几何概型复习课件(总结)

1、 要点梳理要点梳理1.1.几何概型几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ _(_ _(_或或_)_)成比例成比例, ,则称这样的概率模型为几何则称这样的概率模型为几何 概率模型概率模型, ,简称为简称为_._. 2. 2.几何概型中几何概型中, ,事件事件A A的概率计算公式的概率计算公式 P P( (A A)= .)= .几何概型几何概型)()(面面积积或或体体积积的的区区域域长长度度试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成面面积积或或体体积积的的区区域域长长度度构构成成事事件件A长长度度 面积面积体积体积几何概型几何概型基础知识基础

2、知识 自主学习自主学习3.3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点: : (1) (1)无限性：在一次试验中无限性：在一次试验中, ,可能出现的结果有无限可能出现的结果有无限 多个；多个； (2)(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性等可能性：每个结果的发生具有等可能性. .4.4.几何概型的试验中几何概型的试验中, ,事件事件A A的概率的概率P P( (A A) )只与子区域只与子区域A A 的几何度量的几何度量( (长度、面积或体积长度、面积或体积) )成正比成正比, ,而与而与A A的位的位 置和形状无关置和形状无关. .5.5.求试

3、验中几何概型的概率求试验中几何概型的概率, ,关键是求得事件所占区关键是求得事件所占区 域和整个区域域和整个区域 的几何度量的几何度量, ,然后代入公式即可求然后代入公式即可求 解解. .1“概率为概率为1的事件一定是必然事件，概率为的事件一定是必然事件，概率为0的事件一的事件一定是不可能事件定是不可能事件”，这个说法正确吗？，这个说法正确吗？【提示提示】不正确如果随机事件所在区域是一个单点，不正确如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为由于单点的长度、面积、体积均为0，则它的概率为，则它的概率为0，事件可能发生，所以概率为事件可能发生，所以概率为0的事件不一定是不可能事

4、件；的事件不一定是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它的概率为它的概率为1，但它不是必然事件，但它不是必然事件2古典概型与几何概型有哪些异同点？古典概型与几何概型有哪些异同点？【提示提示】古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个概型的基本事件有无限个题型一题型一 与长度有关的几何概型与长度有关的几何概型【例例1 1】有一段长为有一段长为1010米的木棍米的木

5、棍, ,现要截成两段现要截成两段, ,每段每段 不小于不小于3 3米的概率有多大？米的概率有多大？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件从每一个位置剪断都是一个基本事件, ,基基 本事件有无限多个本事件有无限多个. .但在每一处剪断的可能性相等但在每一处剪断的可能性相等, , 故是几何概型故是几何概型. . 思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 记记“剪得两段都不小于剪得两段都不小于3 3米米”为事件为事件A A, ,从木棍的从木棍的 两端各度量出两端各度量出3 3米米, ,这样中间就有这样中间就有10-3-3=4(10-3-3=4(米米).).在中在中间的间的4 4米长的木棍处

6、剪都能满足条件米长的木棍处剪都能满足条件, ,所以所以 从该题可以看出从该题可以看出, ,我们将每个事件理解为我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点从某个特定的几何区域内随机地取一点, ,该区域中每该区域中每一点被取到的机会都一样一点被取到的机会都一样. .而一个随机事件的发生则而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点, ,这样的概率模型就可以用几何概型来求解这样的概率模型就可以用几何概型来求解. . . 4 . 0104103310)(AP探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 平面上有一组平行线平面上有一

7、组平行线, ,且相邻平行线间且相邻平行线间 的距离为的距离为3 cm,3 cm,把一枚半径为把一枚半径为1 cm1 cm的硬币任意平抛在的硬币任意平抛在 这个平面上这个平面上, ,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率则硬币不与任何一条平行线相碰的概率 是是 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如图所示如图所示, ,这是长度型几何概型问题这是长度型几何概型问题, ,当硬币当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰碰, ,故所求概率为故所求概率为41312132.31PB题型二题型二 与面积与面积(或体积或

8、体积)有关的几何概型有关的几何概型 在边长为在边长为2 2的正的正ABCABC内任取一点内任取一点P P, , 则使点则使点P P到三个顶点的距离至少有一个小于到三个顶点的距离至少有一个小于1 1的概率的概率 是是_._. 解析解析 以以A A、B B、C C为圆心为圆心, ,以以1 1为半为半 径作圆径作圆, ,与与ABCABC交出三个扇形交出三个扇形, , 当当P P落在其内时符合要求落在其内时符合要求. .63243)1321(322P63题型三题型三 与角度有关的几何概型与角度有关的几何概型 【例例3 3】在在RtRtABCABC中中,A A=30=30, ,过直角顶点过直角顶点C C

9、作射作射 线线CMCM交线段交线段ABAB于于M M, ,求使求使| |AMAM|ACAC| |的概率的概率. . 如图所示如图所示, ,因为过一因为过一 点作射线是均匀的点作射线是均匀的, ,因而应把在因而应把在 ACBACB内作射线内作射线CMCM看做是等可能看做是等可能 的的, ,基本事件是射线基本事件是射线CMCM落在落在ACBACB内任一处内任一处, ,使使 | |AMAM|ACAC| |的概率只与的概率只与BCCBCC的大小有关的大小有关, ,这符合这符合 几何概型的条件几何概型的条件. . 思维启迪思维启迪解解 设事件设事件D D为为“作射线作射线CMCM, ,使使| |AMAM

10、|ACAC|”. |”. 在在ABAB上取点上取点C C使使| |ACAC|=|=|ACAC|,|,因为因为ACCACC是等是等腰三角形腰三角形, ,所以所以 几何概型的关键是选择几何概型的关键是选择“测度测度”, ,如本例如本例以角度为以角度为“测度测度”. .因为射线因为射线CMCM落在落在ACBACB内的任意内的任意位置是等可能的位置是等可能的. .若以长度为若以长度为“测度测度”, ,就是错误的就是错误的, ,因为因为M M在在ABAB上的落点不是等可能的上的落点不是等可能的. . 探究提高探究提高, 75230180CAC.619015)(,90,157590DPA知能迁移知能迁移3

11、 3 在圆心角为在圆心角为9090的扇形的扇形AOBAOB中中, ,以圆心以圆心O O 为起点作射线为起点作射线OCOC, ,求使得求使得AOCAOC和和BOCBOC都不小于都不小于 3030的概率的概率. . 解解 如图所示如图所示, ,把圆弧把圆弧ABAB三等分三等分, ,则则 AOFAOF=BOEBOE=30=30, ,记记A A为为“在扇在扇 形形AOBAOB内作一射线内作一射线OCOC, ,使使AOCAOC和和 BOCBOC都不小于都不小于3030”,”,要使要使AOCAOC和和BOCBOC都不小都不小 于于3030, ,则则OCOC就落在就落在EOFEOF内内, ,.319030)

12、(AP题型四题型四 可化为几何概型的概率问题可化为几何概型的概率问题 【例例4 4】甲、乙两人约定在甲、乙两人约定在6 6时到时到7 7时之间在某处会面时之间在某处会面, , 并约定先到者应等候另一人一刻钟并约定先到者应等候另一人一刻钟, ,过时即可离去过时即可离去. . 求两人能会面的概率求两人能会面的概率. . 在平面直角坐标系内用在平面直角坐标系内用x x轴表示甲到达轴表示甲到达 约会地点的时间约会地点的时间, ,y y轴表示乙到达约会地点的时间轴表示乙到达约会地点的时间, ,用用 0 0分到分到6060分表示分表示6 6时到时到7 7时的时间段时的时间段, ,则横轴则横轴0 0到到60

13、60与纵与纵 轴轴0 0到到6060的正方形中任一点的坐标的正方形中任一点的坐标( (x x, ,y y) )就表示甲、就表示甲、 乙两人分别在乙两人分别在6 6时到时到7 7时时间段内到达的时间时时间段内到达的时间. .而能会而能会 面的时间由面的时间由| |x x- -y y|15|15所对应的图中阴影部分表示所对应的图中阴影部分表示. .思维启迪思维启迪解解 以以x x轴和轴和y y轴分别表示甲、乙轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间两人到达约定地点的时间, ,则两人则两人能够会面的充要条件是能够会面的充要条件是| |x x- -y y|15.|15.在如图所示平面直角坐标系下在如图所

14、示平面直角坐标系下, ,( (x x, ,y y) )的所有可能结果是边长为的所有可能结果是边长为6060的正方形区域的正方形区域, ,而事而事件件A A“两人能够会面两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分的可能结果由图中的阴影部分表示表示. .由几何概型的概率公式得：由几何概型的概率公式得：所以所以, ,两人能会面的概率是两人能会面的概率是.167600302526003604560)(222SSAPA.167探究提高探究提高 (1)(1)甲、乙两人都是在甲、乙两人都是在6 6 7 7时内的任意时时内的任意时 刻到达会面地点刻到达会面地点, ,故每一对结果对应两个时间故每一对结果对应两个时

15、间, ,分别用分别用 x x, ,y y轴上的数表示轴上的数表示, ,则每一个结果则每一个结果( (x x, ,y y) )就对应于图中就对应于图中正方形内的任一点正方形内的任一点. .(2)(2)找出事件找出事件A A发生的条件发生的条件, ,并把它在图中的区域找出并把它在图中的区域找出来来, ,分别计算面积即可分别计算面积即可. .(3)(3)本题的难点是把两个时间分别用本题的难点是把两个时间分别用x x, ,y y两个坐标表两个坐标表示示, ,构成平面内的点构成平面内的点( (x x, ,y y),),从而把时间是一段长度问从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题题转化为平面

16、图形的二维面积问题, ,进而转化成面积进而转化成面积型几何概型的问题型几何概型的问题. . 1.1.几何概型也是一种概率模型几何概型也是一种概率模型, ,它与古典概型的区别它与古典概型的区别 是试验的可能结果不是有限个是试验的可能结果不是有限个. .它的特点是试验结果它的特点是试验结果 在一个区域内均匀分布在一个区域内均匀分布, ,所以随机事件的概率大小与所以随机事件的概率大小与 随机事件所在区域的形状位置无关随机事件所在区域的形状位置无关, ,只与该区域的大只与该区域的大 小有关小有关. .2.2.几何概型的几何概型的“约会问题约会问题”已经是程序化的方法与技已经是程序化的方法与技 巧巧,

17、,必须熟练掌握必须熟练掌握. . 方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高几何概型具有无限性和等可能性两个特点几何概型具有无限性和等可能性两个特点. .无限性是无限性是指在一次试验中指在一次试验中, ,基本事件的个数可以是无限的；等基本事件的个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的. .因此因此, ,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的是相同的, ,同属于同属于“比例解法比例解法”, ,即随机事件即随机事件A A的概率的概率可以用可以用“事件事件A A包含的基本

18、事件所占的图形长度包含的基本事件所占的图形长度( (面积面积或体积或体积)”)”与与“试验的基本事件所占总长度试验的基本事件所占总长度( (面积或体面积或体积积)”)”之比来表示之比来表示. . 失误与防范失误与防范 一、选择题一、选择题1.1.在长为在长为12 cm12 cm的线段的线段ABAB上任取一点上任取一点M M, ,并以线段并以线段AM AM 为边作正方形为边作正方形, ,则这个正方形的面积介于则这个正方形的面积介于36 cm36 cm2 2与与 81 cm81 cm2 2之间的概率为之间的概率为 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 面积为面积

19、为36 cm36 cm2 2时时, ,边长边长AMAM=6,=6, 面积为面积为81 cm81 cm2 2时时, ,边长边长AMAM=9,=9,4131274154.411231269PA定时检测定时检测2.2.在区域在区域 内任取一点内任取一点P P, ,则点则点P P落在单落在单 位圆位圆x x2 2+ +y y2 2=1=1内的概率为内的概率为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 区域为区域为ABCABC内部内部( (含边界含边界),),则概率为则概率为, 0, 02, 02yyxyx.4222212ABCSSP半圆D28643.3.在面积为在面积为S

20、 S的的ABCABC的边的边ABAB上任取一点上任取一点P P, ,则则PBC PBC 的面积大于的面积大于 的概率是的概率是 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由由ABCABC, ,PBCPBC有公共底边有公共底边BCBC, ,所以只需所以只需P P位位 于线段于线段BABA靠近靠近B B的四分之一分点的四分之一分点E E与与A A之间之间, ,这是一个这是一个 几何概型几何概型, ,4S41214332.43ABAEPC4.4.已知正三棱锥已知正三棱锥S SABCABC的底面边长为的底面边长为4,4,高为高为3,3,在正在正 三棱锥内任取一点三棱锥内

21、任取一点P P, ,使得使得V VP PABCABC V VS SABCABC的概率的概率 是是 ( ) ( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 当当P P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三在三棱锥的中截面及下底面构成的正三 棱台内时符合要求棱台内时符合要求, ,由几何概型知由几何概型知, ,2187432141.87811PA5.5.(2009(2009辽宁辽宁) )ABCDABCD为长方形为长方形, ,ABAB=2,=2,BCBC=1,=1,O O为为AB AB 的中点的中点, ,在长方形在长方形ABCDABCD内随机取一点内随机取一点, ,取到的点到取到的点到O

22、 O 的距离大于的距离大于1 1的概率为的概率为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 如图如图, ,要使图中点到要使图中点到O O的的 距离大于距离大于1,1,则该点需取在图中阴则该点需取在图中阴 影部分影部分, ,故概率为故概率为4.41222P41881B6.6.(2009(2009山东山东) )在区间在区间 上随机取一个上随机取一个 数数x x,cos ,cos x x的值介于的值介于0 0到到 之间的概率为之间的概率为 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 2,22312132.,),(),(cos,31322323

23、3221022 Pxxx由几何概型知由几何概型知的长度为的长度为又已知区间又已知区间其区间长度为其区间长度为A21二、填空题二、填空题 7.7.(2008(2008江苏江苏) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,设设D D是横是横 坐标与纵坐标的绝对值均不大于坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 2的点构成的区域的点构成的区域, , E E是到原点的距离不大于是到原点的距离不大于1 1的点构成的区域的点构成的区域, ,向向D D中随中随 机投一点机投一点, ,则落入则落入E E中的概率为中的概率为_._. 解析解析 如图所示如图所示, ,区域区域D D表示边长表示边长 为为4 4

24、的正方形的内部的正方形的内部( (含边界含边界),),区区 域域E E表示单位圆及其内部表示单位圆及其内部, ,.164412P因此168.8.已知函数已知函数f f( (x x)= )= 若若a a是从区间是从区间00，22上任取上任取 的一个数的一个数, ,b b是从区间是从区间0,20,2上任取的一个数上任取的一个数, ,则此函则此函 数在数在1,+)1,+)递增的概率为递增的概率为_._. 解析解析 令令t t= =axax2 2- -bxbx+1,+1,函数函数f f( (x x) )在在1,+)1,+)上递增上递增, ,根根 据复合函数单调性的判断方法据复合函数单调性的判断方法,

25、,则则t t= =axax2 2- -bxbx+1+1须在须在 1,+)1,+)上递增上递增, , ,122 bxax.2, 12baab即 由题意得由题意得 画出图示得画出图示得 阴影部分面积阴影部分面积. . 概率为概率为 答案答案 ,22020baba.4322122122P439.9.(2009(2009福建福建) )点点A A为周长等于为周长等于3 3的圆周上的一个定的圆周上的一个定 点点. .若在该圆周上随机取一点若在该圆周上随机取一点B B, ,则劣弧则劣弧 的长度小的长度小 于于1 1的概率为的概率为_._. 解析解析 圆周上使弧圆周上使弧 的长度为的长度为1 1的点的点M M

26、有两个有两个, ,设设 为为M M1 1, ,M M2 2, ,则过则过A A的圆弧的圆弧 的长度为的长度为2,2,B B点落在点落在 优弧优弧 上就能使劣弧上就能使劣弧 的长度小于的长度小于1,1,所以劣弧所以劣弧 的长度小于的长度小于1 1的概率为的概率为.3232三、解答题三、解答题10.10.如图所示如图所示, ,在单位圆在单位圆O O的某一直径上随机的取一点的某一直径上随机的取一点 Q Q，求过点，求过点Q Q且与该直径垂直的弦长长度不超过且与该直径垂直的弦长长度不超过1 1的的 概率概率. .解解 弦长不超过弦长不超过1,1,即即| |OQOQ| | 而而Q Q点在直径点在直径AB

27、 AB 上是随机的上是随机的, ,事件事件A A=弦长超过弦长超过1.1.由几何概型的概率公式得由几何概型的概率公式得 弦长不超过弦长不超过1 1的概率为的概率为 答答 所求弦长不超过所求弦长不超过1 1的概率为的概率为 ,23.232223)(AP.231)(1AP.23111.11.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的 正方体玩具正方体玩具, ,它的六个面中它的六个面中, ,有两个面标的数字是有两个面标的数字是0,0, 两个面标的数字是两个面标的数字是2,2,两个面标的数字是两个面标的数字是4,4,将此玩具将此玩具 连续抛掷两次连续抛掷两次,

28、 ,以两次朝上一面的数字分别作为点以两次朝上一面的数字分别作为点P P 的横坐标和纵坐标的横坐标和纵坐标. . (1) (1)求点求点P P落在区域落在区域C C：x x2 2+ +y y2 21010内的概率；内的概率； (2)(2)若以落在区域若以落在区域C C上的所有点为顶点作面积最大的上的所有点为顶点作面积最大的 多边形区域多边形区域M M, ,在区域在区域C C上随机撒一粒豆子上随机撒一粒豆子, ,求豆子落求豆子落 在区域在区域M M上的概率上的概率. . 解解 (1)(1)以以0 0、2 2、4 4为横、纵坐标为横、纵坐标 的点的点P P共有共有(0,0)(0,0)、(0,2)(0,2)、(0,4)(0,4)、(2,0)(2,0)、(