直接间接证明与数学归纳法

1、姓名学生姓名填写时间学科数学年级教材版本人教版阶段第（ ）周 观察期： 维护期：课题名称直接、间接证明与数学归纳法课时计划第（ ）课时共（ ）课时上课时间教学目标分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。 教学重点反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.教学难点它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数

2、学问题.教学过程直接证明与间接证明知识要点梳理直接证明1、综合法（1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.（3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）2、分析法（1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐

3、步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.（3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）（4）分析法的格式：要证，只需证，只

4、需证，因为成立，所以原不等式得证。间接证明反证法（1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.（3）反证法的基本思路：“假

5、设矛盾肯定” 分清命题的条件和结论 做出与命题结论相矛盾的假设 由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命 题为真（4）用反证法证明命题“若则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：（5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.数学归纳法1. 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：（1） 证明当取第一个值时结论正确；（2） 假设当（，） 时结论正确, 证明当1时结论也正确完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数都正确这种证明方法叫做数学归纳法2. 数学归纳

6、法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；规律方法指导1.用反证法证明数学命题的一般步骤：反设假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.经典例题透析类型一：综合法1如图，设在四面体中，是的中点.求证：垂直于所在的平面. 解析：连、因为是斜边上的中线， 所以又因为,而是、的公共边，所以于是,而，因此，由此可知垂直于所在的平面.【变式1】求证：.由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性

7、质进行化简的形式. ， 左边 ， .类型二：分析法2求证：法一：分析法要证成立，只需证明，两边平方得，所以只需证明，两边平方得，即，恒成立，原不等式得证.法二：综合法，.【变式1】求证：【答案】、均为正数 要证成立，只需证明， 两边展开得即， 所以只需证明即， 恒成立， 成立.类型三：反证法3设二次函数中的、均为奇数，求证：方程无整数根.证明：假设方程有整数根，则成立，所以.因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.因为已知、为奇数，又为奇数，所以为偶数，这与为奇数矛盾，所以假设不成立，原命题成立.【变式1】若都为实数，且，求证：中至少有一个大于0.【答案】假设都不大于0，则， 所以 又 .

8、 因为， 所以， 所以，这与矛盾， 所以假设不成立，原命题成立.类型四：数学归纳法例1用数学归纳法证明()变式训练1.用数学归纳法证明：135（2n1）点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。例2已知数列根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明。 基础达标练习：1若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等

9、于n0的正整数都成立D以上说法都不正确2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步验证n等于()A1B2 C3 D03用数学归纳法证明>.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_1要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）A综合法 B分析法 C反证法 D归纳法2设,则的大小关系是( )A B C D3已知函数，则 是大小关系为（ ）A BCD4至少有一个负实根的充要条件是（ ）A B C D或5如果都是正数，且，求证：6已知都是正数，且，求证：7用反证法证明：如果，那么能力提升：1用数学归纳法证明1<n(nN*，n>1)时，第一步

10、应验证不等式()A1<2B1<2 C1<3 D1<32(2011江西)观察下列各式：553125,5615625,5778125，则52011的末四位数字为()A3125 B5625 C0625 D81253利用数学归纳法证明<1(nN*，且n2)时，第二步由k到k1时不等式左端的变化是()A增加了这一项 B增加了和两项C增加了和两项，同时减少了这一项 D以上都不对4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1时正确，再推n2k3正确 B假使n2k1时正确，再推n2k1正确C假使nk时正确，再推nk1正确 D假使nk(k1)，再推nk2时正确(以上kN*)5分析下述证明242nn2n1(nN*)的过程中的错误：_.证明：假设当nk(kN*)时等式成立，即242kk2k1，那么242k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1，即当nk1时等式也成立因此对于任何nN*等式都成立6用数学归纳法证明：当n2，nN*时，(1)(1)(1)(1).7求证：>(n2，nN