解析几何讲义直线方程

1、第五节第五节 圆锥曲线圆锥曲线一、椭圆一、椭圆1 1对椭圆定义的理解：对椭圆定义的理解：平面内动点 P 到两个定点，的距离的和等于常数 2a,当 2a|时，动点 P 的轨迹是椭圆；当 2a=|时，轨迹为线段；当 2a2 Bk0Dk082012江西师大附中模拟 设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0bb0)的左，右顶点分别是 A，B，左，右焦点分别是 F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_13已知椭圆x2my21(m1)和双曲线x2ny21(n0)有相同的焦点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则F1PF2的形状是_14设椭圆 C：x2a2y

2、2b21(ab0)过点(0，4)，离心率为35.(1)求 C 的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标15设 A，B 分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点，(1，32)为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距(1)求椭圆的方程；(2)设 P(4，x)(x0)，若直线 AP，BP 分别与椭圆相交于异于 A、B 的点M、N，求证：MBN 为钝角难点突破162012吉林质检 已知点 M，N 的坐标分别是( 2，0)，( 2，0)，直线 PM，PN 相交于点 P，且它们的斜率之积是12.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)直线 l：ykxm 与圆 O：x2y2

3、1 相切，并与点 P 的轨迹交于不同的两点 A，B，当|AB|62时，求OAOB的值二、双曲线二、双曲线1 1双曲线的定义双曲线的定义到两个定点 F1与 F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（21212FFaPFPF（为常数）这两个定点叫双曲线的焦点注：当 2a=|时，动点的轨迹是两条射线；当 2a|时，动点的轨迹不存在；当 2a=0 时，动点的轨迹是线段的中垂线。2 2双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围xa 或 x-ay-a 或 ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点渐近线离心率实虚轴线段叫做双曲线

4、的实轴，它的长=2a；线段叫做双曲线的虚轴，它的长=2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。a,b,c 的关系注：注：离心率越大，双曲线的“开口”越大。3 3等轴双曲线等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为，离心率，渐近线方程为4.4.注：注：（1）已知渐近线方程为则双曲线的标准方程为的形式，根据其他条件确定的正负。若0，焦点在 x 轴上；若5”是“方程x2k5y2k21 表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 已知中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5，则它的渐近线方程为()Ay2x By52

5、xCy12x Dy 6x4若双曲线y216x2m1 的离心率 e2，则 m_能力提升5渐近线是 2x 3y0 和 2x 3y0，且过点(6，6)的双曲线的标准方程是()A.x23y241 B.y24x231C.x29y2121D.y216x212162012郑州预测 若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，线段 F1F2被抛物线y22bx 的焦点分成 73 的两段，则此双曲线的离心率为()A.98B.53C.3 24D.5472012襄阳调研 平面内动点 P(x，y)与 A(2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为14，动点 P 的轨迹方程为()A.x24y2

6、1 B.x24y21 C.x24y21(x2) D.x24y21(x2)82012唐山二模 直线 l 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，若 l 与 OM(O是原点)的斜率的乘积等于 1，则此双曲线的离心率为() A2 B. 2C3 D. 39已知双曲线 x2y231 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，则PA1PF2的最小值为()A2 B8116C1D010已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y 3x，它的一个焦点为 F(6，0)，则双曲线的方程为_112012朝阳二模 已知双曲线x2my

7、251(m0)的右焦点与抛物线 y212x 的焦点相同，则此双曲线的离心率为_122012太原五中月考 若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与圆(x2)2y22 相交，则此双曲线的离心率的取值范围是_13已知 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，若 A(1，4)，则|PF|PA|的最小值是_14点 M(x，y)到定点 F(5，0)的距离和它到定直线 l：x95的距离的比是53.(1)求点 M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为 C，在 C 上求点 P，使|OP| 34(O为坐标原点)15双曲线 C 与椭圆x227y2361 有相同焦点，且经过点(

8、15，4)(1)求双曲线 C的方程；(2)若 F1，F2是双曲线 C的两个焦点，点 P 在双曲线 C 上，且F1PF2120，求F1PF2的面积难点突破16(12 分)已知双曲线的中心在原点，离心率为 2，一个焦点为 F(2，0)(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点 F，Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，若|MQ|2|QF|，求直线 l 的方程三、抛物线三、抛物线1 1抛物线的定义抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线（不经过点 F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。注：注：当定点 F 在定直线时，动点的轨迹是过点 F

9、与直线垂直的直线。2抛物线的标准方程和几何性质标准方程22(0)ypx p22(0)ypx p 22(0)xpy p 22(0)xpy p图形性质对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标(,0)2pF(,0)2pF (0,)2pF(0,)2pF准线方程2px 2px 2py 2py 焦半径0|2pPFx0|2pPFx 0|2pPFy 0|2pPFy范围0 x 0 x 0y 0y 顶点(0,0)O(0,0)O离心率1e 1e 例例 1 1已知如图所示，抛物线22(0)ypx p的焦点为，在抛物线上，其横坐标为 4，且位于 x轴上方，到抛物线准线的距离等于 5。过作AB垂直于 y 轴，垂足为，OB的

10、中点为。（1）求抛物线方程；（2）过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标。基础热身1设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24xDy24x2动点 P 到点 F(0，1)的距离比到 x 轴的距离大 1，则动点 P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线D抛物线3点 P在抛物线 y22x 上移动，点 Q(2，1)，则线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程是()A(2y1)24x4 B(2y1)24x4C(2y1)24x4 D(2y1)24x44已知抛物线 yax2的准线方程为 y2，则 a_能力提升52012皖南八校一联 若直线 mxyn210(m0

11、，n0)经过抛物线 y24x 的焦点，则1m1n的最小值为()A32 2B3 2C.32 22D.3 2262012泉州质检 若抛物线 y22px(p0)的焦点到双曲线 x2y21 的渐近线的距离为3 22，则 p 的值为()A6 5B6C2 3D37正数 a，b 的等差中项是92，一个等比中项是 2 5，且 ab，则抛物线 y2bax 的焦点坐标为()A.516，0B.25，0C.15，0D.15，08如图 K481 所示，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()图 K481Ay232x

12、By29xCy292xDy23x92012黄冈中学模拟 过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，它们到直线x2 的距离之和等于 5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条D不存在10以抛物线 x24y 的顶点为圆心，焦点到准线的距离为半径的圆的方程是_11设抛物线的顶点在原点，其焦点 F 在 y 轴上，抛物线上的点 P(k，2)与点 F 的距离为 4，则抛物线方程为_12已知 P 为抛物线 y24x上一点，设 P 到准线的距离为 d1，P 到点 A(1，4)的距离为 d2，则 d1d2的最小值为_132012邯郸一模 设抛物线 y2x 的焦点为 F

13、，点 M 在抛物线上，线段 MF 的延长线与直线 x14交于点 N，则1|MF|1|NF|的值为_14一抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，又此抛物线与双曲线的一个交点为(32， 6)，求该抛物线与双曲线的方程15(13 分)已知圆 C 过定点 F14，0，且与直线 x14相切，圆心 C 的轨迹为 E，曲线 E 与直线 l：yk(x1)(kR)相交于 A，B 两点(1)求曲线 E 的方程；(2)当OAB 的面积等于 10时，求 k 的值难点突破16(12 分)A，B 是抛物线 y22px(p0)上的两点，且 OAOB.(1)求 A，

14、B 两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线 AB 过定点；(3)求弦 AB 中点 P 的轨迹方程；(4)求AOB 面积的最小值椭圆椭圆例例已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5、3，过 P 且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。思路解析：思路解析：设椭圆为222222221(0)1(0)xyxyabababba或根据题意求ab、得方程。解答：解答：设所求的椭圆方程为222222221(0)1(0)xyxyabababba或，由已知条件得222253,(2 )53ac24,2,12acb故所求方程为22221116121612xyyx或例例已

15、知椭圆22221(0)xyabab的长轴、短轴端点分别为 A、B，从椭圆上一点 M（在 x轴上方）向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量AB 与OM 是共线向量。（1）求椭圆的离心率；（2）设 Q 是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求的取值范围。思路解析：思路解析：由AB 与OM 是共线向量可知 ABOM，从而可得关于abc、 、的等量关系，从而求得离心率；若求的取值范围，即需求cos的范围，用余弦定理即可。解答：解答：（1）设（-c,0）,则22,.MMOMbbxc ykaac 2,2,2ABbkOMABabbbceaca 与是共线向量，故（2）设|=，|=，=，+=2，|=2，2

16、2222212121 21 21 212212124()24cos12210,()2cos0,0,.2rrcrrrrcarrrrrrarrrr 当且仅当时，【基础热身】1C解析由题意，c1，eca12，a2.b a2c2 3.又椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的方程为x24y231.2C解析焦距为 4，c2，又a2c4，a28，b24，故选 C.3D解析 由ykx2，y28xky28y160，若 k0 则 y2；若 k0，则0，即 6464k0，解得 k1.故 k 的值为 0 或 1.4.12解析 由椭圆定义及|PF1|PF2|4，得 2a4，a2，c1，e12.【能力提升】5D解析 当 a2 时

17、，由 e32，得 c 3，b1，所求椭圆为x24y21；当 b2 时，由 e32，得 a216，b24，所求椭圆方程为y216x241.6D解析 当焦点在 x 轴上时，5m5105，解得 m3；当焦点在 y 轴上时，m5m105，解得m253.7B解析 将椭圆方程化为 x2（k2）y2k1，若椭圆的焦点在 y 轴上，则必有 0k2k1，解得k2.故选 B.8C解析 根据椭圆定义|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，两式相加得|AF1|AF2|BF1|BF2|4，即(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)4，而|AF1|BF1|AB|，|AF2|BF2|2|AB|，所以 3|A

18、B|4，即|AB|43.9C解析 由已知得 F1(1，0)，F2(1，0)，设 G(x，y)，P(x1，y1)，因为 G 是PF1F2的重心，所以x11x13，y00y13(y10)，解得x13x，y13y，代入椭圆方程整理得9x243y21(y0)102解析 易知 A，C 为椭圆的焦点，故|BA|BC|2612，又|AC|6，由正弦定理知，sinAsinCsinB|BA|BC|AC|2.11.14m3解析 由x23y2m1，x2y20，消去 x 并整理得(34m)y28mym0.根据条件得m3，m0，64m24m（4m3）0，解得14m3.12.55解析 由椭圆的定义知，|AF1|ac，|F

19、1F2|2c，|BF1|ac.|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，因此 4c2(ac)(ac)，整理得 5c2a2，两边同除以 a2得 5e21，解得 e55.13直角三角形解析 根据对称性，可以设椭圆和双曲线交于第一象限内的点为 P，|PF1|x，|PF2|y，则xy2 m，xy2 n，故x m n，y m n，x2y22(mn)，又因为 m1n1，x2y22(mn)4(n1)(2c)2，所以F1PF2是直角三角形14解：(1)将(0，4)代入椭圆 C 的方程得16b21，b4.又 eca35得a2b2a2925，即 116a2925，a5，C的方程为x225y2161.(2)过

20、点(3，0)且斜率为45的直线方程为 y45(x3)，设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程 y45(x3)代入 C 的方程，得x225（x3）2251，即 x23x80.解得 x13 412，x23 412，AB 的中点坐标 xx1x2232，yy1y2225(x1x26)65.即中点为32，65 .15解：(1)依题意，得 a2c，b2a2c23c2，设椭圆方程为x24c2y23c21，将 1，32代入，得 c21，故椭圆方程为x24y231.(2)证明：由(1)知 A(2，0)，B(2，0)，设 M(x0，y0)，则2x02，y2034(4x20)，由 P

21、，A，M 三点共线，得 x6y0 x02，BM(x02，y0)，BP2，6y0 x02，BMBP2x046y20 x0252(2x0)0，即MBP 为锐角，则MBN 为钝角【难点突破】16解：(1)设 P(x，y)，则 kMPkNPyx 2yx 212(x 2)，整理得x22y21(x 2)(2)圆 O 与直线 l 相切，|m|k211，即 m2k21，当直线 l 过 M 或 N点时，有 2km0，由 2km0，m2k21，解得 k21，直线 l 与点 P 的轨迹交于不同的两点 A，B，且 M，N 不在点 P 的轨迹上，k21，由x22y21，ykxm，消去 y，得(12k2)x24kmx2m

22、220，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24km12k2，x1x22m2212k2.|AB|（x1x2）2（y1y2）21k2（x1x2）24x1x21k24km12k2242m2212k2.将 m2k21 代入上式得 |AB|22（k4k2）4（k4k2）162，化简得 4k44k230，解得 k212.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m21k212k2，OAOBx1x2y1y22m2212k21k212k21k212k234.双曲线双曲线例例已知动圆 M 与圆221:(4)2Cxy外切，与圆222:(4)2Cxy内切，求动圆圆心 M的轨迹方程。思路

23、解析：思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出 M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。解答：解答：设动圆 M 的半径为 r 则由已知1212|2,|2, | 2 2MCrMCrMCMC。又（-4，0），（4，0），|=8，2 20k5 或 k0，b0)，其渐近线方程为 yabx.由ca 5可得a2b2a25，所以ba2，所以ab12，所以渐近线方程为 y12x.故选 C.448解析 根据题意知 a216，即 a4，又 eca2，c2a8，mc2a248【能力提升】5C解析 设双曲线方程为 4x23y2k(k0)，将点(6，6)代入，得 k36，所以双曲线方程为x29y2121.

24、故选 C.6B解析 以题意得 cb27732c，即 b45c(其中 c是双曲线的半焦距)，所以 a c2b235c，ca53，因此该双曲线的离心率等于53，选 B.7D解析 依题意有 kPAkPB14，即yx2yx214(x2)，整理得x24y21(x2)，故选 D.8B解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b2，所以b2a2（y1y2）（y1y2）（x1x2）（x1x2），所以b2a22y0（y1y2）2x0（x1x2）k0kl1，所以 a2b2，即 ab

25、，所以 ecaa2b2a 2.故选 B.9A解析 由已知可得 A1(1，0)，F2(2，0)，设点 P 的坐标为(x，y)，则PA1PF2(1x，y)(2x，y)x2x2y2，因为 x2y231(x1)，所以PA1PF24x2x5，当 x1 时，PA1PF2有最小值2.10.x29y2271解析ba 3，即 b 3a，而 c6，所以 b23a23(36b2)，得 b227，a29，所以双曲线的方程为x29y2271.11.32解析 抛物线 y212x 的焦点为 F(3，0)，在x2my251 中，a m，b 5，c3，因为 c2a2b2，所以 m4，a2，所以 eca32.12(1， 2)解析

26、 双曲线的渐近线为 bxay0，因为它与圆(x2)2y22 相交，所以圆心(2，0)到该直线的距离小于圆的半径，即|2b|a2b2 2，整理得 b2a2，所以 c2a2a2，得c2a22，所以1e0，b0)，则有 eca2，c2，所以 a1，则 b 3，所以所求的双曲线方程为 x2y231.(2)因为直线 l 与 y 轴相交于 M 且过焦点 F(2，0)，所以 l 的斜率一定存在，设为 k，则 l：yk(x2)，令 x0，得 M(0，2k)，因为|MQ|2|QF|且 M，Q，F 共线于 l，所以MQ2 QF或MQ2QF.当MQ2 QF时，xQ43，yQ23k，所以 Q的坐标为43，23k，因为

27、 Q 在双曲线 x2y231 上，所以1694k2271，所以 k212，所以直线 l 的方程为 y212(x2)当MQ2 QF时，同理求得 Q(4，2k)，代入双曲线方程得，164k231，所以 k3 52，所以直线 l 的方程为 y3 52(x2)综上，所求的直线 l 的方程为 y212(x2)或 y3 52(x2)抛物线抛物线例例已知如图所示，抛物线22(0)ypx p的焦点为，在抛物线上，其横坐标为 4，且位于 x 轴上方，到抛物线准线的距离等于 5。过作AB垂直于 y 轴，垂足为，OB的中点为。（1）求抛物线方程；（2）过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标。思路解析：思

28、路解析：由抛物线定义求 p求直线，MN 的方程解方程组得 N 点坐标。解答：解答：（1）抛物线22(0)ypx p的准线为2px 于是 4+2p=5，=2抛物线方程为y2=4x（）点的坐标是（，），由题意得 B(0,4),M(0,2),又F(1,0),43FAk.MNFA,34MNk .则 FA 的方程为4(1)3yx,MN 的方程为 y-2=34x,解方程组4(1)33y2x4yx ,得8545xy8 4( , )5 5N.【基础热身】1B解析 由题意设抛物线方程为 y22px(p0)，又其准线方程为 xp22，p4，所求抛物线方程为 y28x.2D解析 由题意知动点 P 坐标到点 F(0，

29、1)的距离与到直线 x1 的距离相等，点 P 的轨迹是抛物线3C解析 设点 P(x0，y0)，中点 M(x，y)，x022x，y012y，即得x02x2，y02y1，点 P 在抛物线 y22x上，(2y1)22(2x2)，即(2y1)24x4，故选 C.418解析 抛物线方程为 x2ya，因为准线方程为 y2，所以p22，所以 p4，于是1a2p8，所以 a18.【能力提升】5C解析 抛物线的焦点为(1，0)，该点在直线 mxyn210(m0，n0)上，所以有 2mn2，于是1m1n121m1n (2mn)12nm2mn312(2 23)故选 C.6B解析 抛物线焦点为 Fp2，0，双曲线的渐

30、近线为 xy0，根据对称性知，抛物线焦点到两条渐近线的距离相等，所以|p2|23 22，解得 p6.故选 B.7D解析 正数 a，b 的等差中项是92，所以 ab9；又因为正数 a，b 的一个等比中项是 2 5，所以 ab(2 5)220；而 ab，所以 a5，b4.抛物线方程为 y245x，其焦点坐标为15，0，故选 D.8D解析 过 A，B 分别作准线的垂线 AA，BD，垂足分别为 A，D，则|BF|BD|.又 2|BF|BC|，所以在 RtBCD 中，BCD30，又|AF|3，所以|AA|3，所以|AC|6，|FC|3.所以 p12|FC|32，所以 y23x.9D解析 设点 A(x1，

31、y1)，B(x2，y2)因为 A，B 两点到直线 x2 的距离之和等于 5，所以 x12x225.所以 x1x21.由抛物线的定义得|AB|x11x213.而过抛物线焦点的弦的最小长度(当弦 ABx 轴时，是最小焦点弦)为 4，所以不存在满足条件的直线10 x2y24解析 抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为 2，所以所求圆的方程为 x2y24.11x28y解析 依题意，设抛物线方程为 x22py(p0)，根据抛物线的定义，由点 P(k，2)到焦点的距离为 4 可得p24|2|2，所以 p4，抛物线的方程为 x28y.124解析 由抛物线定义得 P 到准线的距离 d1等于点 P 到焦点 F(1，0)的距离|PF|，又点 A(1，4)在抛物线外部，所以当点 P，A，F 三点共线时，d1d2取得最小值|AF|，即最小值为 4.132解析 由题意知，该表达式的值为定值过点 F 作 x 轴的垂线，设该垂线与抛物线的一个交点为 M，则直线 MF 与 y 轴没有交点，可理解为|NF|，则1