十三、圆锥曲线

1、十三、圆锥曲线（逐题详解）第I部分2 21. 2014年重庆卷】设鸟,E分别为双曲线土 -% = 1 （。 0,力。）的左、右焦a b9点，双曲线上存在一点P 使得 I PE I + I PF2 |= 3b, PF x- PF 2 =-ab,则该双曲线的离心率为（）459A. - B. - C. - D. 33 34【答案】B【解析】由于（I捋1+1明1） 2 （I捋IT昭1） 2=41捋E留I，所以9b'-物2 =9ab分 解因式得国-4a）（ 3b + a） = 0 n物=3必a = 3兀0 = 44, c = 54所以离心率e = f =，选 择B a 322. 2014年福建卷

2、】设P, Q分别为圆X?+ （y-6） 2=2和椭圆jjy2=l上的点，贝U P, Q两点间啊堇大耍离是（）A. 5 扼 B. V46+V2 C. 7 +扼D. 6 扼【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x, y），则_?.?圆X , + （y-6） J2的圆心为（0, 6）,半径为扼，丄椭圆上的点与圆心的距离为 x之+ （y - 6 ）性2+5°W5扼，景，Q两点间的最大距离是5屈后6匝.故选：D 2 23. 2014年全国大纲卷】己知椭圆C:二+ 土 = 100）的左、右焦点为*、a bF2,离心率为亨，过E的直线/交C于A、B两点，若AAF.B的周长为4右, 则C的方程为（）2

3、2 2 2 2 2 2 a 工 y 1B. + y2 =1C.马匕=1D. 土 + 匕 =1A. 3+ 2= 13 -12 812 4【答案】A【解析】.? ARB的周长为4扼，.？ .4a=4扼，.性福，？.？离心率为匝2 2.,?c=l, ； .b司a2 一技扼，椭圆C的方程为二+匕=1.故选：A3 24. 2014年全国大纲卷】已知双曲线 C的离心率为2,焦点为§、，点A在C 上，若 |RA|=2|%A|,则 cosZAF2F=()A?:C."【解析】.?双曲线C的离心率为2, .?.e=f=2,即c=2a, a点A在双曲线上，则iFjAl - |F2A|=2a,又脚

4、|=2归阳,.?解 W|FiA|=4a, |F2A|=2a, | |FIF2|=2C,则由余弦定理得 cosn 的， 网 2|2+七2 2- |AF2 择 +盆 2-1632 4$-1232 2|AF2 |-|F1 F2 I 2X2aX2c - 8ac2.02. 2_o221=土旦，故选：A2 22ac 4a4a 45. 2014年山东卷】已知a>0,b>0椭圆C】的方程为工+工=1,双曲线C.,的 a b 方程为二=1, C与C2的离心率之积为丰，则C2的渐近线方程为一a b 2(A) x 吃y = 0 (B) A2x ± y = 0 (C) x 2± = 0

5、 (D) 2x y ±02 2.2e.2 c a -bi =a a22 e k2 c a + b 2 = =a a【答案】A【解析】几27(骅)2=亏以=2.*4=仙4a 4.J 必 a 26. 12014年四川卷】已知F是抛物线丁 =的焦点，点A, B在该抛物线上且位于x轴的两侧，0A 0B = 2 (其中。为坐标原点)，贝U AABO与 AAFO面积之 和的最小值是【答案】B【解析】方法1：设直线AB的方程为：x = ty + m,点人（知叫），3 （如义），又F （: ,0），直线AB与x轴的交点（不妨假设Vj > 0）又 QA QB = 2A> xA 2 + y

6、xy2 = 2 二> (y； a)2 + y； y -2 = 0因为点A, 3在该抛物线上且位于工轴的两侧，所以*%=-2,故秫=211192于是 A o + AQ=-x2x (yi-y2)+ -x-xyi=-yi + ->2Q94当且仅当由=土5|圣时取“="8叫3=3所以AABQf AAFQ面积之和的最小值是3 方法2：解析：据题意得2或F (:,0）,设 A （气，.*）,8 （句必），则母=）%工2 =男，）亍对+片）'2=2,，'1、2=-A-1 X4【考点定位】1、抛物线;2=一 + 力2、三角形的面积;+2-lyll9 - 8 >- 3

7、3、重要不等式线/呼年天津卷】A ' 丁R ' ,2 r 3x2 3v23x2 3y 25 2020 525 100100 25答案】 A解析】由题意知，双曲线的渐近线为尸土乌，.？.'=2.双曲线的左焦点（一 a ac, 0）在直线I上，双曲线的.?.0二2c+10, .c=5又.W+甘=#, ."2=5,月=20,2 2方程为芝一春=1.0 ZU8. 2014年全国新课标I】已知F是双曲线C: x2- my- =3m(jn>G)的一个焦 点，则 点万到C的一条渐近线的距离为A.也 B .3 C. y/3m D . 3m【答案】:A12【解析】：由 C

8、: x my3m(m > 0),得=1 > c = 3m + 3, c = yj3m+3 3m 3设Fpl福耳o), 一条渐近线“° 即x-yfmy = o,则点尸到C的一条渐AAA=0 选 A., vl + m近线的距离d=9. 2014年全国新课标I】已知抛物线C： y2=8x的焦点为F,准线为/, P是/上一点，Q是直线P尸与C的一个交点，若FP = 4FQ,贝!|eF|=75A. - B. - C. 3 2【答案】：D.2【解析】：过Q作QM_L直线L于M, ' : FP =.PQ_3,网一 4:.QM=3,由抛物定义知 QF=QM=310. 2014年全

9、国新课标II】设F为抛物线C： r =3x的焦点，过F且倾斜角为30°勺直线交C于A,B两点，0为坐标原点，贝U AOAB的面积为()C. 6332【答案】D设点A、3分别在第一和第四象 AF = 2m,BF = 2n,则由抛物线的 限定义和直角三角形知诃得，解析2m = 2 ? y/3m,2n= 2 ? -J3n,= (2 + V3),/? = (2 - V3),4 422139:.m + n = 6. :.5aoab = ? ?(m + n)=.故2 2 11-2014年广东卷)】若实数k满足。则曲线没志=1与曲线2 2 上卜的D.焦距相等A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴

10、长相等【答案】D2 2【解析】vkv9, 9 > 0,25 k > 0 9.?曲 11 与25 9-k均是双曲线，且c2 =a2 +b2=25+(9-k)=(25-k)+9,即焦距相等.故选D.第II部分2 21. 2014年上海卷】若抛物线y2 = 2px的焦点与椭圆j +普=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为【答案】% = -2【解析】：椭圆右焦点为(2,0),即抛物线焦点，所以准线方程 x = -22. 2014年上海卷】己知曲线 C;x =-4-y2 ,直线Z： % = 6.若对于点A(m, 0),存在。上的点P和/上的。使得AP+AQ = 0,贝!| m的取值范围为.

11、【答案】me 2,3【解析】：根据题意，A是PQ中点，艮| ？=弓翌=告胞，一 2V心V 0,.me2,33. 2014年江西卷(理15)过点Af(l,l)作斜率为-!的直线与椭圆C :2 2% y,/ +示=1(。>力>° )相交于A,3 ,若M是线段的中点，则椭圆C的离心率为【答案】马2设琪知弟研如力）则冬+告=1 a b2 2X2 +力2 7 2a b解析】 （工 1 一工 2）（羽 +2） | （ >1 一>2） 31 + >2） ,0 tz 2案为：4-匕=i，y=± 2x 1225. 2014年安徽卷】设灼分别是椭圆 E:x2+A

12、= I （0<b<I）的左、右焦点，过 点FJ的直线交椭圆E于A,3两点，若|人用=3乌耳AF2 ±x轴，贝U椭圆E的方程为. b1:.a 2 = lb 2._y/2.c -224. 2014年北京卷】设双曲线C经过点（2,2）,且与十<=1具有相同渐近线,则。的方程为；渐近线方程为.2 2【答案】A_-匕=iy=i2x3 122 2【解析】与JC-/=I具有相同渐近线的双曲线方程可设为匕-xS,（mUO） , 4 4。2?.双曲线C经过点（2, 2）,.新二言-21-4=-3，2 2 22即双曲线方程为y-x =-3,即专-专=1,对应的渐近线方程为y=±

13、;2x,故答【解析】设耳(一c,0), E (c,0)，由 AF2±得A （c, 2）,又由=3|鸟同得B （-y，-y）代入椭圆得25c2+b2 =9,将c2 =l-b 2代入得=2习亍+垃=13 26. 2014年湖南卷】如图4,正方形ABCZ ）和正方形QEFG的边长分别为a,b （a b）.原点。为AQ的中点，抛物线y2 =2px （p>0）经过C、F两点，则女=.a【答案】V2+1【解析】由题可得C修，修+0,02a = pa b2 = 2p; + /7 ='- = V2 + 故填 bV2+1.2 2“ =1,点M与C的焦点不重合,7. 2014年辽宁卷（理1

14、5）】己知椭圆C:94若M关于C的焦点的对称点分别为 A, B,线段MN的中点在C上，贝U | AN | +1|=.【答案】12【解析】如图：MN的中点为Q,易得|QF9|A|NB|QF1|a|AN|, ?.?Q在椭圆C上，.1|QFi| + |QFj=2a=6, A |AN| + |BN|=12.第部分1. 2014年重庆卷(理21)】如下图,2 2椭圆工=1(。> Z? > 0)的左右点分别为月，&，点D在椭圆上，DFxLFxF2，捋m = 2很，ADgE的面积为手.(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在 这两个交点处的两条切线相互垂直并分

15、别过不同的焦点，求圆的半径解：(1)设D(-c,y),代入椭圆方程中求出y =由己知：|明=2回/闿.阴=手,联立解出|"=x轴的上方与椭圆两个交点，且圆在h2h2故| 班；|= 土，而 F.F2 = 2C2, ?=季即 2c = 2,?=手，/=" + o 2,联立解出 a = 0 = c = l2所以椭圆的标准方程为(2)由于所求圆的圆心。在y轴上，故圆和椭圆的两个交点&3关于y轴对称，从 而经过点A3所作的切线也关于y轴对称，如下图所示。77A2 因当切线互相垂直时，设两条切线交于点 P,则CAP3恰好形成一个边长为/ 正方 形。其中表示圆的半径，由几何关系B

16、F2ABP-PF 2Ar-A/2, BF = ABPf+PFf =为BF + BF 2 = 2a = 2y/22. 2014年福建卷】已知双曲线所以r 一曰4aa = 2粗5 =斗，故所求圆的半径右焦点为离心率为已 a b2 =2 .圆x2 + y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面解：因为双曲线E的渐近线分别为I】：y=2x, 12： y=-2x,所以垣2.aJ 22所以一-=2.故c=JA,从而双曲线E的离心率e=-2=V5-aa3. 2014年湖南卷(理21)】(本小题满分13分)2 2 ，亠 如图7,0为坐标原点，椭圆G :二+土 = 1 (a>A&g

17、t;0)的左、右焦点为Fi直2, a b2 2 离心率为e】；双曲线C,:二-乌=1的左、知咐=a-，仁73-1.(1)求G、G的方程；解：(1 )因为弹=争，所以J"-b . 2aa =旦因此得a4-b4 =-a ",即疽=2驴，从而4炳0,0),气(面,0),于是43b-b=F 2F4 |=V3-1，所以 b = l , a故G、C2的方程分别是X2 21 尤 2 2y 1 y = 1.2 24. 2014年辽宁卷】2 2积最小时，切点为P(如图)，双曲线G：-土 = 1过点P且离心率为必.a b求G的方程;(I)设切点坐标为3°,%)3°0,%&g

18、t;0),则切线斜率为-西，切线方程为%yy° =-(x-x 0),即xox+yoy = 4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成%的三角形面积为S=土兰=*-.由X02 + %2=4>2x0y0知当且仅当2气无气X0=y0=V2时吒见有最大值，即S有最小值，因此点户得坐标为 很)，由题意知U2< / Z?2解得a2 = l,b 2 = 2,故G方程为妒一匕=1.a2+b2=3a225. 2014年全国大纲卷】己知抛物线 C： y2=2px(p>o)的焦点为F,直线y = 4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且ieF|=-|Pe|.4(1) 求C的方程；(2) 过F的

19、直线/与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线，与 M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求/的方程.Q解：设2(xo,4),代入y2=2px得吒=一P所以 | 尸。| =邑，QF = ax+ P22 p由题设得占+ - =-X-,解得p = 2或 =22 P 4 p所以。的方程为>2=4、(2)依题意知/与坐标轴不垂直，故可设/的方程为工=” > + 1 (2代入 y - 4X 得 y2 -4 = 0设人 31，叫),B(X2,y 2) 9 贝U yr + y 2= 4m 9 目绢2 = -4 故 AB 的中点为 D(2m +1,= Vm2+11% - /1 = 4(m2

20、+1)又/的斜率为-皿所以/的方程为工=y + 2m + 3m将上式代入v2=4x,并整理得),2 +兰y_4(2仞2 +3) = 0m设 m(a-,V3), N(X4,y 4),贝U y3 + y4 =- , V3V4 =-4(2m2 +3)m故MV的中点为顼二+ 2引3,马.|" =口言对=4用iD后与 m m m m由于肋V垂直平分A3,故A、M B N四点在同一圆上等价于从而 |AB|2 + |DE|2=|A/N|2,即卩“ 2,、，,c 2 普 Z 2c、2 4 （仃 +1） 2 （2 仃 +1）24 （仃 + 1） - + （2m +） 2 + （+ 2） 2 = 生2m

21、 mm化简得m 1 = Q ,解得m = I或m = 1所求直线/的方程为：x-y-1 = 0或x+y-1 = 0.6. 2014年天津卷】)2 2设椭圆点+常1(。力0)的左、右焦点分别为、凡，右顶点为为B. 己知|施=卓|再凡|.2-求椭圆的离心率；C相较于A,上顶解：(1)设椭圆右焦点R的坐标为(c, 0 )由|曲|=来|凡引，可得a+lj=3c.2 -IX l ） =a c,贝U; =5, a 2 所以椭圆的离心率e=g.2 27. 2014年全国新课标I】己知点A （0,-2）椭圆E:二+与 = l （a>b0）的 a b离心率为吏，&是椭圆的焦点，直线AP的斜率为臣，

22、。为坐标原点.2 3（I）求己的方程；（II）设过点A的直线Z与E相交于P,Q两点，当 OPQ的面积最大时，求/的 方程，【解析】：（I ）7设F （c,O）2 =还，得c = 0又£ =吏，人7C 3a 2所以 a=2b2=a2-c2=l，故 E 的方程一+y2=l.6 分y+轴不合题意+故设直线爲cr :浜，o,设 PAX ,y QAX2,yA当八=16 （4好一 3） >0,即仃：时，女口 =" 土己君a从而|用二局八| = 4"苻二1十纬K又点0到直线PQ的距离d = bA,所以A0PQ的面积5 蜘* 闻 | = '* : ; 3 ,2设 Jlk -3 =t 9 贝U I。，Saopq =< 1，* +4 t + - t当且仅当z = 2, k = 土互等号成立，且满足厶 > （）,所以当A0PQ的面积最大 时，2/ 的方程为：y = x-2 或 v = - x-2.12分- 2 22 28. 2014年广东卷】己知椭圆C: 4 +r = l