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文档简介
1、.第8节曲线与方程最新考纲1.理解方程的曲线与曲线的方程的对应关系;2.理解解析几何的根本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质;3.会根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程知 识 梳 理1曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,假如某曲线C看作点的集合或合适某种条件的点的轨迹上点的坐标与一个二元方程fx,y0的实数解满足如下关系:1曲线上点的坐标都是这个方程的解;2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的一般步骤1建系建立适当的坐标系2设点设轨迹上的任一点Px,y3列式列出动点P所满足的关系式4代换依条件式的特点,将其转化为
2、x,y的方程式,并化简5证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程3两曲线的交点设曲线C1的方程为F1x,y0,曲线C2的方程为F2x,y0,那么C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解假设此方程组无解,那么两曲线无交点常用结论与微点提醒求轨迹方程的常用方法1直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式两点间隔 公式、点到直线间隔 公式、夹角公式等进展整理、化简,即把这种关系“翻译成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程2定义法:假设动点轨迹满足曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的根本量,求出动点的轨迹方程3相关点法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随
3、着另一动点称之为相关点而运动的,假如相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程诊 断 自 测1考虑辨析在括号内打“或“×1fx0,y00是点Px0,y0在曲线fx,y0上的充要条件2方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线3动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的4方程y与xy2表示同一曲线解析对于2,由方程得xxy10,即x0或xy10,所以方程表示两条直线,错误;对于3,前者表示方程,后者表示曲线,错误;对于4,曲线y是曲线xy2的一部分,错误答案12×3×4×2命题“曲线C上
4、的点的坐标是方程fx,y0的解是正确的,那么以下命题中正确的选项是A满足方程fx,y0的点都在曲线C上B方程fx,y0是曲线C的方程C方程fx,y0所表示的曲线不一定是曲线CD以上说法都正确解析曲线C可能只是方程fx,y0所表示的曲线的一部分,因此答案C正确答案C3M1,0,N1,0,|PM|PN|2,那么动点P的轨迹是A双曲线 B双曲线左支C一条射线 D双曲线右支解析由于|PM|PN|MN|,所以D不正确,应为以N为端点,沿x轴正向的一条射线答案C4M2,0,N2,0,那么以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_解析连接OP,那么|OP|2,P点轨迹是去掉M,N两点的圆,方程为x2
5、y24x±2答案x2y24x±25选修21P35例1改编曲线C:xy2上任一点到两坐标轴的间隔 之积为_解析曲线xy2上任取一点x0,y0,那么x0y02,该点到两坐标轴的间隔 之积为|x0|y0|x0y0|2.答案262019·绍兴一中适应性检测设定点F10,3,F20,3,动点P满足条件|PF1|PF2|aa>0,1当a3时,点P的轨迹是_;2当a3时,点P的轨迹是_解析a26a>01当a3时,a6,此时|PF1|PF2|F1F2|,P点的轨迹为线段F1F2,2当a3,a>0时,|PF1|PF2|>|F1F2|.由椭圆定义知P点的轨迹为
6、椭圆答案1线段F1F22椭圆考点一直接法求轨迹方程【例1】 2019·义乌模拟动圆过定点A4,0,且在y轴上截得弦MN的长为8.1求动圆圆心的轨迹C的方程;2点B1,0,设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,假设x轴是PBQ的角平分线,证明:直线l过定点1解如图,设动圆圆心为O1x,y,由题意,|O1A|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,那么H是MN的中点|O1M|,又|O1A|,化简得y28xx0当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标0,0也满足方程y28x,动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.2证明由题意,设直线l的方程为ykxbk0,
7、Px1,y1,Qx2,y2,将ykxb代入y28x中,得k2x22bk8xb20.其中32kb64>0.由根与系数的关系得,x1x2,x1x2,因为x轴是PBQ的角平分线,所以,即y1x21y2x110,kx1bx21kx2bx110,2kx1x2bkx1x22b0将,代入得2kb2kb82bk2k2b0,kb,此时>0,直线l的方程为ykx1,即直线l过定点1,0规律方法利用直接法求轨迹方程1利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进展化简2运用直接法应注意的问题在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这
8、是不能无视的假设方程的化简过程是恒等变形,那么最后的验证可以省略【训练1】 在平面直角坐标系xOy中,点B与点A1,1关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于,那么动点P的轨迹方程为_解析因为点B与点A1,1关于原点O对称,所以点B的坐标为1,1设点P的坐标为x,y,由题意得·,化简得x23y24x±1故动点P的轨迹方程为x23y24x±1答案x23y24x±1考点二定义法求轨迹方程【例2】 两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O1O2|4,动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨
9、迹是何种曲线解如下图,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由|O1O2|4,得O12,0,O22,0设动圆M的半径为r,那么由动圆M与圆O1内切,有|MO1|r1;由动圆M与圆O2外切,有|MO2|r2.|MO2|MO1|3|O1O2|4.点M的轨迹是以O1,O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支a,c2,b2c2a2.点M的轨迹方程为1.规律方法1求轨迹方程时,假设动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,那么可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程2理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键3利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完好的
10、圆、椭圆、双曲线、抛物线,假如不是完好的曲线,那么应对其中的变量x或y进展限制【训练2】 圆M:x12y21,圆N:x12y29,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程解由得圆M的圆心为M1,0,半径r11;圆N的圆心为N1,0,半径r23.设圆P的圆心为Px,y,半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|PN|Rr1r2Rr1r24|MN|2.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆左顶点除外,其方程为1x2考点三相关点法代入法求轨迹方程【例3】 如图,动圆C1:x2y2t2,1t3,与椭圆C2:y21相交于A,B
11、,C,D四点点A1,A2分别为C2的左、右顶点求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解由椭圆C2:y21,知A13,0,A23,0设点A的坐标为x0,y0;由曲线的对称性,得Bx0,y0,设点M的坐标为x,y,直线AA1的方程为yx3直线A2B的方程为yx3由相乘得y2x29又点Ax0,y0在椭圆C2上,故y1.将代入得y21x3,y0因此点M的轨迹方程为y21x3,y0规律方法“相关点法的根本步骤:1设点:设被动点坐标为x,y,主动点坐标为x0,y0;2求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式3代换:将上述关系式代入主动点满足的曲线方程,便可得到所求被动点的轨迹方程【训练3】 F1,F2分别
12、为椭圆C:1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,那么PF1F2的重心G的轨迹方程为A.1y0B.y21y0C.3y21y0Dx21y0解析依题意知F11,0,F21,0,设Px0,y0,Gx,y,那么由三角形重心坐标关系可得即代入1,得重心G的轨迹方程为3y21y0答案C根底稳固题组一、选择题12019·嘉兴一中质检假设方程x21a是常数,那么以下结论正确的选项是A任意实数a方程表示椭圆B存在实数a方程表示椭圆C任意实数a方程表示双曲线D存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a1时,方程表示椭圆,应选B.答案B2方程2x3y110表示的曲线是A两条直线 B两条射线C两条线段 D
13、一条直线和一条射线解析原方程可化为或10,即2x3y10x3或x4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线答案D3设点A为圆x12y21上的动点,PA是圆的切线,且|PA|1,那么点P的轨迹方程是Ay22x Bx12y24Cy22x Dx12y22解析如图,设Px,y,圆心为M1,0,连接MA,那么MAPA,且|MA|1,又|PA|1,|PM|,即|PM|22,x12y22.答案D4设圆x12y225的圆心为C,A1,0是圆内一定点,Q为圆周上任一点线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,那么M的轨迹方程为A.1 B.1C.1 D.1解析M为AQ的垂直平分线上一点,那么|AM|MQ|,|MC
14、|MA|MC|MQ|CQ|5|AC|2,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆a,c1,那么b2a2c2,M的轨迹方程为1.答案D5平面直角坐标系中,两点A3,1,B1,3,假设点C满足12O为原点,其中1,2R,且121,那么点C的轨迹是A直线 B椭圆C圆 D双曲线解析设Cx,y,因为12,所以x,y13,121,3,即解得又121,所以1,即x2y5 ,所以点C的轨迹为直线,应选A.答案A二、填空题6点A1,0,直线l:y2x4,点R是直线l上的一点,假设,那么点P的轨迹方程为_解析设Px,y,Rx1,y1,由知,点A是线段RP的中点,即点Rx1,y1在直线y2x4上,y12x14,y22x
15、4,即y2x.答案y2x72019·台州调考两定点A2,0,B1,0,假如动点P满足|PA|2|PB|,那么点P的轨迹方程是_;轨迹所包围的图形的面积为_解析设Px,y,由|PA|2|PB|,得2,3x23y212x0,即x2y24x0.P的轨迹为以2,0为圆心,半径为2的圆即轨迹所包围的面积等于4.答案x2y24x048在ABC中,|4,ABC的内切圆切BC于D点,且|2,那么顶点A的轨迹方程为_解析以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如下图的坐标系,E,F分别为两个切点那么|BE|BD|,|CD|CF|,|AE|AF|.|AB|AC|2|BC|4,点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲
16、线的右支y0且a,c2,b,轨迹方程为1x答案1x三、解答题9设0,点A的坐标为1,1,点B在抛物线yx2上运动,点Q满足,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足,求点P的轨迹方程解由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设Px,y,Qx,y0,Mx,x2,那么x2y0yx2,即y01x2y.再设Bx1,y1,由,即xx1,y0y11x,1y0,解得将式代入式,消去y0,得又点B在抛物线yx2上,所以y1x,再将式代入y1x,得12x21y1x2,即12x21y12x221x2,所以21x1y10.因0,两边同除以1,得2xy10.故所求点P的轨迹方程为y2x1.10201
17、9·全国卷抛物线C:y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点1假设F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:ARFQ;2假设PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程解由题设F,设l1:ya,l2:yb,那么ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,那么l的方程为2xabyab0.1证明由于F在线段AB上,故1ab0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,那么k1bk2.所以 ARFQ.2解设过AB的直线为l,设l与x轴的交点为Dx1,0,那么SABF|ba|FD|ba|,SPQF.由题设可得|ba|,所以x
18、11,x10舍去设满足条件的AB的中点为Ex,y当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得x1而y,所以y2x1x1当AB与x轴垂直时,E与D重合所以,所求轨迹方程为y2x1.才能提升题组11两点M2,0,N2,0,点P为坐标平面内的动点,满足|·|·0,那么动点Px,y的轨迹方程为Ay28x By28xCy24x Dy24x解析4,0,x2,y,x2,y|4,|,·4x2根据条件得442x整理得y28x.点P的轨迹方程为y28x.答案B12ABC的顶点A5,0,B5,0,ABC的内切圆圆心在直线x3上,那么顶点C的轨迹方程是A.1 B.1C.1x>3 D.1
19、x>4解析如图,|AD|AE|8,|BF|BE|2,|CD|CF|,所以|CA|CB|826<10|AB|,根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支y0,方程为1x>3答案C13如图,P是椭圆1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,且,那么动点Q的轨迹方程是_解析由于,又22,设Qx,y,那么,即P点坐标为,又P在椭圆上,那么有1,即1.答案1142019·温州十校模拟点C1,0,点A,B是O:x2y29上任意两个不同的点,且满足·0,设P为弦AB的中点1求点P的轨迹T的方程;2试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x1的间隔 恰好等于到点C的间隔 ?假设存在,求出这样的点的
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