中考几何证明经典题型

1、几何证明经典题型（提高）1.如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-410-6），且 ，试判断（1）中得到的结论哪个

2、成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明.（3）在图10-5中，连结、，且，则= 答案： BGDE；BGDE； 中得到的结论仍然成立 BGDE成立； BGDE不成立 BE2+DG2=25 2.如图1，ABC中，ACB90，ACBC，BD是中线，CEBD于点E，交AB于点F。求证：ADFCDE。简证：过点A作AGAC交CF的延长线于点G。因为90，ACBC，所以CAGBCD（ASA）。 所以AGCDAD，GCDE。因为45，AFAF,所以ADFAGF（SAS）。所以ADFGCDE。 3.如图 ，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于点E，AE（ADAB）。求证：ADCABC180。简证：

3、过点C作CFAD交AD的延长线于点F。因为，ACAC，所以ACFACE（AAS）。所以CFCE，AFAE。因为ADABAE，ABAEEB，所以EBAEAD。因为FDAFAD，所以EBFD。所以CEBCFD（SAS）。所以ABC5。所以ADCABCADC180。4. 已知：，平分在图1中，若120，90， （填写“”，“”，“”）在图2中，若120，180，则中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由在图3中：若60，180，判断与的数量关系，并说明理由；若（0180），180，则_（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明） 图3图2图1 23.解：(1) ABAD =

4、AC-1分(2) 仍然成立证明：如图2过C作CEAM于E，CFAN于F，则CEA=CFA=90 AC平分MAN，MAN=120， MAC=NAC=60又 AC=AC， AECAFC， AE=AF，CE=CF 在RtCEA中，EAC=60，图2 ECA=30， AC=2AE AE+AF=2AE=AC ED+DA+AF=AC ABCADC180，CDE+ADC=180， CDE=CBF又 CE=CF，CED=CFB， CEDCFB ED=FB， FB+DA+AF=AC AB+AD=AC (3)AB+AD=AC证明：如图3，方法同(2)可证AGCAHCAG=AHMAN=60，GAC=HAC=30图3

5、AG=AH=ACAG+AH=ACGD+DA+AH=AC方法同(2)可证GDCHBCGD=HB， HB+DA+AH=ACAD+AB=AC ABADAC 5.如图所示，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点。 （1）求点G的坐标；（2）求折痕EF所在直线的解析式；（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角

6、形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。答案：（1）四边形ABCO是正方形BC=OA=4E为CB中点，EB=2MN/y轴，N（3，0）MNEB，且MB=NA=1EM=1而EGM=30，MG=EGcos30=G（3，）（2）EGM=30MEG=FEG=CEF=60CF=CEtan60FO=。F（0，），E（2，4）设直线EF的解析式为折痕EF所在直线解析式为（3）如图所示，。 6. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=，AD=AB=2,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KMAD于M(1) 当E

7、为AB中点时，求的值；(2) 若, 则的值等于 ； (3) 若（为正整数），则的值等于 （用含的式子表示）答案：（1）连接GEKMAD，KG是DE的垂直平分线KMG=DFG=90GKM=GDF MK=AB=AD,KMG=DAE=90KMGDAE MG = AEE是AB中点，且AB=AD=2AE=MG=1KG是DE的垂直平分线GE=GD 设GE=GD=x则AG=2-x在RtAEG中，EAG=90，由勾股定理得（2-x）2+12=x2x= DM=GD-GM= （2） （3） 7.如图所示，等腰RtABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度做直线运动。已知点P沿射线AB运动

8、，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D。 （1）设AP的长为x，PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；（2）当AP的长为何值时，？（3）作PEAC于E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。答案：（1）当点P在线段AB上时，如图（1）所示AP=CQ=x，PB=2x即当点P在AB延长线上时，如图（2）所示AP=CQ=x，PB=x2即（2）令，即，此方程无实根；令，即。解得，舍去负值。故当AP的长为时，（3）作PF/BC交AC的延长线于F，则AP=PF=CQ，AE=EFDF=CD当点P在线段AB上时，当点P在AB的延长线上时，DE=EFFD故当P、Q运动时，线

9、段DE的长度保持不变，始终等于 8. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为21请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点为等腰直角三角形的重心，直线过点,过三点分别作直线的垂线，垂足分别为点. (1)当直线与平行时（如图1），请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明；图1 图2 图3 (2) 当直线绕点旋转到与不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明 答案：（1）猜想：BE+CF=AD

10、证明：如图，延长AO交BC于M点，点为等腰直角三角形的重心AO=2OM且AMBC又EFBC AM EFBEEF,CFEF图1EBOMCF EB=OM=CFEB+CF=2OM=AD 图2（2）图2结论：BE+CF=AD证明：联结AO并延长交BC于点G, 过G做GHEF于H由重心性质可得AO=2OGADO=OHG=90, AOD=HOGAODGOH 图3AD=2HG O为重心G为BC中点GHEF,BEEF,CFEFEBHGCFH为EF中点HG=(EB+CF)EB+CF=AD (3)CFBE= AD 9.已知：如图所示，梯形ABCD中，AB/CD，C=90，AB=BC=4，CD=6。 （1）点E为B

11、C边上一点，EF/AD，交CD边于点F，FG/EA，交AD边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；（2）如图所示，将（1）中的AEF绕E点逆时针旋转为，交CD边于点，且点与D点不重合，射线交AB边于点M，作N/交AD边于点N，设BM为x，中，边上的高为y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。答案：（1）作AHCD于点H（如图所示）四边形AEFG为矩形AEF=901+3=90C=90，2+3=901=2EF/AD。2=D1=DAB=BC=CH=4HD=CDCH=2tan1=BE=2，即E为BC的中点。（2）如图所示，作NPCD于点P，则PN=y可得4=5=6，它们的正切值相等。即。

12、，即整理，得当点与点D重合时（如图所示）BEM=EDC，tanBEMx的取值范围为 10. 在中，AC=BC，点D为AC的中点（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明答案：（1）FH与FC的数量关系是： 证明：延长交于点G，由题意，知 EDF=ACB=90，DE=DFDGCB点D为AC的中点，点G为AB的中点，且DG为的中位线AC=BC，DC=DGDC

13、- DE =DG- DF即EC =FG EDF =90，1+CFD =90，2+CFD=901 =2 11如图1，在ABCD中，AEBC于E，E恰为BC的中点，.（1）求证：AD=AE； （2）如图2，点P在BE上，作EFDP于点F，连结AF. 求证：；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EFDP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.图1EBCAD图3EBCAD图2ECBADFPHECBADFP21图8答案：（1）在RtABE中，AEB=90， E为BC的中点， AE=BC. ABCD是平行四边形，AD=BC. A

14、E=AD. ECBAFPD图9H（2）在DP上截取DH=EF（如图8）四边形ABCD是平行四边形，AEBC， EAD=90EFPD，12，ADH=AEFAD=AE，ADHAEF HAD=FAE，AH=AFFAH =90在RtFAH中， AH=AF，即 （3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF、EF、AF之间的数量关系为：12小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形. （1）如图所示ABC，DBE，两直角边交于点F，过点F作FGBC交AB于点G，连结BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是 ；直线BF与直线AD的位置关系是 ，并求证：FGDCAC；（2）如果小华将两块三角板ABC，

15、DBE如图所示摆放，使三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FGBC，交直线AE于点G，连结AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是 ；（3）在（2）的条件下，若AG，DC5，将一个45角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG2，求线段MN的长 12-1 12-2 12-3 答案（1）结论：则线段于线段的数量关系是：相等；直线于直线的位置关系是：互相垂直； 证明：、是等腰直角三角形 ， （2）FG、DC、AD之间满足的数量关系式是； （3）过点作垂足为，过点P作垂足为 ,

16、、在一条直线上，可证、是等腰直角三角形，根据勾股定理得：，四边形是矩形， 13. (1)已知：如图1，中，分别以、为一边向 外作正方形和，直线于，若于，于. 判断线段的数量关系，并证明；(2)如图2，梯形中，, 分别以两腰、为一边向梯形 外作正方形和，线段的垂直平分线交线段于点，交于点，若于，于(1)中结论还成立吗？请说明理由. 答案：（1）线段的数量关系为相等 ，又四边形是正方形，. 同理可证 （2）过点作交于,交于,过点作交于,交于于，, 四边形为平行四边形 同理可得 又，, ， 同（1）的证明可得 由平行四边形和可知 又, 与都是等腰直角三角形，DEF =DGA = 45CEF =FGH

17、 = 135 CEF FGH CF=FH （2）FH与FC仍然相等14 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点. （1）求证：ME=MF；（2）若将原题中的正方形改为矩形，且，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.答案： 过点M作MGBC于点G，MHCD于点H. MGE=MHF=.M为正方形对角线AC、BD的交点，MG=MH.又1+GMQ=2+GMQ=，1=2. 在MGE和MHF中 1=2， MG=MH，MGE=MHF.MGEMHF. ME=MF. （2）解：当MN交B

18、C于点E，MQ交CD于点F时.过点M作MGBC于点G，MHCD于点H. MGE=MHF=.M为矩形对角线AC、BD的交点，1+GMQ=2+GMQ=.1=2. 在MGE和MHF中， 1=2MGE=MHFMGEMHF. .M为矩形对角线AB、AC的交点，MB=MD=MC又MGBC，MHCD，点G、H分别是BC、DC的中点. ，. . 当MN的延长线交AB于点E，MQ交BC于点F时.过点M作MGAB于点G，MHBC于点H. MGE=MHF=.M为矩形对角线AC、BD的交点，1+GMQ=2+GMQ=. .1=2. 在MGE和MHF中， 1=2，MGE=MHF.MGEMHF . .M为矩形对角线AC、BD的交点，MB=MA=MC.又MGAB，MHBC，点G、H分别是AB、BC的中点.，. . 当MN、MQ两边都交边BC于E、F时.过点M作MHBC于点H. MHE=MHF=NMQ=. 1=3，2=4.MEHFEM，FMHFEM . ，.M为正方形对角线AC、BD的交点，点M为AC的中点. 又MHBC，点M、H分别是AC、BC的中点.，AB=2. MH=1.， . 6分当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F时.延长FM交BC于点G. 易证MFDMGB. MF=MG.同理由得