第二节正项级数的审敛法09423

1、第二节 正项级数的审敛法教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.教学方法:启发式讲授与指导练习相结合.教学过程:一、正项级数及其审敛法1.正项级数：若级数的各项, 则称级数为正项级数.2.【定理1】(基本定理): 正项级数收敛有界. 且此时说明：因,于是,可见单调递增. 故 收敛 收敛 有界. 此时显然有.（注意：单调有界数列收敛）3.【定理2】(比较判别法): 设与均为正项级数, 且 , , 则 (1) 收敛收敛; (2)发散发散.证明: 由条件知, 那么(1) 收敛有界有界收敛;(2

2、) 发散无界无界发散.另证：若收敛，由（1）证明知必收敛，此与题设发散矛盾，所以假设不成立，即发散.4.【推论】(1) 若级数收敛且存在,时恒有: , (为常数),则级数收敛.（2）若级数发散且存在, 时恒有: ,(为常数),则级数发散.例1 讨论级数的敛散性.解: 若由于级数发散. 若 由 所以 , 那么, 可见有界级数收敛.综上知：级数收敛 .（此结论当定理使用）由级数得结论： 设为正项级数, 那么 若, 且, , 则收敛; 若, 则发散.例2 (1)证明级数是发散的.证明: .(2) 证明级数是发散的.证明：因为，且故 级数是发散的.例3（1）讨论级数的敛散性.解：，而级数为收敛的级数所

3、以级数 收敛.（2）讨论级数的敛散性.解：，而级数是收敛的几何级数所以级数 收敛.(3)判断级数 的敛散性.解 令 为正项级数.又级数为收敛的P级数，所以收敛，由比较判别法知故级数 收敛.（4）讨论级数的敛散性.提示：收敛正项级数收敛.（5）判别级数的敛散性.且收敛.例4设.（1）求的值.（2）证明当（常数）时，级数收敛.（1）解 所以（2）证明 因为 ，且时，收敛，故原级数收敛.练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性:(1)解该级数为,由,且发散,知原级发散.(2)解该级数为,由,且收敛,知原级数收敛.(3)解由于,这是一个公比为的几何级数,因而是收敛的,由比较判别法可知原级数收敛.(4)（

4、由函数单调性知所以函数单调递增，时）解因为,所以,而调和级数发散,由比较判别法可知原级数发散.(5)解由于,是一个公比为的收敛几何级数，所以由比较判别法可知原级数收敛.(6)解由,收敛,知原级数收敛.例5 讨论级数的敛散性.解：1）时由且收敛可得原级数收敛.2）时由且发散可得原级数发散.3）时由且发散可得原级数发散.结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、P级数的敛散性非常熟悉.5【定理3】(比较判别法的极限形式): 设与均为正项级数,若，则(1)当时,若收敛,则也收敛；(2)当时,若发散,则也发散.（3）)

5、当时,若与有相同的敛散性.结论的另一种叙述方法： (1)当时,与有相同的敛散性；(2)当时,若收敛,则也收敛；(3)当时,若发散,则也发散.证明:(1)由,当时，, 或 ,若收敛,则也收敛；(2)因为 ,，故，,若收敛,则也收敛,可见,若发散,则必发散.补充结论证明提示（1） 当时,由得对时由正项级数的比较判别法得若收敛,且，则收敛.若收敛，且，则收敛；故原结论成立.（2）当时,由比较判别法得结论成立.（3）当时,由无穷大的概念知收敛由正项级数的比较判别法得收敛，故结论成立.【推论】(极限法): 设为正项级数,且,(1)当,时,级数收敛;(2)当,时,级数发散.（证明方法：设为正项级数,其中，

6、利用比较判别法去证）注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，时例6（1）判别级数的敛散性.解: 级数发散.（2）：发散，可推出原级数发散.（3）判别级数的敛散性.解: ,且 是收敛的级数（）级数收敛. .（4）讨论级数的敛散性.解：令，则 且发散正项级数发散.(5)判别级数的敛散性.解：时，且收敛收敛.（6）：，收敛，推出收敛.(7):提示 令 ，发散原级数发散.例7判定级数的敛散性.解 （1）当时，发散.（2）当时，令，收敛（），所以原级数收敛.另证：令 ,收敛（），所以原级数 收敛.（3）当时，令，收敛（），所以原级数收敛.另证：令 ,收敛（），所以 原级数收敛.综上所述时

7、发散，时收敛.【结论】：当时，级数的通项能与常用的等价无穷小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与无穷大比较）以及已知级数的敛散性.6【定理4】(比值判别法,达朗贝尔判别法): 设为正项级数,若,则 (1)时, 级数收敛；(2) 或时, 级数发散；(3)时, 级数可能收敛也可能发散.证明: (1) 时, 对, 由于收敛, 故收敛. 级数收敛.(2) 时, 对, 可见 级数发散.(2)时, ,或 同样 级数发散.(3)时, 级数可能收敛也可能发散.例如: 级数发散, 而级数收敛. 注意到这两个级数均有.例8（1）(88.3) 讨论级数的敛散性.解由 知原级数收

8、敛.（2）讨论级数的敛散性.解 令，发散.(3)判断级数 的敛散性.解 令，由比值判别法知故级数 收敛.(4)解 该级数的一般项，且 所以 ,故 原级数收敛.例9判别级数的敛散性.解: (1) 由于, 此时无法判断. (2) 但 ，故得知级数收敛.（级数判别法.）另解 令，又令，因为，且收敛，故级数收敛.例10 （1）求.解: 令 由于 , 所以 级数收敛, 于是.（2）证明 .证明：设有级数，因为 又因为 ，所以 级数 收敛，于是.例11 证明级数是收敛的,并估计误差.证明: (1) 由于, 故级数收敛.(2), .例12 证明级数是收敛的,并估计误差.证明：(1) 令 由于, 故原级数收敛

9、.(2) .【结论】：对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.但必须注意：比值判别法对级数失效.练习：用比值判别法(达朗贝尔法则)研究下列各级数的敛散性:(1)解 该级数的一般项,因为,所以该级数收敛.(2)解 该级数的一般项,因为,所以原级数收敛.(3)解 该级数的一般项,因为,原级数收敛.(4)解 该级数的一般项,因为所以原级数收敛.(5)解 该级数的一般项,因为,所以原级数收敛.(6)解 该级数的一般项,因为原级数发散.（7）比值法判定：收敛，发散，（：）收敛.（8），收敛原

10、级数收敛.（9）：原级数发散.7【定理5】(根式（柯西）判别法): 设为正项级数, 若，则(1)时, 级数收敛；(2)或时,级数发散；(3)时, 级数可能收敛也可能发散.证明: (1) 时, 对, 由于收敛, 故级数收敛.(2) 时, 对, 可见 级数发散.(2)时, ,或 同样 级数发散.(3) 时, 级数可能收敛也可能发散.例如: 级数发散, 而级数收敛. 注意到这两个级数均有.()【结论】：对通项的指数为与n次幂相关的级数可以考虑用根植判别法.例13判别下列级数的敛散性（1）解 令，因为，所以 级数 收敛.（2）解 令，因为，所以 级数 收敛.例14 判别级数的敛散性.解: 由于, 所以级数发散.例15设，并且级数与都收敛，证明 级数 收敛.证明 设则即级数与都是正项级数.因为级数与都收敛，所以级数收敛，而由知，所以由正项级数比较判别法知级数也收敛；而，且收敛，故 级数 收敛.小结：1.正项级数多用比较判别法与比值判别法判断其敛散性. 2利用比较的极限形式判别时注意运用等价无穷小进行转化. 3利用比较判别法时注意运用已证明