积分微分方程5

1、西南交通大学数值分析题库用复化梯形公式计算积分,要把区间0,1一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里）；如果知道，则用复化梯形公式计算积分此实际值 大 (大，小)。在以为内积的空间C0,1中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 3. (15分)导出用Euler法求解 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解 Euler公式 -(5分)-(10分)若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值1用Rom

2、berg法计算积分解 5.574989241319070E-0032用复合Simpson公式计算积分 (n=5)解= E-0033、 对于n+1个节点的插值求积公式 至少具有n次代数精度. 4、 插值型求积公式的求积系数之和=b-a5、 证明定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则=(hÎa,b) 因此对不超过3次的多项式f(x)有即精确成立,对任一4次的多项式f(x)有因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度或直接用定义证.6、试确定常数A，B，C和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为G

3、auss型？解 由 得 由 得 由 得 由 得 由 得 可 得 代数精度是5, 是Gauss型积分公式71）设是0,1区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式系，求2）构造如下的Gauss型求积公式解 (1) , (2)的两零点为(即Gauss点)Gauss型求积公式8 用复合Simpson公式计算：要使误差小于0.005，求积区间0,应分多少个子区间？并用复合Simpson公式求此积分值。解复合Simpson公式计算的误差为 ，hÎa，b 因此只要 即可.得,取9 试述何谓Gauss型求积公式。如下求积公式：是否是Gauss型求积公式？Gauss型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定

4、f(x)在积分区间上连续)解把用a，b上的n+1个节点（互不相同的） (k=0,1,n)而使数值求积公式的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式求积公式因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss型求积公式。Gauss型求积公式是稳定的，也是收敛的。10 试述何谓Gauss型求积公式。并证明： Gauss型求积公式的系数(这里是权函数) 其中C是常数(要求写出C的表达式)。解把用a，b上的n+1个节点（互不相同的） (k=0,1,n)而使数值求积公式的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式(1) 是Gauss型求积公式，因此如果是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取则

5、 (2)是Gauss型求积公式，因此代数精确度达到2n+1,因此如果是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取得11 证明：（1）Newton-Cotes系数满足如下等式：(2）设 ，分别表示把区间a,b n,2n等分后复化梯形公式计算积分，表示把区间a,b n等分后复化Simpson公式计算积分。证明下式成立：证明(1) 因为 Newton-Cotes求积公式为，其中而Newton-Cotes系数满足 因 ，故. (2) 因 又因 整理即可得 12、若用复化梯形求积公式计算积分 区间应分 2129 等分，即要计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过；若改用复化Simpson公式，

6、要达到同样精度区间应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。13证明 (=0,1,n)是插值型求积公式 的高斯点的充分必要条件是:多项式与任意次数不超过n的多项式关于权函数正交 且高斯系数 .其中为关于节点 的拉格朗日插值基函数。证明: 必要性，设节点使求积公式成为Gauss型求积公式，则它的代数精度应具有2n+1，故对任意次数不超过n次的多项式P(x)有：是次数不超过2n+1的多项式，从而，即必要性成立。充分性：因为n+1个节点的插值型求积公式代数精度至少有n，如果取f(x)是任一次数不超过2n+1的多项式，则f(x)=，其中P(x)是次数不超过n次的多项式，r(x)是次数不大于n的多项

7、式，因与任一次数不超过n次的多项式正交，从而，即。由于r(x)次数不大于n，故。又因=r(xk)，从而，即从而知其代数精度至少有2n+1，故是Gauss点。14、若用复化梯形求积公式计算积分 ,则复化梯形求积公式计算式，截断误差 (假定)。15 数值求积公式: 的代数精度是 3 次。此数值求积公式 不是 （是，不是）Gauss型求积公式。16 用复化梯形公式计算积分,要把区间0,1一般要等分41 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里假定任意阶导数存在，且）。17 用复化梯形公式计算积分,要把区间0,1一般要等分 2 份才能保证满足误差小于0.00005的要求（这里假定任意阶导数存在

8、，且）18 试用Simpson公式计算积分的近似值, 并判断此值比准确值大还是小,并说明理由。解=2.026323截断误差而 因此19.(1) 证明:计算积分的个基点的求积公式的代数精确度至少是的充分必要条件是其中 (2) 如果(1)中的个基点的求积公式的代数精确度是2,则证明 (1) 必要性 因的代数精确度至少是,取.则而,因此充分性 如果 且 ,其中 则因此当f(x)是任一次数不超过n的多项式时, .即代数精确度至少是。(2) 由(1)知，因求积公式的代数精确度是2,因此当时,，而因此 20 数值求积公式: 当取何值时代数精度最高?是多少次?解当,两边总是相等的；当要使两边相等,则得,此时

9、当两边总相等，当两边不相等, 最高代数精度是3。1.导出用Euler法求解 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解解Euler公式2. 解初值问题 所建立的单步差分格式中,不管怎样选取其局部离散误差都不是解 + =另一方面如其局部离散误差都是，可得 ，.这是不可能的.3、解常微分方程初值问题， 的梯形格式是2阶方法 4、   欧拉预报-校正公式求解初值问题取步长h=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. 解欧拉预报-校正公式得y(0.1)=0.005000y(0.2)=0.0190255.用Euler法计算积分在点的近似值(可取) 解

10、 原问题与初值问题等价,Euler公式y(.5000E+00)=0.500000y(.1000E+01)=1.142013y(.1500E+01)=2.501154y(.2000E+01)=7.2450226、欧拉预报-校正公式求解初值问题 ,如取步长h=0.1,计算y(0.1)的近似值为 0.005000 ,此方法是 2 阶方法。7、若 为 （）的解，而为Euler法在处的解， 证明 这里假定满足Lipschitz条件，L为在上关于的Lipschitz常数，,且,E=,为从到这一步的局部截断误差。证明因为 =从而有：依次类推得： =由于h=从而可证：，从而有8、用Euler法求初值问题在区间

11、0，0.5上的数值解见下表(取步长h=0.1)，这里为数值解，为准确解，则从x=0.2到x=0.3这一步迭代时的局部截断误差为,从计算到时的整体截断误差 0.0418180.10.20.30.40.51.0048371.0187311.0708181.0703201.1065311.0000001.0100001.0290001.0561001.0904900.0048370.0087310.0418180.0142200.0160419、用梯形方法解初值问题 证明 其近似解为 并证明当时,它收敛于原初值问题的准确解证明用梯形公式近似解的表达式因此10.解初始值问题，近似解的梯形公式是 11考

12、虑常微分方程初值问题.取正整数，记。试分析预测校正公式的局部截断误差，并指出它是几阶公式。12.叙述解常微分方程初值问题数值方法的绝对稳定的定义；证明Euler法的绝对稳定区间为（-2，0）解如果yk是某方法第k步的准确值，为其近似值，其绝对误差为，即。假定第k步后的计算中不再有舍入误差，只是由引起的扰动(m>k,)，都有|<|，则称此方法是绝对稳定的 设yk有一扰动，此时 =即=，从而要使，则必有，即lhÎ(-2,0)时，Euler法是绝对稳定的13.证明隐式中点方法 是二阶的，并求其绝对稳定区间。证明局部截断误差 得 即 由 得绝对稳定区间为（-，0）14.选取参数使

13、下述形式的RK公式为二阶公式解局部截断误差因此得时，RK公式为二阶公式。15.用改进Euler方法解初值问题 (1) 写出近似解的表达式(2)并证明当时,近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解解用改进Euler公式(1)近似解的表达式(2)16. 用Euler方法解初值问题 (1) 写出近似解的表达式(2)并证明当时,近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解解Euler公式(1)近似解的表达式(2)17.用欧拉预报-校正公式求解初值问题(1) 写出近似解的表达式(2)并证明当时,近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解解用欧拉预报-校正公式(1)近似解的表达式(2)18.叙述解常微分方程初值问题数

14、值方法的绝对稳定的定义；求改进Euler法的绝对稳定区间解如果yk是某方法第k步的准确值，为其近似值，其绝对误差为，即。假定第k步后的计算中不再有舍入误差，只是由引起的扰动(m>k,)，都有|<|，则称此方法是绝对稳定的.改进Euler法的绝对稳定区间因此只要即可,可得绝对稳定区间为(-2,0),即lhÎ(-2,0)19.叙述用Adams方法解常微分方程初值问题的基本思想。叙述Adams内插法(Adams-Moulton法)及Adams外推法(Adams-Bashforth法)、Adams方法的局部截断误差的定义及Adams方法是p阶的Adams方法的定义。解用若干节点上的值适当的线性组合来替代Euler法中的,让其达到一定的精度，其形式为：如果¹0，称为Adams内插法，也称为Adams-Moulton方法。如果=0，称为Adams外推法，也称为Adams-Bashforth方法。定义为Ad