高等数学D1_1映射与函数 极限

1、第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . Ma( 或Ma) .Ma注注: M 为数集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .简称集集简称元元表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的

2、全体元素 .例例: 有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,0nNn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例例: 整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,NZ qp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa)(aa ),(xaU ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域邻域a ),(xaUaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa是 B 的子集子集 , 或称

3、 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等相等,.BA 例如,ZNQZRQ显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有OyxAcABB定义定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABABx或二、二、 映射映射某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规

4、则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座引例引例1. 引例引例2.xxysinRxRy引例引例3.Oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy Oxy1x2xxxysin定义定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像像, 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像原像 . 集合 X 称为映射 f 的定

5、义域定义域 ; Y 的子集)(XfRfXxxf)(称为 f 的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. XYfxy对映射YXf:若YXf)(, 则称 f 为满射满射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. XY)(Xff例例1.三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例例2. 如图所示,SxyOxyex),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种

6、映射(满射满射) 例例3. f:RR, f(x)=x2(满射满射) (既不是满射也不是单射既不是满射也不是单射) X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的函数映射又称为算子. 名称. 例如, 定义域三、函数三、函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义5. 设数集,RD则称映射RDf :为定义在D 上的函数 , 记为Dxxfy, )(称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy )(DfD自变量因变量xy) ,(baDabxyODxx

7、fyyDfRf),()(DxfDxxfyyDfRyf),()(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法使表达式或实际问题有意义的自变量集合.定义域值域 xxf)(又如, 绝对值函数xyOxy 0,xx0,xx定义域RD值 域),0)(Df对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域.对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；Oy211x2例例4. 已知函数 1,110,2)(xxxxxfy解解:)(21f及. )(1tf写出 f (x) 的定义域及值域, 并求f (x) 的

8、定义域 ),0D值域 ),0)(Df21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2txyOxy2xy112. 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf称 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .(2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当时，2121,xxIxx, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的,

9、 )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .1x2xxyO(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若, )()(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若)(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,xyOxx则当必有例如,2ee)(xxxfyxch 偶函数xyOxexexych双曲余弦 记又如,奇函数xsh双曲正弦 记再如,xxychsh奇函数xth双曲正切 记Oyx11xythxyOxexexysh2ee)(xxxfyxxxxeeee(4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx

10、)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,xO2y2若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄利克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0t)(tf22O3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射, 则存在一新映射习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 ., 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: ,)(:1DDff使,)(, )(1xyfDfy其中

11、,)(yxf2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,exyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线xy 对称 .指数函数xyO)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPgR(2) 复合函数 fDuufy),(,),(DxxgufgDR 且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 fgDR 不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,cosxu ,cosarcsinxy xR但可定义复合函数21xu时, 虽不能在自然域 R下构成

12、复合函数,可定义复合函数 1, 1, )1arcsin(2xxy当改DgfDfyux两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZk02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv约定约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,

13、经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P17 P20 )非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyO11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyO412321 设函数,1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf x 换为 f (x)1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10,13xx1,xx例例5.)(xff求解解: 例例6. 求y的反函数及其定义域.解解:01x当时,2xy 则1,0(,yyx10 x当时,xyln则0,(

14、,eyxy21 x当时,1e2xy则e2,2(,ln12yxy反函数y1,0(,xx0,(,exxe2,2(,ln12xx定义域为e2,2(1,(21,e210 ,ln01, 12xxxxxx212e211, 1,0(, 0,(, e2,2(yOx内容小结内容小结1. 集合及映射的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构 作业作业 P21 4(5); 7(1); 9(2); 10(3)(4)(5); 12(3); 15(2) 2. 函数的定义及函数的二要素且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证: 令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxax