矩阵的运算（课堂PPT）

1、上页下页铃结束返回首页12.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算上页下页返回首页四、矩阵的转置四、矩阵的转置五、矩阵的行列式五、矩阵的行列式一、矩阵的加法一、矩阵的加法二、矩阵的数乘二、矩阵的数乘三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 矩阵的乘法的定义、矩阵的转置及其性质矩阵加法与矩阵数乘的性质矩阵的乘法的性质结束铃上页下页铃结束返回首页2一、矩阵的加法一、矩阵的加法下页 1.定义定义2.3 设A与B为两个mn矩阵ABa11b11 a12b12 a1nb1n a21b21 a22b22 a2nb2n am1bm1 am2bm2 amnbmn=。a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2

2、amnA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=，A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和，记为AB。即上页下页铃结束返回首页3 例例1设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，则3 5 7 22 0 4 30 1 2 3AB=1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+8=4 8 9 24 1 9 100 7 6 11。=下页矩阵的加法：矩阵的加法：设A=(aij)mn与B=(bij)mn

3、，则AB= (aijbij)mn。上页下页铃结束返回首页4u 设设 A, B, C 为同型矩阵为同型矩阵, 则则 (1) A + B = B + A ( ) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ();上页下页铃结束返回首页5其中其中 O 是与是与 A 同型的零矩阵同型的零矩阵;.3459=C例如，例如，C 的负矩阵为的负矩阵为:.C=3459上页下页铃结束返回首页6a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=， 定义定义4.4 设A=(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA。

4、即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=。下页二、数与矩阵相乘（数乘）二、数与矩阵相乘（数乘）上页下页铃结束返回首页7矩阵的数乘：矩阵的数乘： 设A=(aij)mn ，则kA=(kaij)mn 。 例例2设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，则3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 = 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 = 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = 。下页上页下页铃结束返回首页8 上页下页铃结束返回首页9 设设 A, B 为同型矩阵为同型矩阵, , 为常

5、数，则为常数，则(1) () A= ( A); 结合律结合律(2) ( + )A = A + A. 分配律分配律(3) (A + B) = A + B. 分配律分配律上页下页铃结束返回首页10 例例3设3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，求3A2B。 解：解：3A2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 822 6 4 04 2 10 140 12 8 169 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = 。7 9 17 62 2 2 50 9 2 7=92 156 214

6、 6064 02 1210 91400 312 68 916 = 下页上页下页铃结束返回首页11 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，且A2X=B，求X。 解解：)(21ABX= =52504110252221=2/512/5022/12/1012/511。 下页练习上页下页铃结束返回首页12 定义定义2.5 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C 称为矩阵 A 与矩阵 B 的积，记为C=AB。 下页则由元素 cij=ai1b1jai2b2j aisbsj (i=1, 2, , m；j=1, 2, ,

7、n)。 a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB=，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB=。即三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法 上页下页铃结束返回首页13B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678下页上页下页铃结束返回首页14B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1

8、0AB= =678303；下页上页下页铃结束返回首页15B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678309735；下页上页下页铃结束返回首页16B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5设2 31 23 11 2 32 1 02 31 23 11 2 32 1 0BA= =4983， 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0AB= =678309735；下页上页下页铃结束返回首页17 例例6设 A= ，4221B= ，求AB及BA。 4 263AB=42214 263 解：解：32 16

9、168=，BA=42214 2630 000=，B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： AB =678309735, BA= =4983。下页上页下页铃结束返回首页18 例例6设 A= ，4221B= ，求AB及BA。 4 263AB= 解：解：32 16168，BA=0 000，B = ，求AB及BA。 A= ， 例例5设2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： AB =678309735, BA= =4983。 可见，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA 。 两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而AB=O推不出A=O或B=O。下页

10、练习上页下页铃结束返回首页191110 例例7设 A= ，B= ，求AB及BA。 2110 解：解：11102110AB=3110=，21101110BA=3110=， 显然AB=BA。 如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换。下页上页下页铃结束返回首页20 解：解：设可交换的一切矩阵。 例例8求与矩阵A=010001000B= ，abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么，下页上页下页铃结束返回首页21 解：解：

11、设可交换的一切矩阵。 例例8求与矩阵A=010001000B= ，abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=， BA0ab0a1b10a2b2=。 令AB=BA，则有 a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。于是与A可交换的矩阵为Babc0ab00a=，其中a，b，c为任意数。 下页上页下页铃结束返回首页22 例例 9设=3021A，=4001B，=0011C，则有 =00113021AC=0011 =00114001BC=0011显然AC=BC，但AB。矩阵乘法不满足消去律。 =00113021AC=0011， =00114001BC=0011， 下页上页

12、下页铃结束返回首页23 (1) (AB)C=A(BC)； (2) (AB)C=ACBC； (3) C(AB)=CACB； (4) k(AB)=(kA)B=A(kB)。应注意的问题：应注意的问题： (1) ABBA ； (3) AB=OA=O或B=O。 / (2) AC=BCA=B。 / 下页 例例11证明：如果CA=AC， CB=BC，则有 (AB)C=C(AB)， (AB)C=C(AB)。 证：证：因为CA=AC，CB=BC，所以有(AB)C =ACBC=CACB=C(AB)，(AB)C =A(BC)=A(CB)=(AC)B =(CA)B =C(AB)。矩阵乘法的性质：矩阵乘法的性质：上页下

13、页铃结束返回首页24 如果如果 A 是是 n 阶矩阵阶矩阵, 那么那么AA 有意义有意义, AmAAA个也有意义也有意义, AkkAAAA个= 1 = A, 2 = A , k+1 =k ,因此有下述定义因此有下述定义:上页下页铃结束返回首页25 设设 A 为方阵为方阵, k, l 为正整数为正整数, 则则对对n阶方阵阶方阵 A 与与 B一般来说一般来说 , 由于矩阵乘法一般不满足交换律，由于矩阵乘法一般不满足交换律， AkAl =的乘法公式不一定成立的乘法公式不一定成立. 所以初等数学中所以初等数学中(AB)k AkBk ；(A+B)2 A2 +2AB+B2；(A+B)(A-B) A2 -B

14、2；(Ak)l =Ak+l , Akl .上页下页铃结束返回首页26 定义定义2.6 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =则。 例如，设x=(x1 x2 xn)，y=(y1 y2 yn)，则(y1 y2 yn )xTyx1x2xn =x1y1x2y1xny1 x1y2x2y2xny2 x1ynx2ynxnyn 。下页五、矩阵的转置五、矩阵的转置上页下页铃结束返回首页27转置矩阵有下列性质：转置矩阵有下列性质： (

15、1)(AT)T=A； (2)(AB)T=ATBT； (3)(kA)T=kAT；下页a11a21am1 a12a22am2 a1na2namn A =，a11a12a1n a21a22a2n am1am2amn AT =则。 定义定义2.6 将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果五、矩阵的转置五、矩阵的转置 (4)(AB)T=BTAT 。上页下页铃结束返回首页28设设A与与B是两个是两个n阶对称矩阵。证明：阶对称矩阵。证明：AB是对称矩阵是对称矩阵的的充分必要条件充分必要条件是是A与与B可交换。可交换。 因为因为A、B是对称矩阵，所以是对称矩阵，所以

16、.,BBAATT=1 1、若、若ABAB是对称矩阵，则有是对称矩阵，则有,)(ABABT=于是有于是有TABAB)(=TTAB=BA=所以所以A与与B可交换。可交换。2 2、若、若A A、B B是可交换，则有是可交换，则有,BAAB =于是有于是有TTTABAB=)(BA=AB=所以所以ABAB是对称矩阵。是对称矩阵。 上页下页铃结束返回首页29 一个由n阶矩阵A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|，即n阶方阵的行列式具有的运算律：阶方阵的行列式具有的运算律： (1)|AB|=|A|B|； (2)| AT |= |A|； (3)| lA|=ln |A|。a11a

17、21an1 a12a22an2 a1na2nann A =，a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann 则 |A| =。下页六、方阵的行列式六、方阵的行列式上页下页铃结束返回首页30 例例12设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=2，求|A|A|。 解：解： |A|A|=(2)3|A|=(2)3(2)=16。提问：提问： 设矩阵A为三阶矩阵，且|A|=m，问|mA|=?答：m4。结束2A上页下页铃结束返回首页31课堂练习： 2、设、设A、B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且A为对称阵，证明：为对称阵，证明：ABBT也是对称阵。也是对称阵。 3、设列矩阵、设列矩阵TnxxxX),(21=满足满足, 1=XXTE为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵，,2TXXEH=证明：证明：H是对是对称矩阵，且称矩阵，且.EHHT= 1、P57 20 上页下页铃结束返回首页32 1、P57 20.若 ,TTA AAAE=.A求 解解TTA AAAE=TTA AAAE=1TAAE=即TAA=又21A=1.A= 上页下页铃结束返回首页33 2、设、设A、B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且A为对称阵，证明：为对称阵，证明：ABBT也是对称阵。也是对称