道有三角恒等式：dx29扛9扌1 了

5、 cl X 一 一 口却中一圧* X* -X +C 573例4求不定积分（为任意常数）分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次解:+ COS K .ax（为任意常2解:sec x _ 1）必同理我们有:Jcse-占? -cf呂jc-（为任意常数）（为任意常数）（为任意常数）1.（一）含有axdxbaxb的积分（a 1ln aax2.(axb) dx3.dx = ax b4.2x . dx = ax b5.dxx( ax b)6.dxx2(ax b)7.9.10.11.12.a(2 (ax a0)(ax1)1(ax21bxb)blnb)2axax常用积分公式b) C2b(ax b)b2ln

6、axax b診n|ax b| Cx2dx(ax b)2x(ax b)dx丄(lnaax2bln ax bb2ax b)dx2x(ax b) b(ax b)含有ax b的积分Tax dx = J(axb)33a215a2x、. ax bdx =x2 ,ax bdx =dx = ax bdx = ,ax bax b(3ax 2b). (ax b)3 C2(15a2x2 12abx 8b2). (ax b)3 C105a7 (ax 2b) ax b C 3a2刍(3a2x2 4abx 8b2)、ax b C 15adxx ” ax bC (b 0)C (b 0)15.16.17.18.(三)19.2

7、0.21 .(四)22.23.24.25.26.dx _ Taxba dxx2 ax bbx 2b x * ax bLdx = 2、尸 b xx , ax bax b ,2 dx =xa dx2 x vax b含有x2 a2的积分dx1. x 2 = arcta nCx aa adx _x-22、n =2(x a )2(n1)a (x2n 3dxn 12(n 1)a(x a )dxxa2|xalxaC含有2 axb(a 0)的积分dx2-axax(b 0)C (b 0)x2ax-dx b12aln ax22x2 ax-dx bdxax2 bdxx(ax2 b)1ln2b2x2axdxx2(ax

8、2 b) bx bdxax2 b27.dxa .2 = 2ln x (ax b) 2b2 .ax b2x28.dx(ax2 b)22b( ax2 b)12bdxax2 b29.30.(六)31.32.33.34.35.36.37.39.含有ax2bxdxax2 bx c2 ax含有c(a 0)的积分2丄 2ax barcta nC4ac b2、4ac b22ax b b2 4ac,b4acln2ax bb2 4ac(b2 4ac)2(b 4ac)x dxbx cln ax 2abx cbdx22a axbx c2 /a (a0)的积分dx2 2x a=arsh aln(x 、xa2) Cdx2

9、3a )dx =2 a2x2xdxx2 - 22a x adx =23a )a2 C=dx =2a )xx2a2dxx2 , x2 a2x2 a2dx2a一 ln( x2x2 a2)llnax、x2a2ln(x2 2_xaa c 2 x a2a xx22 x a22a . / ln( x23 4； 22a ln(xx a ) C840.41 .42.43.44.(七)45.46.47.48.49.50.51 .52.53.54.55.:. 223x 22 -2.(x a ) dx =(2x 5a xx、. xadx =adx = -(2x284a c片ln( x x a ) C8:. 2aln

10、ja-ln(x2 2 x a22dx = x ax12 2-x adx =x含有.x2(a 0)的积分dx22x aG = ln a22 x adx.(x2 a2)3a2dx =23a )dx =a22a .ln22x22 3x a )dx =Indxxx2 a21=arccos a xdx2 f 22x . x a2 2x a2a xx2 a2dx =2aIn.(x2 a2)3dx = -(28xJx2 a2dx =3x25a2) - x2x2 a2)3 Ca2x2 一 x2 a2dx = (2x2 a2) .8r22_x a：=?2adx =、x aaarccosl* * * * xl22

11、X a .2 dX =xIn x含有a2x2 (a 0)的积分dxdxx=arcsin C a(a2 x2)3(dx =1一a2=x24a . ln x856.57.58.(八)59.60.61.62.63.64.65.66.67.68.69.70.2 aarcs in22/ X dx =12 2a x.x arcs ina2dxx2 ,a2 x22 2a x2a xx3 4. xa arcs in8a2a . x arcs inVa2 x = XX2X2/ X2dx =評X2 a2)、L4a . x arcs inC8a22.a xdx =x 22Vax2 dx = xaln a2 2ya_

12、x- carcsi n? Ca含有ax2 bx c (a 0)的积分dx, ax2 bx cTax2bx x = 2ax_ Vax2 bx c4a4ac b2In 2ax b 2嘉bxc C一 ax2 bx=dx = 1bxcc a In 2ax b 2VJax 2牯bx c Cdx、c bx ax2 c bx ax2dx xc bx ax2一(x a)(bdxb)Ja、(x a)(b x).(x a)(b x)dx1. 2ax barcs inab2 4ac2ax b ,2c bx ax 4a3x ax bb2 4ac .arcs in 8 a3b22ax bb . 2ax b arcs i

13、n= 2 , a3b2x）的积分(b a)ln( p x a(b a)arcsin J _C2arcsin J _C (a b)22x a b . (xa)(bx)4acC4ac71 .72.(九)73.74.75.76.77.78.(十)79.80.81 .82.83.84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.101.(a b)（十一）含有三角函数的积分sin xdx = cosx C cosxdx = si nx Ctan xdx = In cosx Csec xdx = lntan(-)C = lnsecx tanx4 2Cl

14、nsi nxcot xdx =Ccsc xdx = lntan2C = lncscx cot xC2sec xdx = tan xCcsc2 xdx =cot xCsecx tan xdx = secx Ccsc x cot xdx = csc x2x 1sin xdx = sin2x242人x 1cos xdx = sin 2x24n1 n 1sin xdx = sin xcosxnn .1 n 1.cos xdx = cos xsinx n1 cosxn 1n 1 sin x1 sin xdx nsin xdxn,n 1cos x n 1 cos x1 cos xsin xdx =mnsi

15、n2 xdxcosn 2 xdxdx.n 2 sin xdxn 2n 1 cos xm 1. n 1m 1 cos xsin xnm n1m 1. n 1ncos xsi n xmcos2nxsin xdxm n 2|cos xsin xdxm nm nsin axcosbxdx =cos(a b)xcos(a b)x C2(a b)2(a b)1cosax cosbxdx =sin(a b)x(a b)dxa bsinx-=7 arcta n a2 b2ata n2dx1sin(a b)x2(a b)b-C (a2b2)Ca bsinxb2a_b arctadxa bcosx a2dxa b

16、cosxa bdx2 22a cos x b sin xdx222a cos x b sin xxsin axdx = Asin axax2 sin axdx =(a2b2)a bta显)a b 2Carctan(b tan x) abaab(a2b2)(a2b2)1 2x cosax abta nx abta nx a1xcosax a2 .2 xs in ax a23 cosax ax cos axdx = 占 cosaxa2 1 2x cosaxdx = x sin axa含有反三角函数的积分(其中1 .xsin axa2x cos ax a2飞 sinax aarcsin dx = x

17、arcsin Faxarcsin xdx =(22)arcsin4x2 arcsin xdxaarccos 毛x =a3x . xarcs in31 / 29(x2a2)、a2x2Cx xarccosaa22X./Xxarccosdx =(一a 22)arccos4ax.a2 x24102.103.104.105.106.107.10 8.109.110.111.112.(十二)113.114.115.116.117.32XxX 1 , 2 小 2、r22 c118. x arccos-dx = arccos (x 2a ) ,a x C a 3a 9119.xarcta n dx =ax a

18、rcta naaln( a2x2) Cx1 22xa120.x arcta n dx=(ax)arcta n x Ca2a2332x ,xx a 2a ,121.x arctandx=arctanxln(a x ) Ca3a 66（十三）含有指数函数的积分12 2.axdx =1ax CIn a123.ax .e dx =eax Ca124.ax .xe dx =1-2(ax1)eaxCan ax .1n axnn 1 ax .125.x e dxx ex e dxaax126.xaxdx =xaIn aya (In a)127.12 8.129.n x1 nx a dx = x aIn ae

19、ax sin bxdx =eax cos bxdx =nIn an 1 x |x a dxax /r 2e (asinbx a2 b22 eax(bsinbxa bbcosbx) a cosbx)ax . ne sin bxdx =1ax n 1 ce sinbx(asinbxa bnCCn bcosbx)n(n2 a1)b2b2n2ax . n 2e sinbxdxaxn1axn131.e cosbxdx =22 2 e cosa bnn(n1)b2axn 222 2e cosbxdxab n130.1 bx(a cosbx（十四）含有对数函数的积分nbsin bx)132.ln xdx =

20、 x ln xdx=In In xxln xxn In xdx =n 1xn 1(ln x十）Cn 1135.(In x)ndx = x(lnx)nn (In x) dxmn1 m 1nnmn 1136. x (In x) dx = x (In x)x (In x) dxm 1m 1（十五）含有双曲函数的积分137.shxdx = chxC13 8.chxdx = shxC139.thxdx = In chxC140.sh2xdx =-21sh2x C4141.ch2xdx =21sh2x C4（十六）定积分142.cosnxdx =sin nxdx =143.cosmxs in nxdx =

21、 00, m n144. cosmxcos nxdx =,m n0, m n145. sinm xsi nnxdx =,m n146.0 sin mxsin nxdx = 0 cosmxcosnxdx =0, m n,m n22 n .2 n .147.= 0sin xdx = 0 cos xdxhn2InIn（为大于1的正奇数），=11（为正偶数），=2 2 2换元积分法a)b)c)当有理分式函数中分母的阶较高时=1常采用倒代换、第一换元积分法（凑微分法）鈕何Q輕处=J氐3血=F（u）+C =叫枫Q 2、常用凑微分公式积分类型换元公式1=丄对就七方）（4H 0）i - HA町只巧办=打川上咖

22、旳（屮刈）u=x可/4力2弘=Jf佃期山力u -Ihj第L - s1换寸血）诫诚鲁J几3）的u =ta-元6 Jy(smx) -cosxctx = (sinxsnurn积 分7 J/cosx) 血也=-(casdcas xU法S.J/(tanr)eec? xdx - ”(伽讹 taiuu = tan9 J/(cot r) cs c1 xdx = Jj (coi Rd cot xu =cotId ./(aiTtaii 打厂dtr = Ju =aictan.A11 J /(ancsiii #) 必 _ (warn (arcsine)Jl - Fu - uesiit 丫注：以上使用的多为三角代换,三

23、角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：当被积函数中含有.可令- 一二三、第二换元积分法J肌如=兀刑加）=PW + C=川呱切+ C例题:凑微分法例1求不定积分一 Iax.例2求不定分-I二.例3计算不定积分例4计算不定积分J r 1例5求不定积分 例6求下列不定积分例7求下列不定积分：J J冲(1) ； 例8求下列不定积分：例9求不定积分例10求下列不定积分：sm社炽srnws兀日兀(1) ；例11求下列不定积分cos3 xdx(1)Jf Q、LJX例12求不定积分.r 一1dx例13求不定积分一、.例14求下列不定积分CSCsec 皿,(2)例15求下列不定积分sec*5 xdx,rtai

24、l r sec xdx(1)Idtr例16求不定积分-I - 例17求例18用换元法求不定积分sin cos 7i , Vsin r- cos x例19试用换元法求不定积分例20试用换元法求不定积分J? + cos 2x1-x11-7例21求不定积分例22求不定积分 第二换元法例23求不定积分J , 1 3例24求不定积分一，1 +-例25计算例26求不定积分例27求不定积分例28求不定积分例29求不定积分例30求不定积分例31求不定积分j A3F缶 J注尹（小 f ;J mV + 萄.I练习：求下列不定积分J圧严2.设f甘好4 ,求冗刃积分公式表1、基本积分公式:一 (1)J- = ln|A

25、| + c(伪常数)屮岔=(3)屮十】亠& (密工一1)tadx = 亍十y 口0*氏芦1(5)(8)Jsec3工占工-十匕(7) JI -, ax = aicsm a (10)dx=-*-c(11)1 +2、积分定理:(1)(2)xf t dt f xab xf t dt f b x b xa xf a x a xb f (x)dx(3)若F(x)是彳(x)的一个原函数，则a V 7F(x)b F(b)F(a)3、积分方法1 f x ax b;设： ax b t2 f x a2 x2 ;设:x asin tf xx2a2;设：xasectf x.a2x2;设：xatant分部积分法：udv

26、uv vdu附：理解与记忆对这些公式应正确熟记可根据它们的特点分类来记 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.公式（2）、（ 3）为幕函数f 的积分，应分为- -当二时, 积分后的函数仍是幕函数，而且幕次升高一次特别当时，有J*匸戶一产一因为是在分公式（4）、（ 5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数, （卅）=护1“，故$ 討 +u（q0，”叮）式右边的 母，不在分子，应记清y=s是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变应注意区分幕函数与指数函数的形式，幕函数是底为变量，幕为常数；指数函数是底为常数，幕为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用 的公式不同.公式（6）、（ 7）

27、、（ 8）、（ 9）为关于三角函数的积分，通过后面的 学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分dxarcsrn z = -arccosz + c公式（11）是一个关于有理函数的积分+涿 厂1I =7aA = arcix 十 u = -arcct -cJ 1 J + x2下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积 分公式求不定积分.例1求不定积分分析：该不定积分应利用幕函数的积分公式解:（为任意常数）例2求不定积分分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分 公式求积分的形式.匚匚土1 亠,所以解：由于 1 r - 1 .（为任意常

28、例3求不定积分厂 4 .分析：将八 J按三次方公式展开，再利用幕函数求积公式224224解.f（乔-存尸必=J（/ 如壬+卯存-/）必也丁乂-%寸畫也十3aJ屈Ijt _（为任意常数）例4求不定积分cos dx2分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次fees3 dx = T 解: 1cos兀必（为任意常例5求不定积分 ；.分析：基本积分公式表中只有 ，卜但我们知道有三角恒等式：f解:胆 心=jfsec2 x - 1)必-e e卞x心_堪才_ x + c（为任意常数）同理我们有:J(csca X 一 1)必JCSt3 xdx- =. -ctgx - A（为任意常数）（为任意常数）导数公式

29、:(tgx) sec x(ctgx)esc2 x(secx) seex tgx(esex)cscx ctgx(ax) ax In a(log ax) xln a(arcsin x)12.1 x(arccos x)11 x2(arctgx)1/ 21 x(arcctgx)11 x2基本积分表tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx22a xdx22x adx-22a xdx_r2 2a xIn cosxIn sin xIn secxIn cscxIndx2cos xCCtgx C ctgx CCCCC1 arctg a a1, a x In2a a xarcs 岸2sinn x

30、dx2cosn xdxdx2-sin xsec xdx tgx C csc2 xdxctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx CxaxdxCIn ashxdx chx Cchxdx shx C* dx In(x v x2 a2) C2 2x aIn“ x2a2dxx、x222 a:x2a2dxx 2 一 x22 a a2x2dxx 2 一订a22 xoo2Jn(x x2 a2) C22 ,a I22QIn x vx a C22arcs inx C2 asin x2u2u,cosx -11 u22 ,udx -12duu2含有dxax(axaxb的积分（a3

31、nb aax b0)b) dx1a( 1)(axb)dxax b2x dx ax bdxx(ax b)dxx2(ax b)12(ax bablnaxb) C士 2(axaxb)2!ln|ax b2b(ax b)b2 ln axax bx 2dx (ax b)2dxA(ln a1T(ax aax七）2bln ax bb2ax b)dx2x(ax b) b(ax b)含有ax b的积分ax b*yaxdx = -2 J(ax b) C3ax . ax bdx = 15a22 2 2x ax bdx =3 (15a x105a(3ax 2b) . (ax b)3 C12abx8b2) . (ax b

32、)3 Cdx = -(ax 2b)、ax b C 、ax b 3a(一)1.2.3.4.5.6.7.8.9.(二)10.11 .12.13.2x .dxax bdxx、. ax bdxx2 , ax b(3a2x2 4abx 8b2). ax15a、ax b b2b arctan ax bC (bC (b0)0)ax bbxa2bdxx. ax b土空 dx = 2、aT飞x含有x2dxx、ax bax b2a的积分dxx、ax1x2 = arcta n a adx(x2dx2 x i含有ax2a22 axx2ax-dx b2 22(n1)a (x|xalxa1C2alnb(a 0)的积分1

33、arctan ab1 In2、n 1a )2n 322(n 1)adxT22 n 1(x a )(b 0)2丁 ab/ax TbC (b 0)丄 ln ax2a14 .15.16 .17.18.(三)19.20.21 .(四)22 .23 .24 .25.26 .27.28.(五)29.30.(六)31.32.33.34.x2 2 2 (ax2 b)2 2b(ax2 b), x b dx2 dx =2ax b a a ax bdxx(ax2丄inb) 2bdxx2(ax2 b)dxx3(ax2b)ax2 b1 a dx bx b ax2 b-2 In2b2ax2 b1bx21 dx22b ax

34、 bdx = xdxax2 bx c2_- 4ac b2丄 2 ax arctan -.4acxax2 bx1.b2 4ac1 dx = lnc 2a2 axln2ax b 、b2 4ac2ax b b2 4ac,bdxbx c 一22a ax bx c2(b 4ac)(b2 4ac)含有. x2 a2 (a 0)的积分/ J 2 = arshx C1 = ln(x Jx2 a2) C x2a2adxx2 2 2 .(x a ) a x ax 2 dx = Jx2 a2 C/ 2 2(?dx =x2a2 CV)35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.(七)45.46.47.

35、2 2xx 22 adx _、. - a ln(xx2 a2222(x2 a2)3x .( ln( x2 2 x a二 3n x2/2 a cxx2 a2 adxx2 . x2 a2:2 2x a2a x22 . x -22x a dx = x a2a2)3C (x2 a2)3dx _ -(2x2 5a2) . x2 x .x2a2dx_ 3 宀 Cdx 二 fax2a2).xV4aIn (x8、x2a2)Caln亠邑2 2ln(xx2 a2)含有x2 a2 (a 0)的积分archadx.(x2 a2)3-At 血x ax2a2 C2 In248.49.50.51.52.53.54.55.5

36、6.57.58.(八)59.60. 22、3 dx _ 丁亠 C(x a ). x a2x , x -2 2 dx _ - ； x a 、xIn 2 x a a222x .dx22、3x a )x .CIn2 2x 1 x adx1_ - arccos xx2 a2adx _ Jx2 a24 In82 2, x 22、 22x 、x a dx _(2x a V. x a82 2x a22adx _ x a a arccos l2 . x2 a2a?xl_2 2 2 2In xx a i x a2 dx _-x含有.a2 x2 (a 0)的积分dx_ arcsin x Ca2x2a(a2dx2

37、2 a xdx(a2 x2)32dxxa2x2x、口2：22x a xdxa2 x22a . x arcs in C2aarcsin - Ca1 a a2 x2 _ lna x _ 冬 4x 22、2x(5a2x) ax2xLdx _ 妙2 2a x一22dx _ a xxa2 x22a . xarcs in2ax2)3 Ca2)、a2x23 4.a arcs in84a . xarcs in8a Va2 x2 a l n arcs in C a含有ax2 bx c (a 0)的积分dx _ 1 - ax2 bx c aIn 2ax b 2abxc61 .62 .63.64.65.66.67.

38、68.69.70.71.72.ax bxcdx2 ax b 2 ax bx 4a75 .ax2 bx=dxcdx=cbx2 axcbxax2dxxdx cbx2 ax76 .77 .78 .2ax b 2、c bx ax 4a12 ax barcsi n-a, b 4ac1 bxax2 a81 .82 .(a4ac b2 In 2ax b2 掐bxc C In 2ax b 2/a4a2a3x2 bx c Cb2 4ac . arcs in _8 a3b22ax bC4acb . arcs in . 2 a3b22ax b4ac含有J %：或a）（b79 .80 .(x(xx）的积分(b a)ln( Jxx b|)(b a)arcsinC.(x a)(b x)x a)(b x)dxb)（十一）含有三角函数的积分2arcsin J C (a b)2x a b (x a)(b x) (b a)24 arcSin: : C83