静定拱的内力分析

1、 第五章 静定拱的内力分析 第一节 概 述 什么叫拱？什么叫拱？一般指杆的轴线为曲线形状，一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载作用下会产并且在竖向荷载作用下会产生水平支座反力的结构。生水平支座反力的结构。 正是由于水平推力的作用，正是由于水平推力的作用，使得拱的弯矩要比相应梁的使得拱的弯矩要比相应梁的弯矩小。弯矩小。 拱主要承受压力，因此可以拱主要承受压力，因此可以使用抗拉弱、抗压强的材料，使用抗拉弱、抗压强的材料，如砖、石等。如砖、石等。由于具有水平推力，需要有由于具有水平推力，需要有坚固的基础坚固的基础 。三铰拱三铰拱 带拉杆三铰拱带拉杆三铰拱 静定拱分类：静定拱分类：1 12 2静定

2、拱的各部名称见图静定拱的各部名称见图5-1-15-1-1。 f（拱高)()底铰拱轴(a)(a)三铰拱三铰拱 (b)(b)带拉杆三铰拱带拉杆三铰拱 图图5-1-15-1-1 第二节 三铰拱的内力计算 求解图示三铰拱的支座反力求解图示三铰拱的支座反力FN0FHFByFAyFH图图5-2-1-(a)5-2-1-(a)1.三铰拱的支座反力 FB0(b) (b) 相应的简支梁相应的简支梁AAYFFBBYFF0CAXBXHMFFFf 0CM 相应简支梁在对应于相应简支梁在对应于拱顶铰位置处的弯矩值拱顶铰位置处的弯矩值 当三铰拱的两个底铰在一条水平线上，且只有竖向荷载作用时，三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁

3、的竖向支座反力相等；拱自身的两个水平支座反力互等。 2.2.拱的内力计算拱的内力计算 1 1）基本方法）基本方法截面法截面法 注：注：拱的内力正负号的规定：剪拱的内力正负号的规定：剪力与前规定相同；弯矩以使力与前规定相同；弯矩以使拱的内（下）侧受拉为正；拱的内（下）侧受拉为正；轴力以受压为正。轴力以受压为正。 以图示三铰拱为例说明拱的内力以图示三铰拱为例说明拱的内力计算的一般方法。计算的一般方法。FN0FHFByFAyFH图图5-2-1-(a)5-2-1-(a)解：解：截开指定截面截开指定截面K K，取左侧为隔，取左侧为隔离体，见下页图离体，见下页图(c)(d)(c)(d)，截，截面上的内力均

4、按规定的正方面上的内力均按规定的正方向示出向示出 。FHMFNFQFAy(c) (c) 0M0FQ0(d) (d) 在轴力和剪力的两个正交方在轴力和剪力的两个正交方向上建立投影方程，并建立向上建立投影方程，并建立关于截面形心的力矩方程，关于截面形心的力矩方程，即得：即得：cossin)(1HPAyNFFFFsincos)(1HPAyQFFFFyFaxFxFMHPAy)(11相应简支相应简支梁的内力梁的内力110PAyPAQFFFFF)()(11110axFFaxFxFMPAyPAcossin0HQNFFFsincos0HQQFFFyFMMH0拱的内力拱的内力两者之间两者之间的关系的关系成立条件

5、：成立条件：仅适用于承受竖向荷载且两仅适用于承受竖向荷载且两端底铰在一条水平线上的三端底铰在一条水平线上的三铰拱。铰拱。例例5-2-1 5-2-1 图图(a)(a)所示三铰拱的所示三铰拱的拱轴为半圆形。计算截面拱轴为半圆形。计算截面K K1 1、K K2 2的内力。的内力。 F =10kNPR=4m(a)(a) FAxFBxFByFAyF =10kNPR=4m支座反力图支座反力图 (b)(b) 解解1)1)求支座反力求支座反力 0AM)(33.11)cos(221kNRRFRRqRFPBy 0BM)(33. 1)cos(221kNRRFRRqRFPAy竖竖向向反反力力 0CLM)(33. 5)

6、2(1kNRRqRFRFAyAx 0CRM)(67. 2)cos(1kNRqRFRFByBx水水平平支支座座反反力力 取截面取截面K K1 1左侧，见图左侧，见图(c)(c)。 2 2）求）求K K1 1截面内力截面内力5.33kN4mFQK1FNK1Mk11.33kN(c)(c) 建立截面上轴力、剪力方向建立截面上轴力、剪力方向上的投影方程及截面形心为上的投影方程及截面形心为矩心的力矩方程矩心的力矩方程 kNyqFNK72. 0cos)33. 5(sin33. 111kNyqFQK95. 1sin)33. 5(cos33. 111mkNyqyxMK80. 3233. 533. 121111c

7、os1Ry )sin1 (1 Rx式中：式中：3) 3) 求求K K2 2截面内力截面内力 因截面因截面K K2 2上作用有竖向集中上作用有竖向集中力力F FP P，所以在该截面两侧的，所以在该截面两侧的轴力和剪力都将有突变。轴力和剪力都将有突变。K K2 2截面的内力要区分截面左、截面的内力要区分截面左、右两个截面分别考虑。右两个截面分别考虑。 K K2 2截面以右截面以右取取K K2R2R以右部分：以右部分：（隔离体上无集中力所用）（隔离体上无集中力所用） kNFRNK15.11sin67. 2cos33.112kNFRQK35. 3cos67. 2sin33.112mkNyxMRK73.

8、 067. 233.11222K K2 2截面以左截面以左取取K K2L2L以右部分：以右部分：（隔离体上有集中力所用）（隔离体上有集中力所用） kNFFFPRNKLNK49. 2cos22kNFFFPRQKLQK65. 1sin22RKLKMM22例例5-2-2 5-2-2 分析图分析图(a)(a)所示三所示三铰拱拉杆铰拱拉杆ABAB中的轴力的计算中的轴力的计算方法并计算之。方法并计算之。 IIFAxFByFAyFPLafb(a)(a) 带拉杆三铰拱于大地按两个刚带拉杆三铰拱于大地按两个刚片规则联系，可由拱上部整体片规则联系，可由拱上部整体的平衡条件求得全部支座反力。的平衡条件求得全部支座反

9、力。欲求拉杆欲求拉杆ABAB中的拉力，只须用中的拉力，只须用截面将铰截面将铰C C与拉杆截断，取任一与拉杆截断，取任一侧为隔离体，以较侧为隔离体，以较C C为矩心建立为矩心建立力矩方程即可。计算如下：力矩方程即可。计算如下： 分析分析 取拱整体：取拱整体： 0BMPAyFLaF1取截面取截面I II I左侧：左侧： 0CMaFLaffFaFfFPAxAyNAB)(1)(11小小结结 带拉杆三铰拱在竖向荷载作用带拉杆三铰拱在竖向荷载作用下水平反力为零。其拱结构由下水平反力为零。其拱结构由支座提供的在拱铰处的水平力，支座提供的在拱铰处的水平力，被结构内部的拉杆的拉力替代。被结构内部的拉杆的拉力替代

10、。因曲杆的受力与前述三铰拱完因曲杆的受力与前述三铰拱完全相同，因此称其为带拉杆的全相同，因此称其为带拉杆的三铰拱。三铰拱。3.3.拱的内力图制作和特征拱的内力图制作和特征例例5-2-3 5-2-3 绘出图示三铰拱的内力绘出图示三铰拱的内力图，拱轴方程为图，拱轴方程为24()fylx xl沿拱的跨度方向将拱轴分为若沿拱的跨度方向将拱轴分为若干等分；干等分； 计算各等分点截面上的内力值计算各等分点截面上的内力值及截面内力有突变的内力值；及截面内力有突变的内力值； 拱的内力图制作分拱的内力图制作分3 3步：步：2 21 13 3将已得各截面内力值用曲线将已得各截面内力值用曲线光滑连接，即得拱的内力图

11、。光滑连接，即得拱的内力图。 1 1 计算支座反力计算支座反力0001(10 8 12 100)53.75()( )161(100 10 8 4)26.25()( )1627.5()()AyAyByBycAxBxHFFkNFFkNMFFFkNf 2 2 计算控制截面内力计算控制截面内力将整个拱等分为将整个拱等分为8 8等份，依次计算这些截面上的内力。等份，依次计算这些截面上的内力。遇到集中力或集中力偶时，要在此处划分截面。遇到集中力或集中力偶时，要在此处划分截面。截面截面2 2的内力计算：的内力计算：参数计算参数计算2224()3.0fylx xml224tan(2)0.5,26 34,sin

12、0.447,cos0.894dyflxdxl022252.5()HMMFykN m下侧受拉截面内力计算截面内力计算02222cossin0QQHFFFkN02222sincos30.74NQHFFFkN所有截面的内力：所有截面的内力：3 3 绘制内力图绘制内力图拱轴上内力有以下拱轴上内力有以下3 3个特点：个特点：结论结论1 1 不管是在均布荷载下还是在集不管是在均布荷载下还是在集中荷载下，拱的三个内力图都中荷载下，拱的三个内力图都是曲线图形。是曲线图形。2 2 在有竖向集中力作用点两侧截在有竖向集中力作用点两侧截面，轴力图和剪力图都有突变，面，轴力图和剪力图都有突变，突变值等于相应简支梁的剪

13、力突变值等于相应简支梁的剪力分别在拱的轴力和剪力方向上分别在拱的轴力和剪力方向上的投影。的投影。3 3 有集中力偶作用点两侧截面，有集中力偶作用点两侧截面，弯矩图有突变，突变值仍等弯矩图有突变，突变值仍等于所作用的集中力偶。于所作用的集中力偶。 第三节第三节 合合 理理 拱拱 轴轴 概念概念 拱的所有截面上都处于无弯矩状拱的所有截面上都处于无弯矩状态时的拱轴线叫合理拱轴。换句态时的拱轴线叫合理拱轴。换句话说，即，具有合理拱轴的拱的话说，即，具有合理拱轴的拱的所有截面上都只有轴向压力。所有截面上都只有轴向压力。 纯受压状态的合理拱轴是一种纯受压状态的合理拱轴是一种理想状态。因为这一状态只可理想状

14、态。因为这一状态只可能对应一种确定不变化的荷载能对应一种确定不变化的荷载（恒载或静力荷载）才做得到。（恒载或静力荷载）才做得到。实际设计中，合理拱轴是针对实际设计中，合理拱轴是针对主要荷载，并使在各类荷载的主要荷载，并使在各类荷载的不利组合下拱的弯矩最小。不利组合下拱的弯矩最小。 下面通过一个简单的例子，下面通过一个简单的例子，见图见图5-3-15-3-1，说明关于合理拱，说明关于合理拱轴的一些概念。轴的一些概念。 CABDGFP2e21e1FAFB图图5-3-1(a)5-3-1(a)分析分析 图图5-3-1(a)5-3-1(a)所示在一个集中荷所示在一个集中荷载作用下的三铰拱。根据三力载作用

15、下的三铰拱。根据三力平衡原理及铰平衡原理及铰C C处弯矩为零的处弯矩为零的条件，显然有图条件，显然有图(a)(a)所示的两所示的两个支座反力作用线，并与荷载个支座反力作用线，并与荷载交于交于G G点。点。 CABDGFP2e21e1FAFB在拱的在拱的ADAD端上任一截面上的端上任一截面上的内力内力( (合力合力) F) F1 1=F=FA A，且在过，且在过A A铰铰F FA A的作用线的作用线AGAG上。上。容易看出容易看出截开截面截开截面1 1取左取左侧为隔离体，见侧为隔离体，见图图5-3-2(a)5-3-2(a)。1e1FAA1 1FN1FQ1F1图图5-3-2(a)5-3-2(a)同

16、理，截取隔离体如同理，截取隔离体如图图5-3-2(b) 5-3-2(b) 2FQ2ADGe2FA2FPF2FN2图图5-3-2(b)5-3-2(b)容易看出容易看出: :图图5-3-25-3-2两隔离体上截面两隔离体上截面1 1、2 2上合力上合力F F1 1、F F2 2与各自的三个内与各自的三个内力分量的等效关系。力分量的等效关系。 AGAG和和GBGB（注意（注意GBGB过过C C铰）直线铰）直线分别是拱分别是拱ADAD和和DBDB段上合内力段上合内力的作用线，又叫的作用线，又叫压力线压力线。 图图5-3-1(a)5-3-1(a)上所画的压力线图上所画的压力线图形又叫形又叫压力线多边形压

17、力线多边形。显然，。显然，当该拱的轴线按压力线多边形当该拱的轴线按压力线多边形设计时，拱轴上则只有压力，设计时，拱轴上则只有压力，即为即为合理拱轴合理拱轴。(5-2-3)(5-2-3)2.2.竖向荷载作用下合理拱竖向荷载作用下合理拱轴的确定轴的确定 只有竖向荷载作用时，其合只有竖向荷载作用时，其合理拱轴可由数解方法确定。理拱轴可由数解方法确定。 由式由式yFMMH0令令M M等于零，得：等于零，得： HFMy0小结小结 合理拱轴的纵坐标与相应简支梁合理拱轴的纵坐标与相应简支梁的弯矩纵坐标成正比。也可以说，的弯矩纵坐标成正比。也可以说，合理拱轴的形状应与相应简支梁合理拱轴的形状应与相应简支梁的弯矩图形状相似。由此推出，的弯矩图形状相似。由此推出，拱在均布荷载作用下的合理拱轴拱在均布荷载作用下的合理拱轴是抛物线形状；在集中荷载作用是抛物线形状；在集中荷载作用下的合理拱轴是折线图形。下的合理拱轴是折线图形。 例例5-3-15-3-1试设计一个三铰拱的轴试设计一个三铰拱的轴线。其拱上作用荷载与拱的三线。其拱上作用荷载与拱的三个铰相对位置已定，如图个铰相对位置已定，如图(a)(a)示。示。 (a)(a)1)1)求支座反力求支座反力 因拱的两个底因拱的两个底铰在铰在一条直一条直线上线上，可以应用拱反力与，可以应用拱反力与相应简直梁反力的关系求相应简直梁反力的关系求解，解，即：即