高中数学-必修二-圆与方程-经典例题--整理

1、精选优质文档-倾情为你奉上习题精选精讲圆标准方程 已知圆心和半径，即得圆的标准方程；已知圆的标准方程，即得圆心和半径，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为( )(A) (B)(C) (D)二、位置关系问题例2 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )(A) (B)(C) (D)三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )(A)或 (B)或(C)或 (D)或四、弦长问题例4设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .五、夹角问题例5 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D)

2、0六、圆心角问题例6 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .七、最值问题例7 圆上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C) (D)八、综合问题例8 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x2y2DxEyF0 (D2E24F0)，圆心坐标为()，半径为r2.

3、 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：AxByC0；圆：x2y2DxEyF0.一元二次方程(2) 法二：直线：AxByC0；圆：(xa)2(yb)2r2，圆心(a，b)到直线的距离为d.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、 O2，半径分别为r1、 r2， O1O2为圆心距，则两圆位置关系如下：O1O2r1r2两圆外离；O1O2r1r2两圆外切；r1r2O1O2r1r2两圆相交；O1O2r1r2两圆内切；O1O2r1r2两圆内含.点击双基1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则t的取值范围是A.1<t<

4、 B.1<t<C.<t<1 D.1<t<22.点P（5a+1，12a）在圆（x1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是A.a1 B.aC.a D.a3.已知圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r>0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b<r时，圆与x轴相交典例剖析【例2】 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.夯实基础1.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0

5、B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=02.（2004年全国，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kxy+4=0对称，则k=_.4.（2004年全国卷，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的 距离的最小值为_.5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0.（1）求m的值；（2）求直线P

6、Q的方程.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系. “求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：方法：先求出两已知圆交点，再设圆心坐标为，根据，可求出圆心坐标及半径r，于是可得所求圆方程。方法二：先求出两已知圆交点，再设所求圆的方程为：,其圆心为，代入，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次

7、方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。经过两已知圆的交点的圆系设圆C1与C2的方程为： C1: C2: .并且两圆相交于两点。引进一个参数，并令：+（）=0 其中-1。引进两个参数和，并令：（）+（）=0 其中+0不论参数取何值，方程与中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程与，所以与都是经过两已知圆的交点的圆系，但是与稍有不同： 当=0时，方程的曲线就是圆C1;不论为何值，方程的曲线都不会是圆C2。所以方程表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在内，但不包括圆C2。

8、当=0时，方程的曲线就是圆C2；当=0时，方程的曲线就是圆C1。所以方程表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在内。下面应用圆系来解本文前面的问题：设经过已知两圆的交点的圆的方程为： . （-1）则其圆心坐标为 所求圆的圆心在直线上 +4=0， 解得=-7 所求圆的方程为：7即：下面再举两例说明圆系的应用例1 求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例2 设圆方程为： 其中4 求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。 直线与圆的位置关系二、例题选析例1：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程；(1)经过点，(2)经过点，(3)斜率为例2：已知点在圆的外部，过作圆的切线，

9、切点为，求证。例3：从圆外一点向圆引割线，交该圆于、两点，求弦的中点轨迹方程。备选例题：例4*：已知对于圆上任意一点，不等式恒成立，求实数的取值范围。专心-专注-专业轴对称例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。例3、已知ABC的顶点A的坐标为(1,4)，B、C的平分线的分别方程为和，求BC所在的直线方程。直线和圆1自点（3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程

10、2已知圆C：，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，3（12分）求过点P（6，4）且被圆截得长为的弦所在的直线方程4（12分）已知圆C:及直线. （1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交； （2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程5（12分）已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值6.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-2，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y 轴交于点M、N. MAN是否为定值？若为定值，求出MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.

11、7（14分）已知圆和直线交于P、Q两点，且OPOQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长8（14分）求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程9(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）当圆心到直线l：x2y0的距离最小时，求圆的方程10 已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程 11.（1997全国文，25）已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y=0的距离为，求该圆的方程.12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（

12、2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0的距离最小的圆的方程.13.（2002北京文，16）圆x2y22x2y10上的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为 经过两已知圆的交点的圆系及应用在高中数学第二册（上）第82页有这样一道题：“求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：方法：先求出两已知圆交点，再设圆心坐标为，根据，可求出圆心坐标及半径r，于是可得所求圆方程。方法二：先求出两已知圆交点，再设所求圆的方程为：,其圆心为，代入，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的

13、三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。弦长【例题】 已知直线lx+2y-2=0与圆Cx2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB.    【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径:    （1）x2+y2x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a0）；（3）x2+y2+2ay1=0.        2. 求圆的标准方程    【例2】 已知一个圆经过两点A（

14、2，3）和B（2，5），且圆心在直线l：x2y30上，求此圆的方程.       3. 求圆的一般方程    【例3】 ABC的三个顶点坐标分别为A（1，5）、B（2，2）、C（5，5），求其外接圆的方程.   已知两点P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程.   在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2y2r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0yy0r2，

15、那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗？【例题】 求过点A（2，1）向圆x2y24所引的切线方程.例题】 求半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程【例1】 如果曲线C：x2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是      【例2】 直线2xy10与圆Ox2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是（     ）.A 相切      B 相交且过圆心C 相离   &

16、#160;  D 相交不过圆心求圆的切线方程的几种方法在高中数学人教版第二册第七章圆的方程一节中有一例题：求过已知圆上一点的切线方程，除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法，现将这些方法归纳整理，以供参考。例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线的方程。解法一：利用斜率求解图1解法二：利用向量求解 （这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在）图2解法三：利用几何特征求解 解法四：用待定系数法求解1、 利用点到直线的距离求解2、 利用直线与圆的位置关系求解： 这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法，若圆心不在原点，也可以用这些方法求解。同样一

17、道题，思路不同，方法不同，难易程度不同。显然在以上的几种解法中，用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章，很多时候用几何特征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法，同学们下来可以尝试。圆的方程的经典问题聚焦1 直线和直线的位置关系问题1（北京 ）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab0)共线,则的值等于 .2（上海） 已知两条直线若，则_. 1（江苏）圆的切线方程中有一个是（A）xy0（B）xy0（C）x0（D）y02（湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A. B. C. D.3（江西） 已知圆M：（xcosq）2（y

18、sinq）21，直线l：ykx，下面四个命题：A对任意实数k与q，直线l和圆M相切；B对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；C 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切D对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切其中真命题的代号是_（写出所有真命题的代号）3 圆的第二定义的应用（四川）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于 （A） （B） （C） （D）4 直线和圆有关的信息迁移问题1（上海） 如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数

19、是_.2（重庆）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是 D【实战演练】1（全国2）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率2（湖北 ）已知直线与圆相切，则的值为 。3（重庆） 以点（2，1）为圆心且与直线相切的圆的方程为( )（A） （B）（C） （D）4设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则_ 5.（陕西）设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x2+y2=2相切,则a 的值为( ) A.± B.±2 B.±2 D.±4 6（湖南文）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是A36 B. 18 C. D. 直线和圆的方程一、选择题（每题3分，共54分）1在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）ABCD2若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（ ）ABCD3直线同时要经过第一第二第四象限，则应满足（ ）ABCD4已知直线，直线过点，且到的夹角为，则直线的方程是（）ABCD5不等式表示