大一高数复习资料

1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（）O邻域（去心邻域）（）U a, x| x a函数f x无穷大 lim f xO无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则 lim f x g x 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x 为无穷大，则f 1 X为无穷小；反之，若f X为无IU a, x 10 x a第二节数列的极限O数列极限的证明（）穷小，且f x 0,则f【题型示例】计算:1.T f x WlimX X0M 函数f xx为无穷大X (或X在x x0的任一去心【题型示例】已知数列xn，证明

2、lim xnaX【证明示例】N语言1由Xna化简得n g ,N g2.即对0,Ng。当nN时，始终有不等式Xna成立，lim Xnax第三节函数的极限O x xo时函数极限的证明（）XX0【证明示例】语言1由f XA化简得0x xgg2.即对0,g，当当0X X0时,【题型示例】已知函数 f X，证明lim f x A邻域U x0,内是有界的;2. lim g xx X0(lim g x3.由定理可知M ，函数f x在x D上有界；）0即函数g x是xX0时的无穷小;0即函数时的无穷小；）limX X0（lim f xX第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除

3、法则关于多项式设：pxq xp X、ma°xb°xnq x商式的极限运算1maiX0Xnbn【证明示例】X语言X1由f XA化简得Xg ,Xg2.即对0, X g，当x X时，始终有不等式fXA成立，O x时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数 f X，证明lim f x A则有limnmq xt00nmfX。0gX0gX。f XlimgX0,f X)0x X0 g X00gXf X00limx X0 g x（特别地,通常分始终有不等式f x A 成立, lim f x Ax xo lim f x Ax第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（）函数f x无穷小 lim

4、 f x 0-（不定型）时，0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值肌【求解示例】解：因为亠 x 3式 lim 2 limx 3x2 9 x 3 x 3 x 393，从而可得x 3，所以原x 31 lim x 3x 3【求解示例】解：lim2x 32x 1limx2x 1 22x 1lim2x 12x 12x 12x 12 2x 1lim112x 12x 122x 12x 1222x 1x 3其中x 3为函数f x 2的可去间断点x2 9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）0x 3 0 x 3解：lim 2 limX 3 X厶 9 L

5、 x 3O连续函数穿越定理（定理五）若函数x2 9lim 丄 1x 3 2x 6（复合函数的极限求解）（） f x是定义域上的连续函数，那么，lim f x f lim xX 冷x x0【题型示例】求值：虬:叮【求解示例】03 ：. xm3 ； 3第六节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则（P53） （）第一个重要极限：lim沁 1X 0 xx 0, , sin x x tanx . 2sin xxsin x1sin xxlimx 0limlx 0sin xx（特别地,lim血x xox x0xo)1)O单调有界收敛准则（P57)第二个重要极限:limx（一般地，limlimlim g xf

6、x，其中lim f x 0)【题型示例】求值:limx2x2x 12limx 12 x 1 2x 12x 122 2limx2x 12x 1lim1e2x 12x 1lim2x 12x 12x 22x 1e第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）O等价无穷小（）1.U sinU tanU arcsinU arctanU ln(1 U )1 22. U 1 cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：lim ln 1 x2 xln 1 x x 0 x2 3x【求解示例】解：因为x0,即xlimx 0x In 1x x 30,所以原式In 1 limx2xln 1 xx 03x.1 x x li

7、mlim x11x 0 x x 3x 0 x33x第八节 函数的连续性O函数连续的定义（）lim f x lim f x f x0x x0x x0O间断点的分类(P67) ()第一类间断点（左右极第二类间断点限存在）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）无穷间断点（极限为（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数2x0应该怎样选0择数a，使得f x成为在R上的连续函数?【求解示例】3.函数商的求导法则（定理三）1:020 1 ee e1.1:0a 0 a1:0a2.由连续函数定义lim f x lim f x f 0 ex 0x 0a e第二节 函数的和（差）、积与商的求导

8、法则O函数和（差）、积与商的求导法则（）1. 线性组合（定理一）：（u v） u v特别地，当1时，有（u v） u v2. 函数积的求导法则（定理二）：（uv） u v uvu u v uv 2vv第九节 闭区间上连续函数的性质O零点定理（）【题型示例】证明：方程f x g x C至少有一个根 介于a与b之间【证明示例】第三节反函数和复合函数的求导法则O反函数的求导法则（）【题型示例】求函数 f 1 x的导数【求解示例】由题可得 f x为直接函数，其在定于域 D1.（建立辅助函数）函数闭区间a,b上连续；xf x g xC在2./ab 0 （端点异号）3.由零点定理，在开区间a,b内至少有一

9、点,使得0 ,即fgC 0 ( 01)4.这等式说明方程 f xg xC在开区间a,b内至少有一个根第二章导数与微分第一节导数概念ex1x0亠【题型示例】已知函数f x在x 0ax bx0处可导，求a,b【求解示例】0f0e01e0 121.v f0e 1，f0bf0af0e0 12f 0f 0a 1O高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （）2.由函数可导定义f 0 f 0 f 0 b 2.a 1,b2【题型示例】求 y f x在x a处的切线与法线方程上单调、可导，且f x 0 ； /O复合函数的求导法则（） 【题型示例】设y In earcsi“E【求解示例】解：y 1earcsin

10、 » x212arcsin fx2 1e1arcs in1ex212 2x aarcsi n.fx2 1/ 22x a1 x212x2 a22x1arcs in ! 1 e2, x2 12xarcsi n/x2 1et 22x a.2 x22.x2 a21arcsin 屈1exxaxx1arcs ine2 a第四节高阶导数O f nxf n1 xn（或阳.n 1d y.n 1dx【题型示例】求函数 yln 1 x的n阶导数()【求解示例】y（或：过y f x图像上点a, f a处的切线与法线方程）【求解示例】1. y f xy |x a fa2.切线方程：yf af a x a法线方

11、程：yf a1x af a(1)n1(n 1! (1 x)第五节隐函数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导（等式两边对 x求导）（） 【题型示例】试求：方程y x ey所给定的曲线 C :y y x在点1e,1的切线方程与法线方程【求解示例】由yxey两边对x求导即y x ey化简得y 1 ey y11y 11 e1 e1 x 1 e1 e切线方程：y1法线方程：y11 e x 1 eO参数方程型函数的求导2xtd y【题型示例】设参数方程，求今ytdxdy2【求解示例】1屯 -2.-4-ddx t dxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分O基本初等函数微分公式与微分

12、运算法则（）dy f x dx第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理O引理（费马引理）（）O罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f x在0, 上连续，在0,上可导，试证明：0,使得f cosf sin 0成立【证明示例】1. （建立辅助函数）令 x f x sinx显然函数x在闭区间 0, 上连续，在开区间0, 上可导；2. 又0 f 0 sinO 0f sin 0即 003.由罗尔定理知0,使得f cos f sin0成立O拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x 1时，ex e x【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数 f x ex，则对 x 1,显然函数 f x在闭区间1,x上连

13、续，在开区间1, x上可导，并且 f xx e ;2 .由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式ex e1x 1 e 成立，F1x1又 e e , e ex 1 e e x e,化简得ex e x，即证得：当x 1 时，ex e x【题型示例】证明不等式：当x 0时，In 1 x x【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数 f x In 1 x，则对x 0 ,函数f x在闭区间0,x上连续，在开区间0, 上可导，并且f x11 x ；2 .由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式ln 1 x ln 10 x10成立，化简得ln 1 xx，又10,x1 f1 , ln 1x 1 xx ,1即证得：当x

14、 1时，ex e x第二节罗比达法则O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1. 等价无穷小的替换（以简化运算）2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A .属于两大基本不定型（,）且满足条件，0f xf x则进行运算：limlimx a g x x a g x（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B . 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0 型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：lim x ln xx 0【求解示例】解：lim x In xx 0limx 0In x _ lim -1 L x 0xIn xlimx 01xx1x2 x1lim x 0a x

15、0（一般地，limx 0xIn x0,其中，R)1型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值:【求解示例】lim丄丄x 0 sin x x解： limx 0 sinxx sinx limx 0 x sinxlimx 0x sinx2x0型（对数求极限法）【题型示例】求值:【求解示例】解：令y对In y求xtanxtan x,两边取对数得0时的极限，lim Inx 0In x limx 01tanx0 -2sin x 0 limx 0 xIn x limx.2sinlim 一L x 0 xln ylimx 0tan x Intan xInmH X o -ox sin xximJcosx02x

16、LmoH Xcosx2xsinx limx 01tanx1x2 sec x2xtan2sin xli m:x 0lim In yex 0 e01cosx10,00型（对数求极限法）【题型示例】求值：lim xx x 0【求解示例】解：设y xx,两边取对数得：Inyln xxln xln xTx对对数取x0时的极限：lim ln yln xLlim0ln x从而可得lim y= lim eln yx 0 ' x 0o运用罗比达法则进行极限运算的基本思路0（1） 0 ()001lim x 01x1型IJm0 x 0,从而有limx 0lim ln yex 0（对数求极限法）【题型示例】求

17、值:lim cosx1sinx x通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性O连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数f x 2x3 9x2 12x 3的单调区间【求解示例】1.V函数f X在其定义域R上连续，且可导 f x 6x2 18x 122令 fx 6x1x20，解得：【求解示例】1解：令y cosx sinx x,两边取对数得ln ylncosxsin x对In y求x0时的极限，limln y2一moH Xcosx sinx0

18、o In cosx sinx limL x 0limcosx sinxx 0 cosx sinx1,从而可得1 0lim ln yln yx 0lim y= lim e ex 0 x1.（构建辅助函数）设x In 1 xx11,x223.（三行表）X,111,222,f X00f X/极大值极小值/4.函数f x的单调递增区间为 ,1 , 2,单调递减区间为 1,2【题型示例】证明：当 x 0时，ex x 1 【证明示例】1. （构建辅助函数）设 x ex x 1，（ x 0）2. xex 1 0, （ x 0）x 003. 既证：当x 0时，ex x 1【题型示例】证明：当 x 0时，In

19、1 x x 【证明示例】极大值在x 2时取到，为f 25 ；函数y 1 3x2 x3在区间（，0）,（0,1）上凹，在区间（1,2） ,（2,）上凸；23函数y 1 3x x的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值O函数的极值与最值的关系（）设函数f x的定义域为 D，如果 xM的某个邻 域U xmD，使得对 X U Xm ，都适合不等式f X f xM ,我们则称函数f x在点xM, f xM处有极大值 f Xm ；令 xMxM1 ,xM 2, xM3 ,., xMn则函数f x在闭区间a,b上的最大值 M满足:max f a , XM 1 , XM 2 , XM 3 ,., XMn

20、 , f b设函数f x的定义域为D ,如果 xm的某个邻域2.13.既证：当x 0时，In 1 x xO连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y 1 3x2 x3的单调性、极值、 凹凸性及拐点y3x6x3x x 21.y6x6 6X1入 y3xx 20%0,x2 22.令解得：y6x 10x 1【证明示例】X(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yPlPIy1-(1,3)r5>13.（四行表）234.函数y 1 3x x单调递增区间为（0,1）,（1,2） 单调递增区间为（，0）,（2,）;U XmD ,我们则称函数f Xm ；令Xm则函数f Xm min【题型示例】求函数

21、【求解示例】使得对 Xf x在点U Xm，都适合不等Xm,f Xm 处有极小值Xm1 , Xm2 , Xm3 ,Xmn在闭区间 a,b上的最小值 m满足:a , Xm1 , Xm2 , Xm3 ,Xmn, f b3x 3x x在 1,3上的最值1.T函数f X在其定义域2 f x 3x 31,3上连续，且可导2.令 f X 3x1x10,X11,111,3f X00f X极小值/极大值解得：x11,x2 13.（三行表）函数y 1 3x2 x3的极小值在x 0时取到,为 f 01,4.又 f2, f 12, f 318尺代 、.一H-弟八节第七节第八节f 12, f x imaxmin函数图形

22、的描绘（不作要求） 曲率（不作要求） 方程的近似解（不作要求）18第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质O原函数与不定积分的概念（）原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数F x的导函数为F x ，即当自变量x I时，有F x f x或1 1 1解：dxd 2x11d 2x 1.2x 122x 12、2x1.2x 1 CO第二类换兀法（去根式）（）（dy f x dx的正向应用）对于一次根式（a 0,bR )： ax b :令 t . ax b，于F是：t2xba则原式可化为t对于根号卜平方和的形式（a0 )：、a2 x2 :令 x ata nt (t),22dF x f x dx成立，则

23、称F x为f x的一 个原函数原函数存在定理：（）如果函数f x在定义区间I上连续，则在I上 必存在可导函数 F x使得F x f x，也就是 说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间I上，函数f x的带有任意常数项C的原函数称为f x在定义区间I上的不定积分， 即表示为： f x dx F x C（ 称为积分号，f x称为被积函数，f x dx称 为积分表达式，x则称为积分变量）O基本积分表（）O不定积分的线性性质（分项积分公式）（）k1 f x k2g x dx K f x dx k2 g x dx第二节换元积分法O第一类换元法（凑微分）（）x于是t arcta

24、n ，则原式可化为 a sect ； a对于根号下平方差的形式（a 0）:a. 、a2 x2 :令 x asint ( t ),2 2x于是t arcsin ，则原式可化为 a cost ；ab. . 口 :令 x asect ( 0 t -)，a于是t arccos，则原式可化为 ata nt ；x1【题型示例】求 dx （一次根式）J2x 1【求解示例】解：一一dx 七 1孝-tdt dt t C 2x 1 C72x 1 x2f 2 tdx tdt【题型示例】求.a2 x2 dx （三角换元）【求解示例】(dy fx dx的逆向应用）fxxdxfxdx【题型示例】求12?dxax【求解示例

25、】1111x1x解：22dxarctan C2 dx2 da x“ xa“ xaaa1 -1 -aa【题型示例】求12xdx1【求解示例】解: .a2 x2dx-t -sin 2t2 2x a si nt(t )2 2xt arcs inadx a cost2 2Xa cos tdt2aC t sin t cost C 21 cos2t dt第三节分部积分法O分部积分法（）设函数u f x , v g x具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”O运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;就近

26、凑微分：（v dx dv）使用分部积分公式：udv uv vdu展开尾项 vdu v u dx，判断a.若 v u dx是容易求解的不定积分，则直接计P x将有理函数的分母Q x分拆成两个没有Q x公因式的多项式的乘积： 其中一个多项式可以表示k为一次因式 x a ；而另一个多项式可以表示为2 l 2二次质因式 x px q , （ p 4q 0）；算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若 v u dx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环, 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数

27、【题型示例】求 ex x2dx【求解示例】解：ex x2dxx2ex dx x2dex即：Q x Q1 x Q2 x般地：mx nmxn则参数anmm2 ,2bcax bxcaxx aa则参数pb,qca aP x则设有理函数的分拆和式为:Q xx2ex 2 x exdx x2ex 2 x dx2ex 2xex 2x2 xe dx x e2xex 2ex【题型示例】求ex sin xdx【求解示例】解：ex sin xdxxe d cosxcosxcosxdxe cosxxxe cosxdx e cosxsin xxe cosxxe sinxsinxd exxe cosxxe sinxexs

28、in xdx即：ex sin xdxxe cosxxe sinxsin xd1 x .-e sinx cosx2第四节有理函数的不定积分O有理函数（）ex sin xdxQ xx其中R xk aA12 xApxlqAkk2kx axax axaB xM1xN1m2x N22x px ql2xpxq2 x2px qM lxNi 2lx px qM1m2Ml参数A A，.，Ak， ，J JNi由待定系N1AN2P x P xF2 x数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解x2【题型示例】求dx （构造法）x 1P x设：Q xm 1qxn 1Dx对于有理函数mp xa0xq xb0xnP x

29、am【求解示例】，当P x的次数小于QQ xP x次数时，有理函数是真分式；当P x的次数Q xP x大于Q x的次数时，有理函数是假分式Q xO有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）2xx 1 x x 111dxdx x 1dxx 1x 1x 1112xdx dxdx x x l n x 1 Cx 12第五节积分表的使用（不作要求） 第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质O疋积分的疋义（）bnf x dx lima0i1（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限,a,b称为积分区间）O定积分的性质bf x dxu duf x dxkf x dxa（线性性质）x dxoe叫H Xdcos2xsin x elim L x 02xcos2 x, cosx elimx 0-lim2 x osin xcos2 x, sinx elimx 0 2xsin xcos2 xe 2sin xcosxcos2xe sin x cosx 2sin xcosxba K f X k2g xdxk1bba f xdxk2 玄 g x dX（5）（积分区间的可加性）bf x dxa若函数f1 1 e2第三节定积分的换元法及分部积分法O定积分的换元法（第一换