中考数学系列专题27与圆有关的概念

1、专题27与圆有关的概念聚焦考点温习理解1 、圆的定义在一个个平面内，线段 0A绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点 A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 0叫做圆心，线段 0A叫做半径。连接圆上任意两点的线段叫做弦。如图中的AB3. 直径经过圆心的弦叫做直径。如图中的CD直径等于半径的2倍。4. 半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。- - 1 1 -il - 1 1 i i - - 1 1 1 1 11 1 - 1 1 1 1 1 - i 1 - 1 11 1 1 1 1 1 1- 1 1 1 /- 1 1 1 1 i 1 ill.- 1 1 1 i_ 1

2、 1 1 15. 弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。 mawirBiaivMirnirB_BMwirwwsrwww-srvwB_BHMnirH?wewwMveiirvMnirMvwiBvrwTwsrnrMWBirwwM1w-iirwiimirw 弧用符号“一表示，以A, B为端点的弧记作“血，读作“圆弧 AB或“弧AB。大于半圆的弧叫做优弧多用三个字母表示；小于半圆的弧叫做劣弧多用两个字母表示5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1: 1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两

3、条弧。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。6、圆的对称性1圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2 、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。rrfErrrfr名师点睛典例分类考点典例一、垂径定理【例1】2021湖北黄石第8题如下图，O O的半径为13,弦AB的长度是24, ON AB，垂足为N , 那么 ON A.5B.7C.9D. 11O丿j/ANB第8题图【答案】A.【解析】试题分析：00的半径为13,弦AB的妆度是轴ON- A ,垂足为N,由垂径定理可得脑 再由勾股宦理可得011=5,故答秦送A,考点：垂径定理；

4、勾股定理 【点睛】根据“两条辅助线半径和边心距，一个直角三角形，两个定理垂径定理、勾股定理解决即可。【举一反三】2021湖南长沙第16题如图，在OO中，弦AB=6圆心0到AB的距离0C=2那么OO的半径长为 .【解析】试题分析：弦 AB=6,圆心0到AB的距离0C为2，根据垂径定理可得AC=BC=3 / ACO=90，由勾股定理可求得0A=, 13 考点：垂径定理；勾股定理考点典例二、求边心距【例2】2021贵州贵阳第8题小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，假设三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，那么圆的半径为A. 2 3 cmB. 4.3cmC. 6

5、 3 cmD. 8 一 3cm【答案】B.【解析】试题分析；过点屈作眈边上的垂线交舵于点亠过点;百作M边上的重鮫Q于点6那么0为圆心 设0的半径为由等边三角形的性质知：205030 ,加二乩.旨眈乂a二芈乳h考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质.【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，外接圆半径和特殊 角，可求得边心距.考查了等边三角形的性质.注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶 点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径.【举一反三】如图，半径为 5的O A中，弦BC, ED所对的圆心角分别是/ BAC / EAD.DE=6 / BAC

6、+Z EAD=180 ,那么弦BC的弦心距等于B.【答案】D.342C. 4 D. 3考点：1.圆周角定理;A作AH丄BC于H,作直径 CF,连接BF,2. 全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.?Zbac+Zead=180 、 Zbac+Zbafibo fAD = AB在AADE 和ZkABF 中，21DAE 三 kiBAF，AE = AT(SAS) . .,DE=BF=6.JAH丄EC j .ICH二呂IL又VCK=AFf /.AHjACBF 的中位线./.AH=BF=3.考点典例三、最短路线问题【例3】如图，MN是半径为1的OO的直径，点A在OO上，/ AMN=30

7、，点B为劣弧AN的中点.直径MN上一动点，贝U PA+PB的最小值为A.二 B . 1 C 2 D 2 -：【答案】A.【解析】作点 B关于MN的对称点B,连接OA OB OB、AB ,那么AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB ,/ AMN=3 ,/ AON=2AMN=2 30 =60,点B为劣弧AN的中点，11/ BON= / AON X 60 =30,22由对称性，/ B ON2 BON=30 ,/ AOB =Z AON：+ B ON=60 +30 =90, AOB是等腰直角三角形， AB =. 2 OA= 2 X 仁耳,即PA+PB的最小值 =2 .应选A

8、.2倍的作半圆与AC【点睛】此题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的性质，作辅助线并得到 AOB是等腰直角三角形是解题的关键.【举一反三】2021浙江台州第10题如图，在 ABC中, AB=10, AG=8, BO6,以边AB的中点O为圆心,相切，点P, Q分别是边BC和半圆上的动点，连接 PQ那么PQ长的最大值与最小值的和是【答案】C.1C. 9d. 323【解析】试题分析：如虱 设0与血相切于点厶连接 兀 作。小C垂足为鬥交OO于如 此时垂耀殳g 最短，円Q最小值为。円 00, /=10,5C=0, :.ZC=90 ； VZOPj5=90 ,S.OPy

9、 II AC巧OP咼二0P：丄八円Q：最小值为0円-0如1,如劉 当戲在汕边上时P2与孑重合最大值二沁諭二pq长的最大值吕最小值的和杲应选c.考点：切线的性质；最值问题.课时作业能力提升选择题1. 2021福建南平第6题假设正六边形的半径长为4,那么它的边长等于A. 4B. 2C. 23D. 4、3【答案】A【解析】试题分析：正六边形的中心甬为禿乂力异眩外接圆的半轻和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等千那么正六边形的边长是4.应选考点：正多边形和圆.2. 2021内蒙古巴彦淖尔第 3题如图，线段 AB是O O的直径，弦 CDL AB / CAE=40 那么/ ABD与ZAO

10、D分别等于A. 40, 80B.50,100C.50,80D.40,100【答案】B.【解析】试题分析：/ CDL AB,/AEC90, v/ CAB40, /-ZC=50,/-ZABD/ C=50,/ OOD /-Z ABD：/ ODB50,/Z AODZ ABDZ ODB100,应选 B.考点：圆周角定理；垂径定理.3. O O的直径CD=10cm AB是O O的弦，AB丄CD垂足为 M 且AB=8cm那么AC的长为A. 2.5cm B. 4.5cm C. 2.5cm 或 4/5cm D. 5 2_ 3cm 或 4.3cm【答案】C.【解析】试题対析：根IS题意画出團形由于点:的位盖不能踊

11、走，till卫分两种情况进行讨论|连接曲A0；J0O 的直各 CWlOoiij A3丄AB=Bon, J.AM= iB= - X 3=4c； 0D=0C=5cn.当f点.位翼如答團1所示时，/OAsScjhCD丄AT, J. OM -OA: - AM: = 5: -4? = 3cn./.CM-OCON=5+3=8cni.F：tAAMC AC =、 一 匸胡：=4； -3 =4圧匚叭当C点位詈如圍2所示时，同理可得orrsok,0C=5na?二恥弋一店血九在 RtAAIC 中 AC -JaMcSF - 一 T 1运皿.综上所速j AC的长为2j5cm或+J5an .应选匚答團1答團2考点：1.垂

12、径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用.4. O 0的面积为2n,那么其内接正三角形的面积为【】A. 3 3B. 3 6C. 3. 3D. 3 62 2【答案】C.【解析】试题分析：作出圉形如虱 连接OB, A0并延长交于点比那么AC丄EC & BH-CH, ZOBH=30V0Q的面枳为2心二OA =QB二0日4匹二AH弓近 BO&丘*Ml-Uc牛农冷|击应选c.5. 如图，MN是O 0的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点.假设MN=2、. 2，贝U PA+PB的最小值是A. 2 ,2 B . 2 C . 1D . 2【答案】D.【解析】作点A关于MN

13、的对称点A,连接AB,交MN于点P,连接OA , OA OBPA,AA.点A与A关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，/ A ON=/ AON=60 , PA=PA,点B是弧AN的中点，/ BON=30 ,/ A OB=/ A ON丄 BON=90 ,又OA=OA =2 , A B=2. PA+PB=PA+PB=A B=2.应选D.二.填空题6. 2021贵州贵阳第14题如图，O O的半径为6cm弦AB的长为8cm, P是AB延长线上一点，BP=2cm【解析】试 18分析:作 OA/.LAB于一远如團所示:那么j!诗月鑽AB=4cm9Q0 V0A* - AM二- 4亍=2a?51TP砖PB

14、+B叫鶴社乙OBr 二血匚二；故答案为：.PM 633考点：垂径定理；解直角三角形.7.2021黑龙江绥化第16题如图，O O的直径CtD=20cm, AB是O O的弦，AB丄CD垂足为 M假设OM6cmcm那么AB的长为【答案】16.【解析】 试题分析：连接oa o的直径ct=20cm.OAfiocm在Rt oam中,由勾股定理得：am=Jio2 62 =8cm16.由垂径定理得：AB=2AM=16cm 故答案为:考点：垂径定理.8. 如图，AB是O O的直径，弦 CDL AB于点 E, OC=5cn, CD=6cn,贝U OE=cm【答案】4.【解析】试题分乐；CD丄AB/.CE-T在 R

15、tAOCE 中,-C-=花匚3： “叽考点：1.垂径定理；2.勾股定理.9. 如图，AB为OO的直径，CDLAB假设 AB=10, CD=8那么圆心 O到弦CD的距离为 【解析】连接 0C由AB=10得出0Q的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可./ AB 为OO 的直径，AB=10, OC=5/ CDL AB CD=8 CE=40E= OC2 CE252 42 3.考点：1.垂径定理；2.勾股定理.10. 如图，AB为OO的直径，CDLAB假设 AB=10, CD=8那么圆心 O到弦CD的距离为【答案】3.【解析】试题俞析：连接OC, S AB=LO得出0C的故，再根据垂径定理求出CE的长很協勾股定理求出QE即可.A试题解析：连接X,E丁站为0的直径,AB=107；.0C=5,TCD丄AB, CD=8,；.CE=4,/ iOE= V?C: CE = JF _ 4 =