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1、第11章 无穷级数参考解答1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性: (1) 解:,故原级数收敛。(2) 解:,故原级数发散。2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性: (1) 解:,而级数收敛,故原级数收敛。(2) 解:,而级数发散,故原级数发散。(3) 解:,而级数收敛,故原级数收敛。(4)解:,而级数收敛,故原级数收敛。(利用极限,或)(5)解:,而级数发散,故原级数发散。3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性: (1) 解:,故原级数收敛。(2) 解:,故原级数发散。(3) 解:,故原级数收敛。(4)解:,故原级数收敛。(利用极限)4、用根值审敛法判别下列级数的敛散性: (1) 解:
2、,故原级数收敛。(2) 解:,故原级数收敛。(3) 解:,故原级数收敛。5、判别下列级数是否收敛,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛: (1) 解:,且,故原级数为Leibniz型交错级数。但因,而发散,故发散。因此,原级数条件收敛。(2) 解:,且,故原级数为Leibniz型交错级数。但因,而收敛,故收敛。因此,原级数绝对收敛。(3)(即) 解:,且,故原级数为Leibniz型交错级数。但因发散,故原级数条件收敛。(4)解:考察函数,因时, ,故函数在上单调下降。由此可知,当时,且易知,故原级数为Leibniz型交错级数。但因,而发散,故发散。因此,原级数条件收敛。6、求下列幂级数的收敛区间:
3、(1)解:,故得。时,级数为;时,级数为,上述级数均收敛,故原幂级数的收敛区间为。(2)解:,故得。时,级数为,此系Leibniz型交错级数;时,级数为,此系调和级数。故原幂级数的收敛区间为。(3)解:原幂级数即为,此为缺项幂级数。因,故由,得。时,级数均成为,发散。故原幂级数的收敛区间为。(4)解:,故得。时,级数为,发散;时,级数为,系Leibniz型交错级数。故原幂级数的收敛区间为。(5)解:,故得,原幂级数的收敛区间为。7、利用逐项求导或逐项积分求下列幂级数的和函数: (1)解:,故得。时,相应的级数均发散(一般项不趋于零)。故幂级数的收敛区间为。设,则,故得,。(2)解:,故得。时,
4、相应的级数均发散。故幂级数的收敛区间为。设,则当时,有。当时,但,故得,于是得,。因此,所求幂级数之和函数为(3)解:,故得。时,相应的级数为,因,而发散,故发散。时,相应的级数为,为Leibniz型交错级数。故幂级数的收敛区间为。设,则当时,有。当时,其中,。因,故得,于是因此,所求幂级数之和函数为8、将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间: (1) ()(2) ()(3) ()(4) ()(5) ()(6) 解:设,则 () () ()(7) 解:, (8) 解:, 9、将下列函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间: (1) (2) ()10、求级数的和。 解:先求幂级数的和函
5、数。易知其收敛区间为。设 则当时,其中,。因,故得,于是所求级数的和即为。11、设,试将展成x的幂级数,并求级数之和。解:当时, 因,故得。1213、略。14、设,其中(),求解:因为所给Fourier级数为余弦级数,故先将偶延拓到上,即然后将延拓成这个实数轴上的以2为周期的函数。于是,根据Dirichlet收敛条件,得注:周期的大小可从公式看出。15-16、略。(第15题课上已介绍)17、判别下列级数之敛散性:(1)解:因(Taylor公式),故所求极限为1,故原级数收敛。(2)解:1° ,但级数收敛,故原级数收敛。2° ,但级数发散,故原级数发散。18、设收敛,且,证明收敛。证明:因收敛,故部分和数列收敛,即存在;又,故因此,极限存在,从而知收敛。19、设在点的某一邻域内具有二阶连续导数,且,证明级数绝对收敛。证明:因,在点连续,故知。于是故由Taylor公式,(其中),从而得。于是,但级数收敛,故原级数绝对收敛。20、设幂级数的收敛半径为3,求幂级数的收敛区间。解:故所求收敛区间为。21、将函数展成x的幂级数,并指明收敛域,利用展开式求级数的和。解:, 另一方面,故得
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