第十二章动量定理

1、第十二章第十二章动动 量量 定定 理理实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。 动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述对质点质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。对质点系质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 主要讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。 它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量

2、矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。 本章将研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变动量的改变与力的冲量之间的关系与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理质心运动定理。 一一. .质点系的质心质点系的质心 定义定义 质点系的质量中心称为质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。 12-1 12-1 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力)( imMiiCiiCrmrMMrmr

3、或则设,kzjyixrcccc MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , , 质心质心 C C 点的坐标公式点的坐标公式 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。 所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：。或 0)( 0)( ; 0)()()(iixiiOiiFmFmF二、质点系的内力与外力二、

4、质点系的内力与外力 所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 外力外力 内力内力 12-2 12-2 动量与冲量动量与冲量 一、动量一、动量 1.1.质点的动量质点的动量 质点的质量与速度的乘积质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kg m/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 2.2.质点系的动量质点系的动量质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系中所有各质点的动量的矢量和。CiivMvmp) (求导CiirMrm CCzzCCyyCCxxzMMvpyMMvp

5、xMMvp , , 刚体系统的动量刚体系统的动量设第i个刚体 则整个系统：ciivmCiivmpCiiCizizCiiCiyiyCiiCixixzmvmpymvmpxmvmp质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：解解: 曲柄OA：滑块B：连杆AB： 例例1 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求求当 = 45时系统的动量。321CCCvmvmvmpmlvmC211mlmlvmABC2525 2mlvmC2 3mlmllllmmvmvmvpCCC

6、x2221032522212254521321)()cossin(cossinABlPC;252（ P为速度瞬心，)mlmlllmmvmvpCCy2210125222125452121)()sincos(sincosmlpppyx23422171174ppppyxcos,cos 变力的冲量变力的冲量（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量: 冲量冲量：FdtFId 21ttdtFI 二冲量二冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应

7、。)(12ttFI 常力的冲量常力的冲量F 合力的冲量合力的冲量 等于各分力冲量的矢量和等于各分力冲量的矢量和 ittttttRIdtFdtFdtFI212121冲量的单位：m/skg sm/skg sN2与动量单位同 12-3动量定理动量定理一质点的动量定理一质点的动量定理FvmdtdFdtvdmam)( 在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量。在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量。IddtFvmd)(IdtFvmvmtt2112 质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力质点的动质点的动量定理。量定理。 微分形式微分形式质点质

8、点动量的微分等于力的元冲量。动量的微分等于力的元冲量。 积分形式积分形式 矢量形式矢量形式 投影形式投影形式Xmvdtdx)(Ymvdtdy)(Zmvdtdz)(2112ttxxxXdtImvmv2112ttyyyYdtImvmv2112ttzzzZdtImvmv 质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动0F0 xFvmxmv二质点系的动量定理二质点系的动量定理)()()(eiiiiiFFvmdtd )0( )()()(iieiiiiiFFFvmdtd而对整个质点系：对质点系内任一质点 i， 矢量形式矢量形式 质点系动量对时间的导数等于

9、作用在质点系上所有外力质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。的矢量和。 质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。的矢量和。在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。 积分形式积分形式 微分形式微分形式)()(eieiIddtFpd)(eiIpp12)(eiFdtpd质点系的动量定理质点系的动量定理 投影形式投影形式)(exXidtdp)(eyYidtdp)(ez

10、Zidtdp21)()(12tteiexxdtXIixpp21)()(12tteieyydtYIiypp21)()(12tteiezzdtZIizpp 质点系的动量守恒质点系的动量守恒若则常矢量。若则常量。, 0)(eiF, 0)(eiXiivmpixixvmp 只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。 例例2 已知砂子以恒质量流率 设以近似匀速 流入车厢内，与此同时，车厢在水平常力F 的作用下由静止开始运动。求向车厢内输送了质量为m的砂子时，车厢

11、的速度v和轨道给车厢的平均法向反力N 。车厢的质量为M 。skgm smu解：解： 取车厢和质量为m的砂子组成的质点系为研究对象； 受力分析如图； 取Oxy直角坐标轴； 根据动量定理求解：002121yyxxpmupvmMpp)(21211212tteyyttexxdtYppdtXpp)()(由动量定理：dtmgMgNmudtFvmMtt)()(00)(00mmgmMmmNtgmMtNmummFtFvmM)()()(umgmMNmmMFmv)(;)(解得：例例3 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。0)(

12、axmvvM解解：选选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析， , 0)(eiXxp水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx小三角块相对大三角块速度为 ，rvravvvv设大三角块速度则小三角块运动分析运动分析， mmMSSmmMvvrxrx12-4质心运动定理质心运动定理将 代入到质点系动量定理，得CvMp )()(eiCFvMdtd若质点系质量不变，则 或)(eiCFaM)(eiCFrM 上式称为矢量形式的质心运动定理（或质心运动微分方上式称为矢量形式的质心运动定理（或质心运动微分方程）

13、。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。有外力的矢量和（外力系的主矢）。一质心运动定理一质心运动定理 矢量形式矢量形式;0 , , )()()(eibeinCneiCFFMaFMa;0, , )()(2)(eibeinCeiFFvMFdtdvM或 自自 然然坐标形式坐标形式 ： 直角直角坐标形式坐标形式 ：; , , )()()(eiCzeiCyeiCxZMaYMaXMa; , , )()()(eiCeiCeiCZzMYyMXxM 或 投影形式投影形式)()()(eiCiiCizieiCiiCiyi

14、eiCiiCixiZzmamYymamXxmam 刚体系统质心运动定理投影形式刚体系统质心运动定理投影形式 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形无论它作什么形式的运动，式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点质点系质心的运动可以看成为一个质点 讨论讨论 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，

15、的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上所有外力也集中作用在质心这个点上。 在定向爆破中，爆破时质系中各在定向爆破中，爆破时质系中各质点的运动轨迹不同，但质心的运质点的运动轨迹不同，但质心的运动轨迹近似一抛物线，由此可初步动轨迹近似一抛物线，由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。估计出大部分物块堆落的地方。Pv 汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。发动机内气体的爆炸汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。发动机内气体的爆炸力，对汽车来说是内力。图中所示作用于力，对汽车来说是内力。图中所示作用于 汽车后轮的摩擦力

16、汽车后轮的摩擦力F1，称为汽车行驶的牵引力或驱动力。，称为汽车行驶的牵引力或驱动力。 三三 质心运动定理可求解两类动力学问题质心运动定理可求解两类动力学问题 已知质点系质心的运动已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力求作用于质点系的外力(包括包括约束反力约束反力)。 已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。 若则若则 常量，质心沿常量，质心沿x方向速度不变；方向速度不变；若存在若存在 则则 常量，质心在常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。轴的位置坐标保持不变。, 0)(eiXCxCxva , 000CxvCx二二 质心运动守恒定律质心运动守恒

17、定律 若，则若，则 常矢量，质心作匀速直线常矢量，质心作匀速直线运动；运动； 若开始时系统静止，即若开始时系统静止，即 则常矢量则常矢量,质质心位置守恒。心位置守恒。 0)(eiFCCvoa , 00CvCr 解解: 研究整个电动机质点系； 受力分析如图示； 取O1x y直角坐标轴； 运动分析：定子静止，转子以角速度 作匀速转动。 根据质心运动定理求解： 例例4 电动机的外壳固定在水平基础上，定子重为P1, 转子重为P2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。定子质心O1的坐标为 x

18、1=0，y1=0转子质心O2的坐标为 x2= ecos t，y2= esin t ， 电动机质心C的坐标为 212212211212212211sincosPPtePPPyPyPyPPtePPPxPxPxCC质心C加速度在x、y轴上的投影为21222122sin,cosPPtePyPPtePxcC 可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。 , )()(eiCCyeiCCxYyMMaXxMMa 由2122212221sincosPPNtegPygPPNtegPxgPPyCxC 有：tegPPPNtegPNyxsincos222122解得：321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。0 iixP例例4 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置