控制系统的数学模型(1)

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 2.1 数学模型的概念数学模型的概念2.2 2.2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 动态微分方程动态微分方程2.3 2.3 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型 传递函数传递函数2.4 2.4 控制系统的动态结构图控制系统的动态结构图2.5 2.5 控制系统的信号流图控制系统的信号流图 所谓的数学模型，所谓的数学模型，是指描述系统内部物理量（或是指描述系统内部物理量（或各变量）之间关系的数学表达式各变量）之间关系的数学表达式。 数学模型是控制系统定量分析的基础。数学模型是控制系统定量分析的基础。u 静态数学模型：静

2、态数学模型： 静态条件下（即变量各阶导数为零时），各变量静态条件下（即变量各阶导数为零时），各变量之间的代数方程。之间的代数方程。u 动态数学模型：动态数学模型： 描述系统动态过程中，各变量之间关系的数学表描述系统动态过程中，各变量之间关系的数学表达式，如动态微分方程等。达式，如动态微分方程等。2.1 数学模型的概念微分方程：微分方程： 时域数学模型，是其它模型的基础，直观但求解繁琐。时域数学模型，是其它模型的基础，直观但求解繁琐。传递函数：传递函数： 复域数学模型，是微分方程拉氏变换后的结果，是用复域数学模型，是微分方程拉氏变换后的结果，是用的最多的一种数学模型。的最多的一种数学模型。频率特

3、性函数：频率特性函数：频域数学模型，可直接用实验的方法获频域数学模型，可直接用实验的方法获得，有多种曲线表示方法，因而可用图解法进行分析。得，有多种曲线表示方法，因而可用图解法进行分析。常用的数学模型有：常用的数学模型有： 动态微分方程动态微分方程、传递函数传递函数、响应曲线响应曲线、动态结构动态结构图图、信号流图信号流图、脉冲响应函数脉冲响应函数、频率特性函数等。、频率特性函数等。u 数学模型的类型：数学模型的类型： 分析法：分析法： 分析系统各部分的运动机理，根据它们所依据的分析系统各部分的运动机理，根据它们所依据的特理或化学规律列写相应的动动方法。特理或化学规律列写相应的动动方法。 2)

4、 2) 实验法：实验法： 人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法称为系统辨识。系统辨识。分析系统，忽略一些次要因素，分析系统，忽略一些次要因素，确确定其定其消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程；微分方程；将方程式化成标准形。将方程式化成标准形。uoui例：例：RC电路电路+-uiuo+-CiR输入量：输入量：输出量：输出量：（1）确定输入和输出量确定输入和输出量（2）建立初始微分建立初始微分方程组方程组（3）消除中间变

5、量，）消除中间变量，使式子标准化使式子标准化可用一阶常系数线性微可用一阶常系数线性微分方程描述，为一阶系统。分方程描述，为一阶系统。ui= Ri + uoi=CduodtRCduodt+ uo= ui例例2-8:下图所示下图所示RLC电路，试列写以电路，试列写以u1为输入量，为输入量，以以u2为输出量的微分方程。为输出量的微分方程。输入量：输入量：u ui i输出量：输出量：u uo o 根据基尔霍夫定律，可根据基尔霍夫定律，可得系统的动态微分方程：得系统的动态微分方程：可用二阶线性微分方程描述，可用二阶线性微分方程描述，对应二阶系统对应二阶系统+-uiuo+-CiRLdtdiLuL dtdu

6、Cio dtduRCiRuoR ioo2o2uudtduRCdtudLC 2o2LdtudLCdtdiLu 例2-10:弹簧阻尼系统系统组成：系统组成：物体物体m弹簧弹簧k阻尼器阻尼器f输入量：外力输入量：外力F弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF输出量：物体的位移输出量：物体的位移xx微分方程组微分方程组:F=maF(t)F2(t)F1(t)=ma根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有:弹簧的弹力弹簧的弹力阻尼器阻尼力阻尼器阻尼力代入上式，消除中间变量得代入上式，消除中间变量得:其中，其中，F1=fdxdtF2=k xa=d2xdt2弹簧的阻力：弹簧的阻力：阻尼器的粘性摩擦阻力：阻尼器的粘

7、性摩擦阻力：加速度：加速度：可用二阶线性微分方程描述，对应二阶系统可用二阶线性微分方程描述，对应二阶系统FKxdtdxfdtxdm22 ：任何系统，只要它们的微分方程：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例例2-8例例2-10相似系统揭示了不相似系统揭示了不同物理现象间的相同物理现象间的相似关系，便于我们似关系，便于我们使用一个简单模型使用一个简单模型去研究与其相似的去研究与其相似的复杂系统，也为控复杂系统，也为控制系统的计算机数制系统的

8、计算机数字仿真提供了基础。字仿真提供了基础。ioo2o2uudtduRCdtudLC FKxdtdxfdtxdm22 ) t ( rb) t ( rdtdb) t ( rdtdb) t ( rdtdb) t ( ca) t ( cdtda) t ( cdtda) t ( cdtdam1m1m1m1mm0n1n1n1n1nn0 实际物理系统的运动方程，若用线性定常微分实际物理系统的运动方程，若用线性定常微分方程来描述，其一般形式为：方程来描述，其一般形式为：3. 线性微分方程的一般形式式中，式中， 系统的输出量系统的输出量 系统的输入量系统的输入量)t (c)t ( r从工程可实现的角度来看，上

9、述微分方程应满足从工程可实现的角度来看，上述微分方程应满足以下约束条件：以下约束条件：。)t ( rb)t ( rdtdb)t ( rdtdb)t ( rdtdb)t (ca)t (cdtda)t (cdtda)t (cdtdam1m1m1m1mm0n1n1n1n1nn0 mn 4. 非线性微分方程的线性化严格讲，实际系统或多或少都有一定的非线性特严格讲，实际系统或多或少都有一定的非线性特性，为简化分析，在一定的条件下，可忽略一些性，为简化分析，在一定的条件下，可忽略一些次要因素，将非线性系统简化为线性系统。次要因素，将非线性系统简化为线性系统。方法：方法： 若系统在工作点处的各阶导数或偏导数

10、均存若系统在工作点处的各阶导数或偏导数均存在，则可将非线性方程在工作点处按泰勒级数展在，则可将非线性方程在工作点处按泰勒级数展开，略去二阶以上的高阶项，实现近似线性化。开，略去二阶以上的高阶项，实现近似线性化。当偏差较小当偏差较小时，略去二阶以上小偏差量，可得：时，略去二阶以上小偏差量，可得： 例：将非线性系统例：将非线性系统y=f(x)y=f(x) 在静态工作点在静态工作点y y0 0=f(x=f(x0 0) ) 处作近似线性化处理。处作近似线性化处理。 20 xx220 xx0 xxdr)x( fd21)xx(dr)x(dfxfy00）（）（！）（）（)xx(dr)x(dfxf)x(fyy

11、0 xx000 ）（）（写为增量形式为：写为增量形式为：xky 式中：式中：0 xx00)dt)x(df(k,xxx,yyy （增量线性方程）解：在工作点处按泰勒级数展开：解：在工作点处按泰勒级数展开：线性化处理中应注意以下几点：线性化处理中应注意以下几点：1 1）必须确定系统的静态工作点，在不同的工作）必须确定系统的静态工作点，在不同的工作点，非线性曲线的斜率是不同的。点，非线性曲线的斜率是不同的。2 2）近似线性化略去了式中二阶以上项，如果系）近似线性化略去了式中二阶以上项，如果系统工作范围较大，将带来较大误差。统工作范围较大，将带来较大误差。3 3）对于某些本质非线性系统，不能采用近似线

12、）对于某些本质非线性系统，不能采用近似线性化处理，只能采用非线性理论进行分析处理性化处理，只能采用非线性理论进行分析处理本质非线性系统本质非线性系统输出输出0输入输入(a)饱和非线性饱和非线性输出输出0输入输入(b)死区非线性死区非线性2-3 控制系统的复域数学模型 传递函数微分方程微分方程是以时间是以时间t t为变量的为变量的实域数学模型实域数学模型利用拉氏变换可将线性微分方程转换为利用拉氏变换可将线性微分方程转换为复复数域内数域内一种新的数学模型一种新的数学模型传递函数传递函数。传递函数不仅可表征系统的动态性能，而传递函数不仅可表征系统的动态性能，而且可用来研究系统的结构和参数变化对系统且

13、可用来研究系统的结构和参数变化对系统性能的影响，是经典控制理论中最基本和最性能的影响，是经典控制理论中最基本和最重要的一种数学模型。重要的一种数学模型。1. 传递函数的定义和性质（1 1）传递函数的定义：）传递函数的定义：零初始条件零初始条件下下，系统输出量的拉氏变换与输入量，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，若记为的拉氏变换之比，若记为G(s)，则，则)s(R)s(C)s(G G(S)R(s)C(s)r(t)c(t)输入量输入量输出量输出量输入量的输入量的拉氏变换拉氏变换输出的量输出的量拉氏变换拉氏变换例例2-15 2-15 求求RLCRLC电路的传递函数，设初始条件为零。电路的传

14、递函数，设初始条件为零。+-uiuo+-CLRi解：系统的动态微分方程为：解：系统的动态微分方程为：初始条为零时，方程两边取拉氏变换：初始条为零时，方程两边取拉氏变换：可得，系统的传递函数为可得，系统的传递函数为: : ioo2o2uudtduRCdtudLC )s(U)s(U)s(RCsU)s(ULCsiooo2 1RCsLCs1)s(U)s(U)s(G2io 线性定常系统微分方程的一般形式为：线性定常系统微分方程的一般形式为：可得，系统传递函数的一般形式为：可得，系统传递函数的一般形式为：)t ( rb)t ( rb)t (rb)t (rb)t (xa)t (xa)t (ca)t (cam

15、1m)1m(1)m(0n1n)1n(1)n(0 初始条件为零时初始条件为零时，方程两边取拉变氏得：，方程两边取拉变氏得： )s(R)bsbsbsb)s(C)asasasa(m1m1m1m0n1n1n1n0 asasasabsbsbsb)s(R)s(C)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 （2）传递函数的性质 传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。对应。 传递函数是传递函数是系统本身的一种属性系统本身的一种属性，取决于系统的取决于系统的结构和特征参数，结构和特征参数，与输入量的大小和性质无关。与输入量的大小和性质无关。 传递函数只适用于传递

16、函数只适用于线性定常系统线性定常系统，因为拉氏变换，因为拉氏变换是一种线性变换。是一种线性变换。 传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。系，对中间变量不反应。 传递函数是在传递函数是在零初始条件下零初始条件下定义的，因而它不定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。能反映在非零初始条件下系统的运动情况。 传递函数一般为复变量传递函数一般为复变量s s 的有理分式，即的有理分式，即n n m m。并且所有的系数均为实数。并且所有的系数均为实数。 若若G(s)已知，则由已知，则由)s(R)s(GL)s(CL)t ( c

17、)s(R)s(G)s(C11 )s(R)s(C)s(G 即可研究在各种输入作用下系统的输出响应。即可研究在各种输入作用下系统的输出响应。2、传递函数的零点和极点)s(N)s(Masasasabsbsbsb)s(R)s(C)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 式中：式中：m1m1m1m0bsbsbsb)s(M n1n1n1n0asasasa)s(N 分子多项式分母多项式若：若：2、传递函数的零点和极点2 2）使）使 所对应的点，称为传递函数的所对应的点，称为传递函数的极点 或称为或称为特征根。0)s(N 3 3）把）把 这个方程称为这个方程称为特征方程。0)s(N 1 1）使）使 所对应的点

18、，称为传递函数的所对应的点，称为传递函数的零点0)s(M 几个重要概念：)s(N)s(Masasasabsbsbsb)s(R)s(C)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 例：若系统的传递函数为：例：若系统的传递函数为：则，系统的则，系统的零点零点为：为： )4s)(3s( s)2s)(1s()s(R)s(C)s(G 2z1,z21 系统的系统的特征方程特征方程为：为：系统的系统的极点极点（特征根特征根）为：）为：0)4s)(3s( s 4p,3p,0p321 3. 传递函数的描述形式（2） 零极点的描述形式（首型）式中，式中，（1） 一般形式 n1jjm1iign1n-1n-1nm1m-1

19、m-1m00)ps()zs(Kcscscsdsdsdsab)s(G)n,2 , 1j(pj 传递函数的传递函数的n n个个极点极点00*abK )m,2 , 1i (zi 传递函数的传递函数的m m个个零点零点)mn(asasasabsbsbsb)s(Gn1n1n1n0m1m1m1m0 传递系数传递系数（3） 时间常数的描述形式（尾型） n1jjm1ii1n1n-1n01m1m-1m0nm)1sT()1s(K1sesese1sfsfsfab)s(G 式中，式中，分子、分母各因子的时间常数分子、分母各因子的时间常数nmabK 传递函数的传递函数的放大系数或增益放大系数或增益jiT, （4） 传递

20、函数有共轭复数零、极点和零值极点时式中，式中，,mm2m21 2211n1lll22lm1kkk22kn1jjm1ii)1sT2sT()1s2s()1sT()1s(K)s(G nn2n21 2211n1lll22lm1kkk22kn1jjm1ii)1sT2sT()1s2s()1sT()1s(sK)s(G 系统的数学模型一般可看作由若干个系统的数学模型一般可看作由若干个典型环节典型环节组组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。统性能的了解。 常见的典型环节有：比例环节、惯性环节、积分常见的典型环节有：比例环节、惯性环节、积分环节、振

21、荡环节、微分环节、延迟环节等。环节、振荡环节、微分环节、延迟环节等。 4. 典型环节及其传递函数任一系统，其传递函数都可表示为：任一系统，其传递函数都可表示为： 2211n1lll22lm1kkk22kn1jjm1ii)1sT2sT()1s2s()1sT()1s(sK)s(G c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)拉氏变换拉氏变换: :传递函数传递函数: :（1）比例环节微分方程微分方程: :K-环节的放大系数环节的放大系数R(s)C(s)G(s)=KKR(s)C(s)环节的特点环节的特点: : 输入与输出成比例关系，无失真和时间延迟。输入与输出成比例关系，无失真和时间延迟。 比例环节方框图

22、比例环节方框图 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线: :ty(t)r(t)tk k1 1比例环节实例比例环节实例由线性电位器构成的比例环节：由线性电位器构成的比例环节：K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)K)s(U)s(U)s(Grc )t (Ku)t (urc （2）惯性环节微分方程微分方程:T惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数取拉氏变换：取拉氏变换：传递函数传递函数:1Ts1)s(R)s(C)s(G )t ( r)t (cdt)t (dcT )s(R)s(C)s(TsC （2）惯性环节方框图方框图R(s)C(s)Ts+11单位阶跃响应：单位阶跃响应：惯性环节的惯性环节的单

23、位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数：s1)s(R )0t (e1)t (cTt )T1s(1s1s11Ts1)s(R)s(G)s(C 单位阶跃响应曲线：单位阶跃响应曲线：Tte1c(t) 0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T是一条按指数规律是一条按指数规律上升的曲线。上升的曲线。惯性环节的特点惯性环节的特点: :只有一个极点：只有一个极点：输出量不能立即复现输入量的变化，即输出响输出量不能立即复现输入量的变化，即输出响应需要一定时间，应需要一定时间，T T越大惯性越大。越大惯性越大。输出稳态值输出稳态值 1)(c T1p 惯性环节实例惯性环节实例RC电路构成的惯

24、性环节电路构成的惯性环节+-u1u2+-CiR122uudtduRC 1Ts11RCs1)s(U)s(U)s(G12 动态方程动态方程传递函数传递函数式中，式中，RCT 微分方程：微分方程：（3）积分环节传递函数：传递函数： 0tdt)t ( r)t ( c s)s(R)s(C)s(G ts1sLR(s)G(s)Lc(t)11 单位阶跃响应：单位阶跃响应：特点：环节的输出量与输入量的积分成正比。特点：环节的输出量与输入量的积分成正比。单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)tc(t) 特点：特点：当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间当输入阶跃函数时，该环节的输出随

25、时间线性增长，增长速度由线性增长，增长速度由决定。当输入突然除去，决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有积分停止，输出维持不变，故有。s1)s(R （4）微分环节1）理想微分环节单位阶跃响应：单位阶跃响应：dt)t (dr)t (c 特点特点:输出量反映了输入量的变化率，输出量反映了输入量的变化率，而不而不反映输入量本身的大小。反映输入量本身的大小。sR(s)C(s)G(s) )t (s1sL)t ( c1 动态方程：动态方程：脉冲函数脉冲函数传递函数：传递函数：单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线在单位阶跃输入作用下，其输出为脉冲函数，由在单位阶跃输入作用下，其输出为脉冲函数，由于惯性的作用，理想脉冲实际中是不可能实现的。于惯性的作用，理想脉冲实际中是不可能实现的。r(t)t0c(t)c(t)r(t)近似理想微分环节实例近似理想微分环节实例+-uc+-CRurRC电路构成的微分环节电路构成的微分环节，当，当 1 1时，时，1RCsRCsCs1RR)s(U)s(U)s(Grc 1ss RC s)s(G -近似为理想微分环节近似为理想