第2章平面体系的几何组成分析

1、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院第第2章平面体系的几何组成分析章平面体系的几何组成分析 本章教学的基本要求：本章教学的基本要求：掌握几何不变体系、几何可变体掌握几何不变体系、几何可变体系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与虚系、刚片、自由度、约束、必要约束与多余约束、实铰与虚铰的概念；了解平面体系的计算自由度及其计算方法；掌握铰的概念；了解平面体系的计算自由度及其计算方法；掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；了解体系的几平面几何不变体系的基本组成规则及其运用；了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。何组成与静力特性之间的关系。 本章教学内容的重点：

2、本章教学内容的重点：几何不变体系的基本组成规则及几何不变体系的基本组成规则及其运用；静定结构与超静定结构的概念。其运用；静定结构与超静定结构的概念。 本章教学内容的难点：本章教学内容的难点：灵活运用三个基本组成规则分析灵活运用三个基本组成规则分析平面体系的几何组成性质。平面体系的几何组成性质。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.1几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系2.2几何组成分析的几个概念几何组成分析的几个概念2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度2.4平面几何不变体系的基本组成规则平面几何不变体系的基本组成规则2.5几何可变体系几何可变

3、体系2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例2.7静定结构与超静定结构静定结构与超静定结构 本章内容简介本章内容简介: 第第2章平面体系的几何组成分析章平面体系的几何组成分析 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.1几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系2.1.1 几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系1. 几何不变体系几何不变体系受到荷载等外因作用后，若不考虑材受到荷载等外因作用后，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。D D FP FPAABBA1EIEI1=

4、弹性变形弹性变形 几何不变体系：刚体.swf几何不变体系示例几何不变体系示例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2. 几何可变体系几何可变体系受到荷载等外因作用后，由于刚体运动，受到荷载等外因作用后，由于刚体运动，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。 ABEI1=FPA1A2刚体位移刚体位移 2.1.1 几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系2.1几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系几何可变体系示例几何可变体系示例几何可变体系示例几何可变体系示例几何可变体系示例几何可变体系示例All Rights Re

5、served重庆大学土木工程学院2.1.2 造成几何可变的原因造成几何可变的原因1. 内部构造不健全：内部构造不健全：如图如图a所示，由两个铰结三角形组成所示，由两个铰结三角形组成的桁架，本为几何不变体系；但若从其内部抽掉一根桁杆的桁架，本为几何不变体系；但若从其内部抽掉一根桁杆CB，如，如图图b所示，则当结点所示，则当结点C处作用处作用FP时，该桁架杆件之间将产生刚性位时，该桁架杆件之间将产生刚性位移，即变成了几何可变体系。移，即变成了几何可变体系。 a) 几何不变体系几何不变体系b) 几何可变体系几何可变体系ABCDABCDC1D1FPFP2.1几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何

6、可变体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2. 外部支承不恰当：外部支承不恰当：如图如图a所示简支梁，本为几何不变体所示简支梁，本为几何不变体系；但若将系；但若将A端水平支杆移至端水平支杆移至C处并竖向设置，如图处并竖向设置，如图b所示，则在图所示，则在图示示FP作用下，梁作用下，梁AB将相对于地基发生刚性平移，即变成了几何可将相对于地基发生刚性平移，即变成了几何可变体系。变体系。 a) 几何不变体系几何不变体系b) 几何可变体系几何可变体系 ABFPFPAA1BB1CC12.1.2 造成几何可变的原因造成几何可变的原因2.1几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何

7、可变体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.1.3 几何组成分析的目的几何组成分析的目的结构必须是几何不变体系才能承担荷载。结构必须是几何不变体系才能承担荷载。几何组成分析的目的：主要就是要检查并设法保证结构几何组成分析的目的：主要就是要检查并设法保证结构是几何不变体系；是几何不变体系；2.1几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.2.2 自由度自由度体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由度体系的自由度。平面内一个点的自由度为平面内

8、一个点的自由度为2。平面内一根杆件（一个刚片）的自由度为平面内一根杆件（一个刚片）的自由度为3 xxyyAA1D Dx D DyABA1B1D DxD DyD Dq q OO2.2几何组成分析的几个概念几何组成分析的几个概念2.2.1 刚片刚片体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片刚片。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.2.3 约束约束减少自由度的装置称为减少自由度的装置称为约束约束（

9、或（或联系联系）。可以减少）。可以减少1个自由度个自由度的装置是的装置是1个约束。杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支个约束。杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称为座和固定支座，称为外部约束外部约束；杆件之间常用的约束是链杆、铰；杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为结和刚结，称为内部约束内部约束。 1. 链杆的约束作用链杆的约束作用 1根链杆相当于根链杆相当于1个约束。个约束。 I II AB2.2几何组成分析的几个概念几何组成分析的几个概念All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2. 铰的约束作用铰的约束作用 (1) 单铰单铰（连接两个刚片的铰

10、）（连接两个刚片的铰） 1个单铰相当于个单铰相当于2个约束个约束,减少减少2个自由度。个自由度。 (2) 复铰复铰（连接两个刚片以上的铰）（连接两个刚片以上的铰） 连接连接n个刚片的复铰可折算成（个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于）个单铰，相当于2(n-1) 个约个约束。束。 AIIIIIIIII q q1 1 q q2 2q qA2.2几何组成分析的几个概念几何组成分析的几个概念All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3. 刚结的约束作用刚结的约束作用 (1) 单刚结单刚结（连接两个刚片的刚结）（连接两个刚片的刚结） 1个单刚结相当于个单刚结相当于3个约束个约束,

11、 减少减少3个自由度。个自由度。 (2) 复刚结复刚结（连接两个以上的刚片的刚结）（连接两个以上的刚片的刚结） 连接连接n个刚片的复刚结可折算成（个刚片的复刚结可折算成（n-1）个单刚结，相当于）个单刚结，相当于3(n-1)个约束。个约束。 IIIIIIIIIAAABCDEA左左A右右2.2几何组成分析的几个概念几何组成分析的几个概念All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.2.4 必要约束和多余约束必要约束和多余约束1. 必要约束必要约束在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随之变化，在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目将随之变化，则此约束称为则此约束称为

12、必要约束必要约束。 2. 多余约束多余约束在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不因此而在体系中增加或去掉某个约束，体系的自由度数目并不因此而改变，则此约束称为改变，则此约束称为多余约束多余约束。 a) 无多余约束无多余约束 b) 有多余约束有多余约束 c) 有多余约束有多余约束AA BBC2.2几何组成分析的几个概念几何组成分析的几个概念All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.2.5 实铰和虚铰实铰和虚铰1. 实铰实铰 2. 虚铰（瞬铰）虚铰（瞬铰） 【注意】形成【注意】形成虚铰的两链杆虚铰的两链杆必须连接相同必须连接相同的两个刚片。的两个刚片。 IIIIIIA

13、AIIIAAABBBCCCDDDO (虚铰虚铰) O (虚铰虚铰)相交于无穷远处相交于无穷远处 (虚铰虚铰) 2.2几何组成分析的几个概念几何组成分析的几个概念All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.3平面体系的计算自由平面体系的计算自由度度2.3.1 体系的实际自由度体系的实际自由度S与计算自由度与计算自由度W的定义的定义1. 体系的实际自由度体系的实际自由度S 体系是由体系是由对象对象（刚片或铰结点部件）加上约束组成的。（刚片或铰结点部件）加上约束组成的。令体系的令体系的实际自由度实际自由度为为S，各对象的自由度总和为，各对象的自由度总和为a，必要约，必要约束数为束数

14、为c，则，则 S a c 2. 体系的计算自由度体系的计算自由度W 将上式中的必要约束数将上式中的必要约束数c改为全部约束数改为全部约束数d，则，则 W a d 只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的计算自由度只有当体系的全部约束中没有多余约束时，体系的计算自由度W才等于实际自由度才等于实际自由度S。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.3平面体系的计算自由平面体系的计算自由度度2.3.1 体系的实际自由度体系的实际自由度S与计算自由度与计算自由度W的关系的关系3. 体系的多余约束数体系的多余约束数n 体系的必要约束数体系的必要约束数c与多余约束数与多余约束数n之

15、间有如下关系之间有如下关系 n d c 4. 计算自由度计算自由度W 实际自由度实际自由度S证明：因为证明：因为 W a d = a c n = S n而而n0，因此，因此W S n S。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.3.2 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度1. 刚片体系的计算自由度刚片体系的计算自由度 W3m-(3g+2h+r) 其中：其中：m为个刚片个数；为个刚片个数；g为单刚结个数，为单刚结个数，h为单铰结个数，为单铰结个数， r为与地为与地基之间加入的支杆数。基之间加入的支杆数。以刚片为对象，以地基为参照物，其刚片体系的计算自由度为以刚片为对象，

16、以地基为参照物，其刚片体系的计算自由度为 2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2) 计入计入m的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余的刚片，其内部应无多余约束。如果遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而把它的附加约束在计算体系的约束在计算体系的“全部约束数全部约束数”d时考虑进去。时考虑进去。a)b)c)d)图图a是内部没有多余约束的是内部没有多余约束的刚片，而图刚片，而图b、c、d则是内部分则是内部分别有别有1、2、3个多余约束的刚

17、片，个多余约束的刚片，它们可以看作在图它们可以看作在图a的刚片内部的刚片内部分别附加了一根链杆或一个铰分别附加了一根链杆或一个铰结或一个刚结。结或一个刚结。 (1) 地基是参照物，不计入地基是参照物，不计入m中。中。 在应用公式时，应注意以下几点：在应用公式时，应注意以下几点： 2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (3) 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复铰结刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和和h。 (4) 刚片与地基之间的固定支座和铰支

18、座不计入刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和和h，而，而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。 2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例2-1】试求图示体系的计算自由度】试求图示体系的计算自由度W。解：解：m=9，g=3，h=8, r=6 W = 3m-(3g+2h+r) = 39-(33+28+6) = -4m1 m2(3)h(1)hm3m4m5m6m7m8m9(1)h (3)h(3)g(3)r(3)r2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度All Rights Reserv

19、ed重庆大学土木工程学院【例【例2-2】试求图示体系的计算自由度。】试求图示体系的计算自由度。解：解：m=9，g=4， h=7， r=3 W = 3m-(3g+2h+r) = 39-(34+27+3) = -22.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度h(1)(3)h(1)hm12m3mm45mm6m89mm7h(3)(3)gr(3)(3)rm7r(2)(1)hmh(2)6m2(2)h(1)g4m(1)h1mm8r(1)m(2)g9mm53g(1)h(1)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例】试求图示体系的计算自由度。【例】试求图示体系的计算自由度。解：解：m=9

20、，g=6， h=4， r=9 W = 3m-(3g+2h+r) = 39-(36+24+9) = -8m1m2m3m4m5m6m7m8m9(1)h(1)h(1)h(1)g(1)g(2)g(2)g(1)h(3)r(3)r(3)r2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2. 铰接链杆体系的计算自由度铰接链杆体系的计算自由度 W=2j-(b+r) 其中：其中：j为体系的铰结数；为体系的铰结数； b为链杆数为为链杆数为； r为支杆数。为支杆数。【注意】在计算【注意】在计算j时，凡是链杆的端点，都应当算作结点，而时，凡是链杆的端点，都应当算

21、作结点，而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入计入j中；在计算中；在计算b和和r时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是内部约束，而支杆时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是内部约束，而支杆则是外部约束，二者不可混淆。则是外部约束，二者不可混淆。2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例2-3】试求图】试求图2-12所示体系的计算自由度。所示体系的计算自由度。解：在该体系中，解：在该体系中，4、5两处除应算作结点外，同时还都是固定两处除应算作结点外，同时还都是固定铰支座。因此，该体

22、系的铰结数铰支座。因此，该体系的铰结数j=5，链杆数，链杆数b=4，支杆数，支杆数r=6。故由。故由公式公式(2-4)，可得，可得W = 2j-(b+r) = 25-(4+6) = 0 4 51 2 32.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.3.3 体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系先求出图示各体系的先求出图示各体系的W。可看出存在以下三种情况：可看出存在以下三种情况： (1) W0时，体系缺少必要的约束，具有运动自由度，为几时，体系缺少必要的约束，具有运动自由度，为几何可变体系。

23、何可变体系。SW0，即，即S0，体系几何可变。，体系几何可变。2.3平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度a) W=10 b) W=0 c) W=-10 b) W=0 c) W=-10All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3) W0 b) W=0 c) W=-10 b) W=0 c) W=-10All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.4平面几何不变体系的基本组成规则平面几何不变体系的基本组成规则2.4.1 二元体规则（固定一点规则）二元体规则（固定一点规则） 一个点一个点与一个刚片的联结方式与一个刚片的联结方式总规则：铰结三角形是几何不变的。总规则

24、：铰结三角形是几何不变的。规则规则：一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成内部一个点与一个刚片用两根不共线的链杆相连，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。几何不变且无多余约束的体系。IBC AAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院用两根不共线的链杆联结用两根不共线的链杆联结(发展发展)一个新结点的构造，称为一个新结点的构造，称为二元二元体体。于是，规则。于是，规则也可用二元体的组成表述为：也可用二元体的组成表述为：由二元体的性质可知：由二元体的性质可知：在一个体系上依次加上（或取消）若干在一个体系上依次加上（或取消）若干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论

25、常为几何组成分个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结论常为几何组成分析带来方便。析带来方便。AAA2.4.1 二元体规则二元体规则在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约在一个刚片上，增加一个二元体，仍为几何不变，且无多余约束的体系。束的体系。2.4平面几何不变体系的基本组成规则平面几何不变体系的基本组成规则All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.4.2 两刚片规则两刚片规则平面内两个刚片的联结方式平面内两个刚片的联结方式规则规则（表述之一）（表述之一）：两刚片用一铰和一链杆相连，且链杆及两刚片用一铰和一链杆相连，且链杆及其延线不通过铰，则组成内部几何不

26、变且无多余约束的体系。其延线不通过铰，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。规则规则 （表述之二）：（表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且三根链两个刚片用三个链杆相连，且三根链杆不全交于一点也不全平行，则组成内部几何不变且无多余约束杆不全交于一点也不全平行，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。的体系。ABCIIIIIIIAABBCC2.4平面几何不变体系的基本组成规则平面几何不变体系的基本组成规则All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.4.3 三刚片规则三刚片规则 平面内三个刚片的联结方式平面内三个刚片的联结方式规则规则：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线三

27、个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系。 IIIIII ABC三刚片规则.swf2.4平面几何不变体系的基本组成规则平面几何不变体系的基本组成规则All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【小结【小结】1) 二元体规则：二元体规则： （不共线）（不共线）伸出两杆伸出两杆发展结点发展结点3) 三刚片规则：三刚片规则：三个铰链三个铰链不共一线不共一线2) 二刚片规则：二刚片规则： （铰可（铰可“实实”可可“虚虚”）一铰一杆一铰一杆铰心勿穿铰心勿穿三根链杆三根链杆不交一点不交一点2.4平面几何不变体

28、系的基本组成规则平面几何不变体系的基本组成规则或或All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.5几何可变体几何可变体系系由于约束布置不当，可以持续发生大的刚体运动的体系，称由于约束布置不当，可以持续发生大的刚体运动的体系，称为为几何常变体系几何常变体系。2.5.1 当两个刚片互相联结时当两个刚片互相联结时1. 三根链杆，常交一点三根链杆，常交一点几何常变体系几何常变体系 O 虚铰虚铰 a) 几何常变体系几何常变体系 b) 几何常变体系几何常变体系 c) 几何瞬变体系几何瞬变体系 d) 几何瞬变体系几何瞬变体系 (三根链杆平行且等长三根链杆平行且等长) (三根连杆平行但不等长三

29、根连杆平行但不等长) IIIIIIIIIIIIq q1 1q q2 2q q3 3D DD DD D只能瞬时绕虚铰产生微小运动的体系，称为只能瞬时绕虚铰产生微小运动的体系，称为几何瞬变体系几何瞬变体系。几何常变体系1.swf几何常变体系2.swfAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院2. 三根链杆，瞬交一点三根链杆，瞬交一点几何瞬变体系几何瞬变体系 2.5.1 当两个刚片互相联结时当两个刚片互相联结时2.5几何可变体系几何可变体系O 虚铰虚铰 a) 几何常变体系几何常变体系 b) 几何常变体系几何常变体系 c) 几何瞬变体系几何瞬变体系 d) 几何瞬变体系几何瞬变体系 (三

30、根链杆平行且等长三根链杆平行且等长) (三根连杆平行但不等长三根连杆平行但不等长) IIIIIIIIIIIIq q1 1q q2 2q q3 3D DD DD DAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.5.2 当三个刚片互相联结时当三个刚片互相联结时若三个铰链共在一线，则该体系即为几何可变体系若三个铰链共在一线，则该体系即为几何可变体系（视约束布置具体情况，可判定其为几何瞬变体系或几（视约束布置具体情况，可判定其为几何瞬变体系或几何常变体系）。何常变体系）。 (1) 若三铰共线，且全是有限远铰，则体系必为几何瞬变。若三铰共线，且全是有限远铰，则体系必为几何瞬变。2.5几何

31、可变体系几何可变体系b) 一虚铰与两实铰共线a) 三实铰共线c) 两虚铰与一实铰共线All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2) 若三铰共线，且部分或全部是无穷远虚铰，则体系可能为几若三铰共线，且部分或全部是无穷远虚铰，则体系可能为几何瞬变或几何常变。何瞬变或几何常变。2.5几何可变体系几何可变体系 e) 几何常变体系 b) 几何瞬变体系 d) 几何瞬变体系 a) 几何瞬变体系 c) 几何常变体系(一铰无穷远)(两铰无穷远)(两铰无穷远)(三铰无穷远)(三铰无穷远)(三铰无穷远) f) 几何瞬变体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 当三个虚铰均在

32、无穷远处时，它们是否共线呢当三个虚铰均在无穷远处时，它们是否共线呢？ 根据射影几根据射影几何学原理，平面上不同方向的所有无穷远点的集，何学原理，平面上不同方向的所有无穷远点的集，是一条直线，称为是一条直线，称为无穷远直线无穷远直线（而一切有限远点均不在此直线上）。（而一切有限远点均不在此直线上）。因此，三个无穷远虚铰均在此直线上，它们共线。因此，三个无穷远虚铰均在此直线上，它们共线。 2.5几何可变体系几何可变体系【讨论【讨论】瞬变体系的静力特征瞬变体系的静力特征 IIIIII(地基地基)AA1BCq qq qq qq ql lA1FP FPFNFN图示体系为瞬变体系。杆件图示体系为瞬变体系。

33、杆件AB与与AC在在A点有一段公切线，在点有一段公切线，在FP作用下，可以产生微小线位移作用下，可以产生微小线位移AA1及相应的微小转角及相应的微小转角q q 。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院取结点取结点A为隔离体，如图所示。由为隔离体，如图所示。由Fy=0，得，得FP2FNsin q q FNFP/2sin q q 当当q q 0时，时，FN 。这表明，该几何瞬变体系在有限力的作。这表明，该几何瞬变体系在有限力的作用下，杆件会产生无穷大的内力。用下，杆件会产生无穷大的内力。 几何常变体系和几何瞬变体系在工程结构中一般不采用。几何常变体系和几何瞬变体系在工程结构中

34、一般不采用。 2.5几何可变体系几何可变体系IIIIII(地基地基)AA1BCq qq qq qq ql lA1FP FPFNFNAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院2.6几何组成分析的方法及示几何组成分析的方法及示例例2.6.1 解题步骤解题步骤1. 用公式法计算用公式法计算W求体系的计算自由度求体系的计算自由度W，若，若W0（缺少约束），则为几何（缺少约束），则为几何常变体系；若常变体系；若W0，则体系满足几何不变的必要条件，尚须继，则体系满足几何不变的必要条件，尚须继续进行如下几何组成分析。续进行如下几何组成分析。2. 直接进行几何组成分析直接进行几何组成分析 (1

35、) 简化：简化：有二元体，可依次取消有二元体，可依次取消（仅分析余下的部分）（仅分析余下的部分） ；凡本；凡本身几何不变且无多余约束的部分，可看为一个刚片（有时也将地基看身几何不变且无多余约束的部分，可看为一个刚片（有时也将地基看作一个刚片）。作一个刚片）。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2) 根据三条基本规则，判定体系的几何可变性：根据三条基本规则，判定体系的几何可变性：若体系是若体系是由并列之二、三刚片组成，则可对照基本规则由并列之二、三刚片组成，则可对照基本规则、分析判断；分析判断；若体系为多层多跨结构，则应先分析基本结构，再分析附属结若体系为多层多跨结构

36、，则应先分析基本结构，再分析附属结构。构。 (3) 注意：注意：一是约束的等效代换，可将二链杆看作一个铰一是约束的等效代换，可将二链杆看作一个铰（虚铰），一个形状复杂的刚片如果仅有两个单铰与其它部分连（虚铰），一个形状复杂的刚片如果仅有两个单铰与其它部分连接也可化作一直线链杆；二是找出接也可化作一直线链杆；二是找出“基本基本附属附属”体系中的第体系中的第一个构造单元。一个构造单元。2.6.1 解题步骤解题步骤2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3. 答案要肯定答案要肯定：应为以下四种情况之一。：应为以下四种情况之一。2

37、.6.1 解题步骤解题步骤2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例 (1)几何不变且无多余约束的体系；几何不变且无多余约束的体系； (2)几何不变但有几何不变但有(几个几个?)多余约束的体系多余约束的体系; (3)几何常变体系；几何常变体系； (4) 几何瞬变体系。几何瞬变体系。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例2-4】试对图示体系进行几何组成分析。】试对图示体系进行几何组成分析。解：根据二元体规则，如图所示，依次取消二元体解：根据二元体规则，如图所示，依次取消二元体1，2，8，只剩下地基，故原体系几何不变，且无多余约束。当然，也可以通只剩下地基

38、，故原体系几何不变，且无多余约束。当然，也可以通过在地基上依次添加二元体过在地基上依次添加二元体8,7，1而形成图而形成图a原体系，答案完全原体系，答案完全相同。相同。 A BCDEFGHIJK123456782.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例2-5】试对图示体系进行几何组成分析。】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先，依次取消二元体解：首先，依次取消二元体1，2，3；其次，将几何部分；其次，将几何部分ACD和和BCE分别看作刚片分别看作刚片I和刚片和刚片II，该二刚片用一铰（铰，该二刚片用一铰（铰C）和一

39、杆（杆）和一杆（杆DE）相连，组成几何不变的一个新的大刚片相连，组成几何不变的一个新的大刚片ABC。当然，也可将。当然，也可将DE看作刚看作刚片片III，则刚片，则刚片I、II、III用三个铰（铰用三个铰（铰C、D、E）两两相连，同样组成）两两相连，同样组成新的大刚片新的大刚片ABC；第三，该大刚片；第三，该大刚片ABC与地基刚片与地基刚片IV之间用一铰（铰之间用一铰（铰A）和一杆（）和一杆（B处支杆）相连，组成几何不变且无多余约束的体系。处支杆）相连，组成几何不变且无多余约束的体系。 2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例(b)(a)221133ABCDEI()(地基地基)A

40、ll Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例2-6】试对图示体系进行几何组成分析。】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先找出第一个构造单元，它是由刚片解：首先找出第一个构造单元，它是由刚片I、II、III（地基）（地基）用三铰用三铰A、B、C两两相连所组成的几何不变的新的大刚片两两相连所组成的几何不变的新的大刚片ABC；其；其次，该大刚片与刚片次，该大刚片与刚片IV用一铰一链杆相连，组成更大刚片用一铰一链杆相连，组成更大刚片ABCDE；第三，该更大刚片与刚片第三，该更大刚片与刚片V用两个铰（铰用两个铰（铰F、G）相连，组成几何不）相连，组成几何不变，但有一个多余约束的体系

41、。变，但有一个多余约束的体系。 (b)(a)AABBCCDDEEFFGGIIIIII(地基地基)IV V 2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院解：首先，取消二元体解：首先，取消二元体FEG；其次，地基扩大刚片；其次，地基扩大刚片I与刚片与刚片II用一铰（铰用一铰（铰B）一链杆（杆）一链杆（杆）相连，组成地基扩大新刚片）相连，组成地基扩大新刚片ABC；第三，该新刚片与刚片第三，该新刚片与刚片III用三杆用三杆、相连，组成几何不变相连，组成几何不变且无多余约束的体系。且无多余约束的体系。 【例【例2-7】试对图示体系进行几

42、何组成分析。】试对图示体系进行几何组成分析。(a)(b)AABBCCDDEEGGFFI(地基扩大刚片地基扩大刚片) IIIII 2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例2-8】试对图】试对图a所示体系进行几何组成分析。所示体系进行几何组成分析。解：首先，依次取消二元体解：首先，依次取消二元体1、2；其次，分析所余部分，除；其次，分析所余部分，除刚片刚片I、II之外，还有之外，还有7根链杆，若选择其中一杆视为刚片根链杆，若选择其中一杆视为刚片III，则，则三刚片之间共有三刚片之间共有6根杆，形成不共线的三个虚铰即根杆

43、，形成不共线的三个虚铰即I，II、I，III和和II，III，组成内部几何不变且无多余约束的体系。，组成内部几何不变且无多余约束的体系。 I IIIII IIII III III(a)(b)1234567891012IIIIIII，III，IIIII，III2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例2-9】试对图示体系进行几何组成分析。】试对图示体系进行几何组成分析。解：首先，进行简化，将解：首先，进行简化，将“不变部分，并为一杆（刚片）不变部分，并为一杆（刚片）”，其中刚片其中刚片I、III分别按三刚片规则和二元体

44、规则组成；其次，对刚片分别按三刚片规则和二元体规则组成；其次，对刚片I、II、III进行几何组成分析，该三刚片用不共线的三铰（铰进行几何组成分析，该三刚片用不共线的三铰（铰A、B、C）两两相连，组成几何不变体系，但有一个多余约束（杆）两两相连，组成几何不变体系，但有一个多余约束（杆AD）。）。 IABCDEFGHJKABCDIIIIII2.6几何组成分析的方法及示例几何组成分析的方法及示例All Rights Reserved重庆大学土木工程学院解：当一个体系的支杆多于三根时，常运用三刚片规则进行分解：当一个体系的支杆多于三根时，常运用三刚片规则进行分析。本例若按常规以铰结三角形析。本例若按常规以铰结三角形124、235和地基为刚片，则分析将和地基为刚片，则分析将无法进行下去，这时应重新选择刚片和约束后再试。今选三刚片如无法进行下去，这时应重新选择刚片和约束后再试。今选三刚片如图图b所示，三刚片之间由三个虚铰两两相连：所示，三刚片之间由三个虚铰两两相连：I，III与与II，III以及以及无穷远点处的无穷远点处的I，II共在一直线上，故体系为瞬变。共在一直线上，故体系为瞬变。 【例【例2-10】试对图】试对图a所示体系进行几何组成分析。所示体系进行几何组成分析。I III IIIII II(a)(b)1234