八年级数学动点问题中平行四边形存在性问题的探究

1、精选优质文档-倾情为你奉上动点问题中平行四边形存在性问题的探究一、知识点综述 动点问题是近几年各地中考的重中之重，也是教学的难点，其中平行四边形的存在性问题是其中的一种题型。此类题目通常与代数式、平面直角坐标系、勾股定理、平行四边形及特殊平行四边形的判定等结合起来，综合性特别强。二、典型图形分析 图形条件结论ABCD为平行四边形A(xA，yA)、B(xB，yB)、C(xC，yC)、D(xD，yD)xA+ xC= xB+ xDyA+ yC= yB+ yDA、B、C是已知点，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形这样的四边形有三个：四边形FACB、四边形ABCD、四边形ABEC三、易错点分析1

2、. 注意区分“以A、B、C、D为顶点的四边形”和“四边形ABCD”的不同之处；2. 注意分析动点的运动过程，看它是否反复运动而存在多种情况；3. 看清题目，注意“当AB=CD和ABCD时，分别求出动点P的运动时间”和“当AB=CD且ABCD时，动点P的运动时间”之间的区别.下面我们就以一些具体实例加以分析论述.四、典型例题 例题1. 如图1-1，在平面直角坐标系中，以A（1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，则平行四边形顶点D的坐标是图1-1例题2. 如图2-1，在四边形ABCD中，ABDC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿ADC向

3、终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）图2-1A4s B3s C2s D1s例题3. 如图3-1所示，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由图3-1例题4. 如图4-1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，动点M从点D出发，沿折线DCBAD方向以2单位每秒的速度运动，动点N从点D出发，沿折线DABCD方向以1

4、单位每秒的速度运动，.（1）若动点M、N同时出发，多长时间相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE=3. 若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形. 图4-1例题5如图5-1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动以CP，CO为邻边构造PCOD在线段OP延长线上一动点E，且满足PEAO（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？图5-1

5、例题6. 如图6-1，在矩形ABCD中，AB30 cm，BC10 cm，点P从A开始沿折线ABCD以6 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿折线CDB以6 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)当t为何值时，以Q、P、B、C为顶点的四边形是矩形？图6-1例题7. 如图7-1，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论图7-1例题8. 如图8-1所示，

6、在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止点P、Q的速度都是每秒2个单位长度，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积图8-1例题9. 如图9-1，在RtABC中，ACB=90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

7、（3）若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由图9-1答案与解析题1. 如图1-1，在平面直角坐标系中，以A（1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，则平行四边形顶点D的坐标是图1-1【答案】(3,1)或(-3,1)或(1,-1).【解析】分两种情况讨论：AB为边，则AB=CD=3，所以D点坐标为(3,1)或(-3,1)AB为对角线，根据xA+ xB= xC+ xD，yA+ yB= yC+ yD得：xD=1，yD=-1，即D点坐标为(1,-1).故答案为：(3,1)或(-3,1)或(1,-1).题2. 如图2-1，在四边形ABCD中，

8、ABDC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿ADC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）图2-1A4s B3s C2s D1s【答案】B. 【解析】因为ABCD，即PCBQ，所以只需PC=BQ时，四边形PQBC为平行四边形设运动时间为t，则PC=AD+CD3t，BQ=t5+73t=t解得：t=3故答案为：B. 题3. 如图3-1所示，在ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若

9、CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由图3-1【答案】见解析.【解析】（1）如图3-2所示.图3-2证明：CE平分ACB，CF平分ACB的外角，2=5，4=6，MNBC，1=5，3=6，1=2，3=4，EO=CO，FO=CO，OE=OF；（2）解：2=5，4=6，2+5+4+6=1802+4=5+6=90，CE=12，CF=5，在RtCEF中，由勾股定理得：EF=13，又O是EF的中点OC=EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到线段AC中点时，四边形AECF是矩形证明：当O为AC的中点时，AO=CO，EO=FO，四边形

10、AECF是平行四边形，ECF=90，平行四边形AECF是矩形题4. 如图4-1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，动点M从点D出发，沿折线DCBAD方向以2单位每秒的速度运动，动点N从点D出发，沿折线DABCD方向以1单位每秒的速度运动，.（1）若动点M、N同时出发，多长时间相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE=3. 若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形. 图4-1【答案】见解析.【解析】（1）设动点M、N同时出发，x秒相遇，由题意得：2x+x=2(4+8)解得：x=8.即8秒点M、N相遇.（2）分两种情况讨论：AE为边时，如图4-2所示.图4-2因

11、为ANEM，只需AN=EM时，AEMN为平行四边形设运动时间为t，则AN=8t，CM=2t4，EM=5CM=92t，所以8t=92t，解得：t=1不符合题意，舍去.AE为对角线时，如图4-3所示.图4-3因为ANEM，只需AN=EM时，AEMN为平行四边形设运动时间为t，则AN=8t，CM=2t4，EM= CM5=2t9，所以8t=2t9，解得：t=.所以秒时，点A、E、M、N组成平行四边形.题5如图5-1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动以CP，

12、CO为邻边构造PCOD在线段OP延长线上一动点E，且满足PEAO（1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（2）当点P运动的时间为秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？图5-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接CD交AE于F，如图5-2所示.图5-2四边形PCOD是平行四边形，CFDF，OFPF，PEAO，AFEF，又CFDF，四边形ADEC为平行四边形；（2）解：当点P运动的时间为秒时，OP，OC3，则OE，在RtAOC中，由勾股定理得，AC，在RtCOE中，由勾股定理得，CE，四边形ADEC为平行四边形，周长为（+）2题6. 如图6-1，在矩形ABCD中，A

13、B30 cm，BC10 cm，点P从A开始沿折线ABCD以6 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿折线CDB以6 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)当t为何值时，以Q、P、B、C为顶点的四边形是矩形？图6-1【答案】见解析.【解析】依据点P、Q所在不同位置分类讨论：如图6-2所示，点P在线段AB上，点Q在线段CD上时，图6-2根据题意得：CQ=6t，AP=6t，则BP=306t，四边形ABCD是矩形B=C=90，CDAB，只有CQ=BP时四边形QPBC是矩形，即6t=306t解得：t=即当t=时，四边形QPBC是

14、矩形如图6-3所示，点P在线段CD上，点Q在线段AB上时，图6-3根据题意得：BQ=706t，CP=6t40，当BQ=CP时四边形QPBC是矩形，即706t =6t40解得：t=即当t=时，四边形QPBC是矩形题7. 如图7-1，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论图7-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：DE为BC的垂直平分线，EDB=90，BD=DC，又ACB=90，DEAC，E为AB的中点，在RtABC中，CE=

15、AE=BE，AEF=AFE，且BED=AEF，DEC=DFA，AFCE，又AF=CE，四边形ACEF为平行四边形；（2）解：当B=30时，四边形ACEF是菱形，理由如下：因为B=30，所以BAC=60又EC=AE，所以AEC是等边三角形，所以EC=AC，又ACEF为平行四边形所以ACEF为菱形.故当B=30时，四边形ACEF是菱形.题8. 如图8-1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止点P、Q的速度都是每秒2个单位长度，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）（1）当t为何值时，四边

16、形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积图8-1【答案】见解析.【解析】（1）解：因为ABCD为矩形，所以APBQ，当AP=BQ时，ABQP为矩形，由题意知：AP=122t，BQ=2t，所以122t=2t，解得：t=3.即t=3时，四边形ABQP是矩形.（2）解：由题意知：BQ=PD，由矩形性质得：AD=BC所以CQ=AP，又CQAP，所以四边形AQCP是平行四边形，当AQ=QC时，AQCP是菱形，即AQ2=QC2，在RtABQ中，由勾股定理得：AQ2=AB2+BQ2，所以82+(2t)2=(122t)2，解得：t=，即t=时，四边形AQCP是菱形.（3）由（2）知：AP=122t= 所以菱形AQCP的周长为：，菱形AQCP的面积为：.题9. 如图9-1，在RtABC中，ACB=90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由图9-1【答案】见解析.【解析】（1）证明：DEBC，DFB=90，ACB=9