高等数学A第7章多元函数积分学13-16(第一类曲面积分)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A7.2.4 7.2.4 第一类曲面积分第一类曲面积分 7.2.4 7.2.4 第一类曲面积分第一类曲面积分一、对面积的曲面积分的引例与概念一、对面积的曲面积分的引例与概念 二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质 三、对面积的曲面积分的计算法三、对面积的曲面积分的计算法 直接计算法直接计算法 习例习例1-4对称性简化计算法对称性简化计算法习例习例5-6四、对面积的曲面积分的应用四、对面积的曲面积分的应用 应用公式应用公式习例习例7-10五、小结五、小结第一类曲面积分第一类曲面积分o

2、xyz一、对面积的曲面积分的引例与概念一、对面积的曲面积分的引例与概念引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度 求质量求质量 M. ( , , ),x y z 类似于求平面薄板质量的思想类似于求平面薄板质量的思想, (,)kkkkS nk 10lim M (,)kkk 采用采用“分割分割, 近似近似, 求和求和, 求极限求极限”的方的方法法,可得可得其中其中, 表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 (曲面的直径曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者为其上任意两点间距离的最大者). 类似的，类似的，求温度非均匀分布的曲面上的热量、电荷非均匀分布的曲面

3、求温度非均匀分布的曲面上的热量、电荷非均匀分布的曲面壳上的电量等问题，也会遇到上述类型的和式极限，壳上的电量等问题，也会遇到上述类型的和式极限，因此，有必要研因此，有必要研究这一类型的和式极限，为此，引入对面积的曲面积分的概念究这一类型的和式极限，为此，引入对面积的曲面积分的概念.( , , )dMx y zS 定义定义: 设设 为光滑曲面为光滑曲面,“乘积乘积和式极限和式极限” (,)kkkkfS 1nk 0lim 都存在都存在,的的曲面积分曲面积分( , , )f x y z dS 其中其中 f (x, y, z) 叫做被积叫做被积据此定义据此定义, 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲

4、面面积为曲面面积为dSS f (x, y, z) 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点, 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数, 叫做积分曲面叫做积分曲面.注意注意.),( ,),( )1(存存在在积积分分对对面面积积的的曲曲面面上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲面面当当 dSzyxfzyxf.),( )2( dSzyxm 曲面型构件的质量曲面型构件的质量.),(,)3( dSzyxf则记为则记为为封闭曲面为封闭

5、曲面若若. 0 )4( iS第一类曲面积分与曲面的方向无关第一类曲面积分与曲面的方向无关! 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质.),(),(),(),()1( dSzyxgdSzyxfdSzyxgzyxf).(),(),( )2(为常数为常数kdSzyxfkdSzyxkf .),(),(),()3(21 dSzyxfdSzyxfdSzyxf).(21 . )4( dSS1. 直接计算法直接计算法 定理定理1. ,),(),(: )1(xyDyxyxzz 设设有有光光滑滑曲曲面面 ,),()2

6、(上上连连续续在在 zyxf.1),(,),( 22 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf则则证明证明 oxyz d cosddS 1, yxzzn dzzdSyx221 故结论成立故结论成立.dS n 三、对面积的曲面积分的计算法三、对面积的曲面积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：说明说明:( , ), ( , )yzxx y zy zD ( , ), ( , )xzyy x zx zD 或或有类似的公式有类似的公式.如果曲面方程为如果曲面方程为22 , ( , ), 1;xzxzDf x y x z zyy dxdz dSzyxf),(2

7、2 ( , ), , 1.yzyzDf x y zy zxx dydz dSzyxf),(对面积的曲面积分的计算方法是对面积的曲面积分的计算方法是-将其化为投影将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.2222d1 , (0)Sxyzazzhha 例例求求是是被被平平面面所所截截得得的的上上面面那那部部分分曲曲面面. .例例2 计算曲面积分计算曲面积分 ,其中其中 是曲面是曲面 被平面被平面 所截下的带锥顶的那部分所截下的带锥顶的那部分. 22()xydS 223()zxy 3z 例例3 计算计算 ,其中其中 如图所示为封闭曲面如图所示为封闭曲面. xyzdS 222dSIxyz 例例

8、4 计算计算 ,其中其中 是介于平面是介于平面 之间的圆柱面之间的圆柱面 . 0,zzH222xyR yxD解解222:,( , )x yx yDzaxy2222:xyDxyah 221xyzz222aaxy dSz 20da 222212ln()20ahaar 2ln.aah 222x yDd xd yaxya 22220dahr rar oxzyha2222d1 , (0)Sxyzazzhha 例例求求是是被被平平面面所所截截得得的的上上面面那那部部分分曲曲面面. .思考思考:如果如果 是球面是球面 被平面被平面2222xyza z =hd( )Sz d( )Sz 04lnhaa hhox

9、zy所截得的上、下两部分曲面，则所截得的上、下两部分曲面，则例例2 计算曲面积分计算曲面积分 ,其中其中 是曲面是曲面 被平面被平面 所截下的带锥顶的那部分所截下的带锥顶的那部分. 22()xydS 223()zxy 3z 解解22:3()zxy22:3(0)xyDxyz 223xxzxy 223yyzxy 2212xydSzz dxdydxdy 22,()xydS 所所以以2212xydSzz dxdydxdy 222()xyDdxyxdy 233002dr dr 9 . 思考思考:22223()3()=zxyzxSyd 是是锥锥面面和和平平面面所所围围成成封封闭闭曲曲面面, 则, 则？1z

10、yx例例3 计算计算 ,其中其中 如图所示为封闭曲面如图所示为封闭曲面. xyzdS 解解1234 123, 其中为三个坐标面4:1xyz123,( , , )0f x y z 在在三三个个坐坐标标面面上上 被被积积函函数数4xyzdSxyzdS4:1,:01xyzxy Dxy 2213xxdSzz dxdydxdy4zdx zdSxySy 3.120 2213xxdSzz dxdydxdy11003(1)xdxxyxy dy 1zyx4:1,:01xyzxy Dxy 解解 yzox; ,0:RyRhzDyz ,:221yRx ,22yRyxy , 0 zx,122222yRRxxzy ,:2

11、22yRx ,122222yRRxxzy 222dSIxyz 例例4 计算计算 ,其中其中 是介于平面是介于平面 之间的圆柱面之间的圆柱面 . 0,zzH222xyR yzDdydzyRRzR22221 2122222211dSzyxdSzyxI yzDdydzyRRzR22221 yzDdydzyRRzR222212 hRRdzzRdyyRR02222112.arctan2Rh 2. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 (1) ,xoy当 关于面对称 ),(),( 0),(),( ),(2),(2zyxfzyxfzyxfzyxfdSzyxfdSzyxf(2) ,yoz当 关于面对称 ),(

12、),( 0),(),( ),(2),(2zyxfzyxfzyxfzyxfdSzyxfdSzyxf(3) ,zox当 关于面对称 ),(),( 0),(),( ),(2),(2zyxfzyxfzyxfzyxfdSzyxfdSzyxf22225 (), .Ixyyzzx dSxyza 例例计计算算为为球球面面22,1 .Ixyz dSzxyz 例例6 求6 求其其中中 是是被被割割下下的的部部分分解解球面关于三个坐标面对称球面关于三个坐标面对称, , , 的的奇奇函函数数是是关关于于且且zyxzxyzxy dSzxyzxyI)( zxdSyzdSxydS. 0000 22225 (), .Ixyy

13、zzx dSxyza 例例计计算算为为球球面面22,1 .Ixyz dSzxyz 例例6 求6 求其其中中 是是被被割割下下的的部部分分解解xyz0, 0, 1:22 yxyxDxy且且,:221yxz ,2xzx ,2yzy ),(4112222yxzzyx ,22面对称面对称面与面与关于关于抛物面抛物面zoxyozyxz , 的偶函数的偶函数与与是关于是关于而而yxzxyxyz 14xyzdSIdxdyyxyxxyxyD)(41)(42222 drdrrxyD2541cossin4 10252041cossin4drrrd .42015125 ,),()1(的的面面密密度度时时表表示示当当

14、 zyx ;),( dSzyxm ;,1),()2( dSSzyxf面面积积时时当当 )3(曲面构件的重心坐标曲面构件的重心坐标 . , dSdSzzdSdSyydSdSxx 曲面构件的转动惯量曲面构件的转动惯量)4( ,)( ,)(2222 dSzxIdSzyIyx .)( ,)(22222 dSzyxIdSyxIoz 四、对面积的曲面积分的应用四、对面积的曲面积分的应用 例例10 求半径为求半径为R R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心的重心. .例例7 曲面曲面 将球面将球面 分成三部分，求此三部分的面积之比分成三部分，求此三部分的面积之比.2213zxy22225xyz 例例8 求椭圆

15、柱面求椭圆柱面 位于位于xoy面上方及平面面上方及平面 下方那部分柱面下方那部分柱面 的侧面积的侧面积S.22159xy zy 例例9 已知曲面已知曲面壳壳 的面密度的面密度 求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面z = 1 以上部分以上部分 的质量的质量M.223()zxy 22xyz 例例7 曲面曲面 将球面将球面 分成三部分，求此三部分的面积之比分成三部分，求此三部分的面积之比.2213zxy22225xyz 解解3422:25zxy 229xy 2216xy1A3A22525dSdxdyxy 11122525xyDAdSdxdyxy 2320051025rddrr 33322525xyDAd

16、Sdxdyxy 2420052025rddrr 22134570AAA 123:1:7:2AAA oyxzL解解:5cos ,3sin(0)L xtytt 取取dSS dLz s 20354cosdcostt sd159ln5.4zddSzs 2203sin5sin9cosdtttt dLy s 2222222ln()22uaau duauuauC 例例8 求椭圆柱面求椭圆柱面 位于位于xoy面上方及平面面上方及平面 下方那部分柱面下方那部分柱面 的侧面积的侧面积S.22159xy zy 解解 在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 22:2 ,x yDxy 故故dMS 222003d14drrr 22201614d(14)8rr 22314()d dx yDxyx y 13 . 223,xyz 22144,dSxy dxdy 223()zxy 代代入入曲曲面面方方程程例例9 已知曲面已知曲面壳壳 的面密度的面密度 求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面z = 1 以上部分以上部分 的质量的质量M.223()zxy 22xyz 解解 设设 的方程为的方程为利用对称性可知重心的坐标利用对称性可知重心的坐标0,xy而而 z 222zRxy222RdSdxdyRxy dS dz