高数下常数项级数

1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数傅氏级数傅氏级数第十二章目录 上页 下页 返回 结束 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 第一节 第十二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正),2, 1,0(23nn边形, 这个和逼近于圆的面

2、积 A .0a1a2ana设 a0 表示,时n即naaaaA210内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正边形面积为n23目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2. (神秘的康托尔尘集) 把0,1区间三等分, 舍弃中间的开区间),(3231,31将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃在中间的开区间, 如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃的各开区间长依次为,232,3232,4332,321nn故丢弃部分总长nnl3232323231143322丢1323322323231)()()(1n1321131剩余部分总长01丢剩ll 剩余部

3、分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”, 它们象尘埃一样散落在0,1区间上, 人们称其为康托尔尘集.01313291929798(此式计算用到后面的例1)目录 上页 下页 返回 结束 引例引例3. 小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.由自由落体运动方程221tgs 知gst2则小球运动的时间为1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, (此式计算用到 后面的例1)少一半,目录 上页 下页 返回 结束 定义定义： 给定一个数列,321nuuuu将各项依

4、,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数， 其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加, 简记为,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和, 记作目录 上页 下页 返回 结束 1nnuS当级数收敛时, 称差值21nnnnuuSSr为级数的余项余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数发散发散 .显然0limnnr目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaS

5、qqaan1时，当1q, 0limnnq由于从而qannS1lim因此级数收敛 ,;1 qa,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散 .其和为目录 上页 下页 返回 结束 2). 若,1q,1时当qanSn因此级数发散 ;,1时当qaaaaan 1) 1(因此nSn 为奇数n 为偶数从而nnSlim综合 1)、2)可知,1q时, 等比级数收敛 ;1q时, 等比级数发散 .则,级数成为,a,0不存在 , 因此级数发散.)0(,0aqann目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 判别下列级数的敛散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1)

6、12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln目录 上页 下页 返回 结束 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 判别级数2211lnnn的敛散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2

7、) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原级数收敛 , 其和为.2ln目录 上页 下页 返回 结束 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数1nnu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,证证: 令,1nkknuS则nkknuc1,nScnnlimSc这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . nnSclim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .目录 上页 下页 返回 结束 性质性质2. 设有两个收敛级数,1nnuS1nn

8、v则级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S证证: 令,1nkknuS,1nkknv则)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或相减 .(用反证法可证)目录 上页 下页 返回 结束 性质性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.证证: 将级数1nnu的前 k 项

9、去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数目录 上页 下页 返回 结束 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和序列 ),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 (

10、) 11 (但1111发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如目录 上页 下页 返回 结束 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu证证: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般项为1) 1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数nnn13121111虽然，01limlimn

11、unnn但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假设不真 .21目录 上页 下页 返回 结束 例例4.判断级数的敛散性:141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:;!e) 1 (1nnnnn解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!ennnnnu 则nnu

12、u1nn)1 (e1),2, 1(1n故e11uuunn从而,0limnnu这说明级数(1) 发散.111)1 (e)1 (nnnn11) 1(! ) 1(ennnnnnnn!e目录 上页 下页 返回 结束 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行拆项相消进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛 ,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2) 目录 上页 下页 返回 结束 1212)3(nnn32252321

13、nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛, 其和为 3 .3limnnS故(3) 目录 上页 下页 返回 结束 的充要条件是:*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 定理定理.收敛级数1nnu, 0,NNpnnnuuu21时，当Nn ,Np对任意有证证: 设所给级数部分和数列为),2, 1(nSn因为npnpnnnSSuuu21所以利用数列 ),2, 1(nSn的柯西审敛原理(第一章第六节) , 即得本定理的结论.目录 上页 下页 返回 结束 例例6. .112的敛散性nnpnnnuuu21解解: ,Np对任意有利用柯西审敛原理判别级数 222)(1)2