高一数学：平面向量基本定理及坐标表示及向量积

1、平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量的数量积考点梳理考点梳理如果如果e1，e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量，那么对于这向量，那么对于这一平面内的任意向量一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1，2，使，使a1e12e2，其中不共线的向量，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所叫表示这一平面内所有向量的一组基底有向量的一组基底(1)平面向量的正交分解平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个向量正交分解是把一个向量分解为两个_的向的向量量1平面向量基本定理平面向量基本定理2平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示

2、不共线不共线互相垂直互相垂直(x，y)a(x，y)(3)规定规定相等的向量坐标相等的向量坐标_，坐标，坐标_的向量是相等的向的向量是相等的向量；量；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系体位置无关，只与其相对位置有关系相等相等相等相等(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模向量加法、减法、数乘向量及向量的模设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则(x1x2，y1y2)3平面向量运算的坐标表示平面向量运算的坐标表示(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)设设a(x1，y1)，b(x2

3、，y2)，其中，其中b0，ab_.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示x1y2x2y10考点梳理考点梳理1平面向量的数量积平面向量的数量积当当0时，时，a与与b_当当180时，时，a与与b_当当90时，时，a与与b_共线同向共线同向共线反向共线反向互相垂直互相垂直(2)定义：已知两个向量定义：已知两个向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，则数量，则数量_叫作叫作a与与b的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作ab，即，即ab_，由定义可知零向量与任一向量的数量，由定义可知零向量与任一向量的数量积为积为0，即，即0a0.(3)几何意义：数量积几何意义：数量积ab等于等于a的长度

4、的长度|a|与与b在在a的方向上的的方向上的射影射影_的乘积，或的乘积，或b的长度的长度|b|与与a在在b方向上的射影方向上的射影_的乘积的乘积|a|b|cos |a|b|cos |b|cos |a|cos 设向量设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量为向量a，b的夹角的夹角(1)数量积：数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.2平面向量数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示两个结论两个结论(1)两个向量两个向量a与与b的夹角为锐角，则有的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立，反之不成立(因为夹角为因为夹角为0时不成立时不成立)；(2)两个向量两个向量a与与b

5、的夹角为钝角，则有的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立，反之不成立(因为夹角为因为夹角为时不成立时不成立)三点提醒三点提醒(1)若若a，b，c是实数，则是实数，则abacbc(a0)；但对于向量；但对于向量就没有这样的性质，即若向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足若满足abac(a0)，则不一定有，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量个向量，但可以同时乘以一个向量【助学助学微博微博】(2)数量积运算不适合结合律，即数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由，这是由于于(ab)c表示一个与表示一个与c共线的向量，共

6、线的向量，a(bc)表示一个与表示一个与a共共线的向量，而线的向量，而a与与c不一定共线，因此不一定共线，因此(ab)c与与a(bc)不一不一定相等定相等A(2，4) B(2,4) C(6,10) D(6，10)答案答案A考点自测考点自测A0 B4 C4 D4解析解析若若ab，则有，则有444x0，解得，解得x4.答案答案C2(2013咸阳模拟咸阳模拟)已知向量已知向量a(4，x)，b(4,4)，若，若ab，则，则x的值为的值为 ()答案答案A4(2012重庆重庆)设设x，yR，向量，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且，且ac，bc，则，则|ab| ()答案答案B答案答案1考向一

7、考向一平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理及其应用答案答案6考向二考向二平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2)A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)答案答案(1)D(2)B(1)求满足求满足ambnc的实数的实数m，n；(2)若若(akc)(2ba)，求实数，求实数k.审题视点审题视点 (1)向量相等对应坐标相等，列方程解之；向量相等对应坐标相等，列方程解之；(2)由两向量平行的条件列方程解之由两向量平行的条件列方程解之考向三考向三平面向量共线的坐标运算平面向量共线的坐标运算【例例3】 平面内给定三个向量平面内给定三个向量a

8、(3,2)，b(1,2)，c(4,1)，请解答下列问题：，请解答下列问题：(2)已知向量已知向量a(m，1)，b(1，2)，c(1,2)，若，若(ab)c，则，则m_.解析解析(1)由条件中的四边形由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以的对边分别平行，可以判断该四边形判断该四边形ABCD是平行四边形是平行四边形【训练训练3】 (1)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，四边形中，四边形ABCD的边的边ABDC，ADBC.已知点已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则则D点的坐标为点的坐标为_Aab Bab C|a|b| Dabab解析解析由由|ab|ab|，两边平方并化简得

9、，两边平方并化简得ab0，又，又a，b都是非零向量，所以都是非零向量，所以ab.答案答案B考点自测考点自测1(2012辽宁辽宁)已知两个非零向量已知两个非零向量a，b满足满足|ab|ab|，则，则下面结论正确的是下面结论正确的是 ()A30 B60 C120 D150答案答案C2若非零向量若非零向量a，b满足满足|a|b|，(2ab)b0，则，则a与与b的的夹角为夹角为 ()答案答案D答案答案16【例例1】 (1)若向量若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足，满足条件条件(8ab)c30，则，则x_. 审题视点审题视点 (1)直接利用数量积的坐标运算即可；直接利用数量积的坐标运算

10、即可； (2)由条件表示出由条件表示出ab，然后找到关于，然后找到关于k的等式进行求的等式进行求 解解考向一考向一平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算解析解析(1)依题意可得依题意可得8ab(6,3)，(8ab)c363x30，解得，解得x4.【例例2】 (1)已知向量已知向量a，b满足满足ab0，|a|1，|b|2，则则|2ab|_. 审题视点审题视点 (1)利用利用|a|2aa求解；求解； (2)找出平行四边形的面积与找出平行四边形的面积与|a|b|的关系式的关系式考向二考向二向量的夹角与向量的模向量的夹角与向量的模(2)已知已知a与与b是两个非零向量，且是两个非零向量，且|a|b|a

11、b|，则，则a与与ab的夹角为的夹角为_解析解析(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又又|a|4，|b|3，ab6.【训练训练2】 (1)已知已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，则则|ab|_.(1)求证：求证：ab与与ab互相垂直；互相垂直；(2)若若kab与与akb的模相等，求的模相等，求.(其中其中k为非零实数为非零实数)审题视点审题视点 (1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证量的数量积问题，数量积为零即得证(2)由模相等，列等式、化简由模相等，列等式、化简(1)证明

12、证明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与与ab互相垂直互相垂直考向三考向三平面向量数量积的综合应用平面向量数量积的综合应用【例例3】 已知已知a(cos ，sin )， b(cos ，sin )(0) (1)当向量当向量a与与b是坐标形式给出时，若证明是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明，则只需证明ab0 x1x2y1y20.(2)当向量当向量a，b是非坐标形式时，要把是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明

13、从而进行运算证明ab0.(3)数量积的运算中，数量积的运算中，ab0ab中，是对非零向量而言中，是对非零向量而言的，若的，若a0，虽然有，虽然有ab0，但不能说，但不能说ab.(1)证明：证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数若存在不同时为零的实数k和和t，使，使ca(t23)b，dkatb，且，且cd，试求函数关系式，试求函数关系式kf(t)【命题研究命题研究】 通过近三年高考试题分析，平面向量数量通过近三年高考试题分析，平面向量数量积的应用是必考内容，主要考查利用数量积解决垂直、积的应用是必考内容，主要考查利用数量积解决垂直、长度、夹角等问题，题型为选择题、填空题，难度中长度、夹角等问题，题型为选择题、填空题，难度中等偏下等偏下热点突破热点突破1212平面向量的数量积在平面几何中的应用平面向量的数量积在平面几何中的应用教你审题教你审题